导数复习经典例题分类(含答案)

1导数解答题题型分类题型一：最常见的关于函数的单调区间；极值；最值；不等式恒成立；例1.已知函数321()23fxxbxxa，2x是)(xf的一个极值点．（Ⅰ）求()fx的单调递增区间；（Ⅱ）若当[1,3]x时，22()3fxa恒成立，求a的取值范围．例2.设22(),1xfxx()52(0)gxaxaa。（1）求()fx在[0,1]x上的值域；（2）若对于任意1[0,1]x，总存在0[0,1]x,使得01()()gxfx成立,求a的取值范围。例3.已知函数32()fxxax图象上一点(1,)Pb的切线斜率为3，326()(1)3(0)2tgxxxtxt（Ⅰ）求,ab的值；（Ⅱ）当[1,4]x时，求()fx的值域；（Ⅲ）当[1,4]x时，不等式()()fxgx恒成立，求实数t的取值范围。例4.已知定义在R上的函数32()2fxaxaxb）（0a在区间2,1上的最大值是5，最小值是－11.（Ⅰ）求函数()fx的解析式；（Ⅱ）若]1,1[t时，0(txxf）恒成立，求实数x的取值范围.例5.已知函数23)(axxf图象上斜率为3的两条切线间的距离为5102，函数33)()(22abxxfxg．（1）若函数)(xg在1x处有极值，求)(xg的解析式；（2）若函数)(xg在区间]1,1[上为增函数，且)(42xgmbb在区间]1,1[上都成立，求实数m的取值范围．2题型二：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围及函数与x轴即方程根的个数问题；例6．已知函数232)1(31)(xkxxf，kxxg31)(，且)(xf在区间),2(上为增函数．（1）求实数k的取值范围；（2）若函数)(xf与)(xg的图象有三个不同的交点，求实数k的取值范围．例7.已知函数.313)(23axaxxf（I）讨论函数)(xf的单调性。（II）若函数)(xfy在A、B两点处取得极值，且线段AB与x轴有公共点，求实数a的取值范围。例8．已知函数f(x)＝x3－ax2－4x＋4a，其中a为实数．(Ⅰ)求导数f(x)；(Ⅱ)若f(－1)＝0，求f(x)在[－2，2]上的最大值和最小值；(Ⅲ)若f(x)在(－∞，－2]和[2，＋∞)上都是递增的，求a的取值范围例9.已知：函数cbxaxxxf23)(（I）若函数)(xf的图像上存在点P，使点P处的切线与x轴平行，求实数ba,的关系式；（II）若函数)(xf在1x和3x时取得极值且图像与x轴有且只有3个交点，求实数c的取值范围.例10．设()yfx为三次函数，且图像关于原点对称，当12x时，()fx的极小值为1．（Ⅰ）求()fx的解析式；（Ⅱ）证明：当),1(x时，函数()fx图像上任意两点的连线的斜率恒大于0．例11．在函数)0()(3abxaxxf图像在点（1，f（1））处的切线与直线.076yx平行，导函数)('xf的最小值为－12。（1）求a、b的值；（2）讨论方程mxf)(解的情况（相同根算一根）。3例12．已知定义在R上的函数),,()(3Rcbacbxaxxf，当1x时，)(xf取得极大值3，1)0(f.（Ⅰ）求)(xf的解析式；（Ⅱ）已知实数t能使函数f(x)(t,t3)在区间上既能取到极大值，又能取到极小值，记所有的实数t组成的集合为M.请判断函数()()()fxgxxMx的零点个数.例13.已知函数)(,42)1(3)(223xfkxkkxxf若的单调减区间为（0，4）（I）求k的值；（II）若对任意的)(52],1,1[2tfaxxxt的方程关于总有实数解，求实数a的取值范围。例14.已知函数baRxxbxaxxf,,()(23是常数)，且当1x和2x时，函数)(xf取得极值.（Ⅰ）求函数)(xf的解析式；（Ⅱ）若曲线)(xfy与)02(3)(xmxxg有两个不同的交点，求实数m的取值范围.例15.已知f(x)＝x3＋bx2＋cx＋2．⑴若f(x)在x＝1时有极值－1，求b、c的值；⑵若函数y＝x2＋x－5的图象与函数y＝xk2的图象恰有三个不同的交点，求实数k的取值范围．例16.设函数axxxxf2331)(，bxxg2)(，当21x时，)(xf取得极值.（1）求a的值，并判断)21(f是函数)(xf的极大值还是极小值；（2）当]4,3[x时，函数)(xf与)(xg的图象有两个公共点，求b的取值范围.题型三：函数的切线问题；例17.已知函数32()fxaxbxcx在点0x处取得极小值－4，使其导数'()0fx的x的取值范围4为(1,3)，求：（1）()fx的解析式；（2）若过点(1,)Pm可作曲线()yfx的三条切线，求实数m的取值范围．例18.已知32()4fxxaxx（a为常数）在2x时取得一个极值，（1）确定实数t的取值范围，使函数()fx在区间[,2]t上是单调函数；（2）若经过点A（2，c）（8c）可作曲线()yfx的三条切线，求c的取值范围．题型四：函数导数不等式线性规划结合；例19.设函数3211()(,)32gxxaxbxabR，在其图象上一点(,)Fxy处的切线的斜率记为()fx．(1)若方程()fx有两个实根分别为-2和4，求()fx的表达式；(2)若()gx在区间1,3上是单调递减函数，求22ab的最小值。例20.已知函数),(31)(23Rbabxaxxxf（1）若)(xfy图象上的是)311,1(处的切线的斜率为)(,4xfy求的极大值。（2）)(xfy在区间]2,1[上是单调递减函数，求ba的最小值。例21.已知函数23)(nxmxxf（m，Rn，nm且0m）的图象在))2(,2(f处的切线与x轴平行.(I)试确定m、n的符号；(II)若函数)(xfy在区间[,]nm上有最大值为2nm，试求m的值.题型五：函数导数不等式的结合5例22.已知函数0xbxaxxf，其中Rba,.（Ⅰ）若曲线xfy在点2,2fP处的切线方程为13xy，求函数xf的解析式；（Ⅱ）讨论函数xf的单调性；（Ⅲ）若对于任意的2,21a，不等式10xf在1,41上恒成立，求b的取值范围.例23.已知函数321()1(,3Rfxxaxbxxa，b为实数）有极值，且在1x处的切线与直线01yx平行.（1）求实数a的取值范围；（2）是否存在实数a，使得函数)(xf的极小值为1，若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由；例24.已知函数dcxxaxxf234131)(（a、c、d∈R）满足0)1(',0)0(ff且0)('xf在R上恒成立。（1）求a、c、d的值；（2）若41243)(2bbxxxh，解不等式0)()('xhxf；例25.设函数2()()fxxxa（xR），其中aR（1）当1a时，求曲线()yfx在点（2，(2)f）处的切线方程；（2）当0a时，求函数()fx的极大值和极小值；（3）当3a时，证明存在[1,0]k，使得不等式22(cos)(cos)fkxfkx对任意的xR恒成立。导数解答题题型分类之拓展篇答案2014-05-316题型一经验1：此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：第一步：令0)('xf得到几个根；第二步：列表如下；第三步：由表可知；经验2：不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，常见处理方法有四种：第一种：变更主元（即关于某字母的一次函数）；题型特征（已知谁的范围就把谁作为主元）；第二种：分离变量求最值（请同学们参考例5）；第三种：关于二次函数的不等式恒成立；第四种：构造函数求最值；题型特征（)()(xgxf恒成立0)()()(xgxfxh恒成立）；参考例4；例1、解：（Ⅰ）'2()22fxxbx.∵2x是)(xf的一个极值点，∴2x是方程2220xbx的一个根，解得32b.令'()0fx，则2320xx，解得1x或2x.∴函数()yfx的单调递增区间为(,1)，(2,+).（Ⅱ）∵当(1,2)x时'()0fx，(2,3)x时'()0fx，∴()fx在（1，2）上单调递减，()fx在（2，3）上单调递增.∴(2)f是()fx在区间[1，3]上的最小值，且2(2)3fa.若当[1,3]x时，要使22()3fxa恒成立，只需22(2)3fa，即22233aa，解得01a.例2、解：(1)法一:(导数法)22224(1)224()0(1)(1)xxxxxfxxx在[0,1]x上恒成立.∴()fx在[0,1]上增，∴()fx值域[0,1]。法二:220,022(),(0,1]111xxfxxxxx,复合函数求值域.法三:2222(1)4(1)22()2(1)4111xxxfxxxxx用对号函数求值域.(2)()fx值域[0,1]，()52(0)gxaxaa在[0,1]x上的值域[52,5]aa.由条件,只须[0,1][52,5]aa，∴52054512aaa.例3、解：（Ⅰ）/2()32fxxax∴/(1)31fba，解得32ab（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()fx在[1,0]上单调递增，在[0,2]上单调递减，在[2,4]上单调递减又minmax(1)4,(0)0,{()}(2)4,{()}(4)16fffxffxf∴()fx的值域是[4,16]（Ⅲ）令2()()()(1)3[1,4]2thxfxgxxtxx∴要使()()fxgx恒成立，只需()0hx，即2(2)26txxx（1）当[1,2)x时226,2xtxx解得1t；（2）当2x时tR；（3）当(2,4]x时2262xtxx解得8t；综上所述所求t的范围是(,1][8,)例4、解：（Ⅰ）32'2()2,()34(34)fxaxaxbfxaxaxaxx7令'()fx=0,得1240,2,13xx因为0a，所以可得下表：x2,000,1'()fx+0-()fx↗极大↘因此)0(f必为最大值,∴50）（f因此5b，(2)165,(1)5,(1)(2)fafaff，即11516)2(af，∴1a，∴.52(23xxxf）（Ⅱ）∵xxxf43)(2，∴0(txxf）等价于0432txxx，令xxxttg43)(2，则问题就是0)(gt在]1,1[t上恒成立时，求实数x的取值范围，为此只需0)10)1(（gg，即005322xxxx，解得10x，所以所求实数x的取值范围是[0，1].例5、解：∵223)(xaxf，∴由3322xa有ax，即切点坐标为),(aa，),(aa∴切线方程为)(3axay，或)(3axay，整理得023ayx或023ayx∴5102)1(3|22|22aa，解得1a，∴3)(xxf，∴33)(3bxxxg。（1）∵bxxg33)(2，)(xg在1x处有极值，∴0)1(g，即03132b，解得1b，∴33)(3xxxg（2）∵函数)(xg在区间]1,1[上为增函数，∴033)(2bxxg在区间]1,1[上恒成立，∴0b，又∵)(42xgmbb在区间]1,1[上恒成