数学建模-数值分析实验-给药方案的设计

1给药方案的设计2摘要一种新药用于临床之前，必须设计给药方案。要设计给药方案,必须知道给药后血药浓度随时间变化的规律。众所周知，快速静脉注射后，血药浓度立即上升；然后迅速下降。当血药浓度太低时，达不到预期的治疗效果；当血药浓度太高，又可能导致药物中毒或副作用太强。临床上，每种药物有一个最小有效浓度和一个最大有效浓度。设计给药方案时，要使血药浓度保持在最小有效浓度和最大有效浓度之间。在本文中先根据时刻与血药浓度的关系，建立时刻与血药浓度之间的数学模型，然后分别用线性最小二乘拟合和非线性最小二乘拟合两种方法通过MATLB软件对给出的时刻及血药浓度相应数值进行曲线拟合，得到模型中各参数的值，从而确定函数方程，然后设计给药方案，根据已知的最小有效浓度和最大有效浓度计算初次剂量和每次注射剂量的大小，以及间隔时间的长短，从而确定给药方案。另外在非线性最小二乘进行曲线拟合时，分别使用isqcurvefit函数和isqnonlin函数进行拟合，发现拟合效果一致。关键词：线性最小二乘拟合、非线性最小二乘拟合、isqcurvefit函数、isqnonlin函数3问题重述临床上，每种药物有一个最小有效浓度c1和一个最大有效浓度c2。设计给药方案时，要使血药浓度保持在c1~c2之间。本题设c1=10，c2=25(ug/ml).要设计给药方案,必须知道给药后血药浓度随时间变化的规律。从实验和理论两方面着手：在实验方面,对某人用快速静脉注射方式一次注入该药物300mg后,在一定时刻t(小时)采集血药,测得血药浓度c(ug/ml)如下表:t(h)0.250.511.523468c(ug/ml)19.2118.1515.3614.1012.899.327.455.243.01问题分析要想设计出给药方案，就要得知时刻与血药浓度的关系，根据题目中给出的时刻及血药浓度相应数值数据，可以用两种方法，一是线性最小二乘拟合，二是非线性最小二乘拟合，通过利用MATLB软件进行曲线拟合，找到时刻与血药浓度的函数方程，从而确定给药方案。模型假设1、假设机体是一个房室，室内血药浓度均匀（即一室模型）。2、假设排除速率和血药浓度成正比，比例系数为k,并且k0.43、假设血液容积为v，t=0时的注射剂量为d，则t=0时的血药浓度为d/v。符号说明c血药浓度t时刻d初始时的注射剂量v血液容积k排除速率和血药浓度的比例系数D每次注射剂量0D初次剂量T间隔时间1C最小有效浓度2C最大有效浓度模型建立与求解由假设2可得5kcdtdc(1)由假设3可得vd)0(c(2)由（1）（2）式可得：ktevdt)(c(3)方法一：用线性最小二乘拟合c(t)对式(3)两边同时取对数得:)(ln)(lnktvdc(4)用MATLAB做线性最小二乘拟合得：k=0.2347，v=15.0219。程序如下：clearall;closeall;clct=[0.250.511.523468];c=[19.2118.1515.3614.1012.899.327.455.243.01];y=log(c);p=polyfit(t,y,1);C=polyval(p,t);6C=exp(C);v=exp(log(300)-p(2));k=-p(1);plot(t,c,'or',t,C,'b')从而拟合曲线：tedt2347.00219.15)(c（5）见下图：图1线性最小二乘拟合曲线由20vCD，-kT21eCC，)(D12CCv，ml/g25C2，mlg/10C1求得：375.5475mg2515.0219D00123456782468101214161820时间t(h)血药浓度c(μg/ml)拟合曲线实验测得数据拟合曲线7hCC9041.3lnk1T12mg3285.225)C-C(vD12即：第一次注射375.5475mg,以后每隔3.9041h注射225.3285mg。方法二：用非线性最小二乘拟合1、利用MATLAB的isqcurvefit函数做非线性最小二乘拟合可得：k=0.2420，v=14.8212。误差平方和为norm=1.0659。MATLAB程序如下：functionf=fun(x,xdata)f=(300/x(1))*exp(-xdata*x(2));endclearall;closeall;clc;clearall;closeall;clc;t=[0.250.511.523468];c=[19.2118.1515.3614.1012.899.327.455.243.01];c0=[11];[x,norm,res]=lsqcurvefit('fun',c0,t,c)f=fun(x,t);8plot(t,c,'or',t,f,'b')从而拟合曲线：tedt4202.04.82121)(c（6）拟合曲线见下图：图2非线性最小二乘拟合曲线求得：370.5300mg2514.8212D0hCC7863.3lnk1T12mg2.318022)C-C(vD120123456782468101214161820时间t(h)血药浓度c(μg/ml)非线性拟合实验数据拟合曲线9即：第一次注射370.5300mg,以后每隔3.7863h注射222.3180mg。2、利用MATLAB的isqnonlin函数做非线性最小二乘拟合知：k=0.2420，v=14.8212。误差平方和为norm=1.0659。MATLAB程序如下：functionf=fun(x,xdata,c)f=(300/x(1))*exp(-xdata*x(2))-c;endclearall;closeall;clc;t=[0.250.511.523468];c=[19.2118.1515.3614.1012.899.327.455.243.01];c0=[11];[x,norm,res]=lsqnonlin('fun',c0,[],[],[],t,c)；从而拟合曲线：tedt4202.04.82121)(c。由此可知，MATLAB的isqcurvefit函数和isqnonlin函数效果一致。参考文献【1】李庆扬，《数值分析》，北京：清华大学出版社，2008。