高等代数第五套

第1页（共6页）南京晓庄学院高等代数课程考试试卷卷（E）2011–2012学年度第1学期教育科学学院11级共6页教研室主任审核签名：院（系）领导审核签名：命题教师：赵东金校对人：刘娟娟班级姓名学号得分序号一二三四五六七八九总分得分阅卷人复核人一、选择题（每小题2分，共20分）00001200001030000000n.行列式的值为()A.n!B.n!C.1121!nnnD.1121!nnn2.设A、B是n阶方阵，O是n阶零矩阵.若AB=O，则（）A.A=0或B=0B.0,0ABC.A和B中至少有一个奇异D.A和B都不可逆3.设A是mn矩阵，则AA是（）A.可逆矩阵B.对称矩阵C.对角形矩阵D.m阶方阵第2页（共6页）4.下列各式中不正确的是（）A．aAaAB.ABABC．11AAD.111ABAB5.下列各式中正确的是（）A．22ABABABB.ABCACBC．*AAAID.AAI6.矩阵AkI是非零数乘矩阵，则A—1（）A．1kIB、1kC、kID、I7.12323232132342xxxxxxx方程组有无穷多解，的取值是()A.1B.2C.3D.48.n阶行列式D=∣ija∣中第i行第j列交点处元素ija的余子式Mij与代数余子式Aij之间的关系是()A.Mij=(-1)jiAijB.Mij=(-1)nAijC.Mij=AijD.Mij=-Aij9.A，B都是n阶可逆矩阵，则下列结论成立的是（）A.111()ABAB－－－＝B.1-1-1()ABBA－＝C.11[]ABAB－－＝D.11ABAB－－＝10.下列推理中正确的是（）A.u(x)f(x)＋v(x)g(x)＝d(x)(f(x)，g(x))＝d(x)B.u(x)f(x)＋v(x)g(x)＝1(f(x)，g(x))＝1第3页（共6页）C.()()fxgx(f(x)，g(x))＝f(x)D.()()fxgx，()()gxfxf(x)＝g(x)二、填空题（每小题3分，共30分）11．若22()5()(2)(1)(2)fxxgxaxbxcxx与相等，则a=,b=,c=.12.设f(x)＝xn＋xn－1＋…＋x＋a的根是1，2，…，n，则12…n＝.13.设5000031206252100,,0123301002145001AB则乘积AB=.14.若11-1110022021,1-10203X则X=.15.如果1a25b4897成奇数列，则a=，b=.16.12n.17.设有4阶行列式D4的展开式是次多项式，其中最高幂的系数是．421345252123142xxxDxxxx4323218.()343,()31023,(),()=fxxxxxgxxxxfxgx设则.19.设211123124-12114565182-6-10-2610A，则()rA=.20.已知矩阵A行列式||A1，则AAI.第4页（共6页）三、计算题（每小题8分，共32分）21.求单根为-1、1与二重根为2的4次多项式.22123321231231,,=3+21111,1,1223xxPxxxxxxx22.已知是的一个基，试求向量在另一个新基下的坐标（y,y,y）.第5页（共6页）23.计算行列式112112222121111nnnnnnnaaaaaaaaaD24.试求通过点（0,1），（1,0），（0，-1），（-1,0）与（1,1）的二次曲线方程.第6页（共6页）四、证明题（共18分）25.设A是齐次线性方程组的系数矩阵，而iq是A中划去第i列剩下的（n-1）×（n-1）矩阵所构成的行列式，证明是齐次线性方程组的一个解向量.（8分）26.证明任一n阶矩阵都可以表成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和，并且这种表示法是唯一的.（10分）第7页（共6页）南京晓庄学院高等代数课程考试试卷卷（E）参考答案及评分标准一、选择题题（每小题2分，共20分）ACBDCACAAB二、填空题（每小题3分，共30分）11．65,135,6512.(－1n)a13.015510436252312327214.14.X=5130361503614133.15.3，6.16.(1)212(1).nnn17.4次多项式，系数是-120．18.3.x19.()rA=3.20.I三、计算题（每小题8分，共32分）21.求单根为-1、1与二重根为2的4次多项式.解：第8页（共6页）43212341234432(),(1122)4(1)1(1)2(1)2121222351(1)12(1)12(1)221224(1)1224,()4344.fxxaxaxaxaaaaafxxxxx设则（分）因此所求的多项式为（8分）22.22123321231231,,=3+21111,1,1223xxPxxxxxxx已知是的一个基，试求向量在另一个新基下的坐标（y,y,y）.第9页（共6页）11221223123123123112123=1+,111,2211111232311111,,,1,2210031111201112232200310033=3+2,,1xxxxAxx解由有，与1123123,2312031122312,200326,yyAy（4分）所以，即关于基，的坐标为（-1,-2,6）.(8分)23.22．计算行列式112112222121111nnnnnnnaaaaaaaaaD解：从最后一行开始，每一行减去它的相邻的前一行乘a，得：第10页（共6页）)()()(0)()()(0011111213231222113312211312aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaDnnnnnnnnn=)()()()()()(1213231222113312211312aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaannnnnnnn=213111()()()nnaaaaaaD(4分)2224231)())((nnnDDaaaaaD这样继续下去最后得)())((11312aaaaaaDnn)()(223aaaan………………)(1nnaa（8分）24.试求通过点（0,1），（1,0），（0，-1），（-1,0）与（1,1）的二次曲线方程.解设通过已知点的二次曲线方程为220,axbxycydxeyf把已知点坐标分别代入方程中便得到a,b,c,d,e与f为未知量的的线性方程组00000cefadfcefadfabcdef第11页（共6页）齐次线性方程组系数矩阵00101100101110010110010100101100001010010100000011111101000110000110101(4)001000000100000010()56ArA分，线性方程组有无穷多个解。令f=-1,得a=1,b=-1,c=1,d=0,e=0,故所2210.(8)xyy求二次曲线方程为x分四、证明题（共18分）25.设A是齐次线性方程组的系数矩阵，而iq是A中划去第i列剩下的（n-1）×（n-1）矩阵所构成的行列式，证明是齐次线性方程组的一个解向量.（8分）证明：作新的n阶行列式(1,2,,1),kpkn它是把A的第k行放在第一行，而其余n-1行由A的n-1行组成，即12111211211121(1,2,,1).kkknnkjjjnnnnnaaaaaapknaaaaaa（4行）因kp中有两行元素相同，故0kp.另一方面，按kp第一行展开得11122(1)0nkkknnaqaqaq因而结论成立.（8分）第12页（共6页）26.证明任一n阶矩阵都可以表成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和，并且这种表示法是唯一的.（10分）1111111111111111(),(),2211(),(),22.,,,=,11(),().22,,.(10)AACAABAABCAACBCABCABCBBCCABCBCBAACAABBCC证明设A为任一n阶阶矩阵，B=则即为对称矩阵，为反对称矩阵，且（5分）设另有其中则于是因此，这就证明了唯一性分