数学分析(华东师大版)上第一章1-4

返回后页前页§4具有某些特性的函数一、有界函数本节将着重讨论函数的有界性、单调性、奇偶性与周期性.四、周期函数三、奇函数与偶函数二、单调函数返回返回后页前页一、有界函数定义1设f定义在D上.R,,(),MxDfxMfD若则称在上有上界；R,,(),LxDfxLfD若则称在上有下界；R,,(),.MxDfxMfD若则称在上有界.上既有上界又有下界在上有界在易证DfDf00R,,(),MxDfxMfD若则称在上无上界；返回后页前页00R,,(),.MxDfxMfD若则称在上无界π:()tan[0,),.2fxx求证在上无上界有下界例1π[0,).2上有下界0R,arctan(1),MxM令π[0,).2上无上界π0[0,),(),2LxfxL，则证在因此f00π[0,),tan1,2xxMM则且在因此f00R,,(),LxDfxLfD若则称在上无下界；返回后页前页)},(sup{)(xgxg()()sup{()}sup{()},fxgxfxgx因此,sup{()}sup{()}xfxgx由的任意性可知,)}()({的一个上界是xgxf)}.({sup)}({sup)}()({supxgxfxgxfDxDxDx因此,()sup{()},xDfxfx证)}.({sup)}({sup)}()({sup:xgxfxgxfDxDxDx求证(),().fxgxD设函数是上的正值有界函数例2返回后页前页例3(),()fxgxD设在上有界,证明:inf{()()}inf{()}sup{()}.xDxDxDfxgxfxgx证000,,()inf{()}.xDxDfxfx0()sup{()},xDgxgx又故00()()inf{()}sup{()}.xDxDfxgxfxgx因此00inf{()()}()()xDfxgxfxgxinf{()}sup{()}.xDxDfxgx返回后页前页二、单调函数1212,,,xxDxx若当时12(i)()(),fxfxfD有则称为上的增函数;12()(),.fxfxf特别有时称为严格增函数12(ii)()(),fxfxfD有则称为上的减函数;12()(),.fxfxf特别有时称为严格减函数.上的函数是定义在设Df定义2返回后页前页证1+211Ryxyyy由在上为正值严格增,可知()()fxgx不难知道,若和是正值严格增的,则()()fxgx也是正值严格增的.例42121N,Rnnnyx任意在上严格增;22+RRnnyx在上严格增,在上严格减.11+Rnnyyy上为正值严格增,可知在上亦正值+R在上亦正值严格增.由归纳法,若已证+Rny在严格增.返回后页前页12210,0,xxxx若则于是2221212121()(),()(),nnnnxxxx22212121212,Rnnnnnxxxxy即.这就证明了在21Rny上严格减,而在上严格增.121200,xxxx若或则21212121121200nnnnxxxx或，21Rny这证明了在上严格增.返回后页前页[]R,yx易证函数在上是增函数但非严格例5增.xyO11112222343返回后页前页上也是严格在其定义域且有反函数)(,11Dfff.增函数(),,yfxxDf设为严格增函数则必定理1.211,,fff类似地严格减函数必有反函数且在其.定义域上也是严格减函数,().xDfxy使,()fDyfD设在上严格增则证只有一个1212,()(),xxfxyfx事实上,若使f则与返回后页前页1.:f的严格增性质相矛盾再证必是严格增的,),(,2121yyDfyy1212,,yyfxx由于及的严格增性必有即111122(),(),xfyxfy11112()(),.fyfyf因此也是严格增函数ny因此的反函+Rnnyx由于在上严格增,例6+,Rrnryxm在上亦为严格增.1/+Rnnzx数在上严格增,故对任意有理数返回后页前页01,R.a时在上严格减121122,,,rrQxrrx使因此1121sup{,}xrrraarQrxaa22sup{,}.xrarQrxa1,Rxyaa证明：当时在上严格增;当例712121.,,.axxxxQ设由的稠密性,证01,R.xaa类似可证当时在上严格减返回后页前页log,xayxya由于是的反函数因此logayx+01,R.a当时在上严格减+log1Rayxa当时,在上严格增;返回后页前页三、奇函数和偶函数.,:,DxDxD必有即关于原点对称设定义3,()(),xDfxfx若.fD称为上的奇函数,()(),xDfxfx若.fD称为上的偶函数偶函数的充要条件是:(,)()(,)();xyGfxyGf(,)()(,)().xyGfxyGf或()Gff显然,若记为的图象,则()fx是奇函数或返回后页前页21,sin,tan,nyxyxyx例如是奇函数,而2cos,nyxyx是偶函数.211ln1(ee)2xxyxxy-是奇函数=-的反函数,从而由奇函数的图象性质可知它也是奇函数.返回后页前页四、周期函数),()(,xfxfDx且必有,.ff则称为周期函数为的一个周期,f若周期函数的所有正周期中有一个最小的周期f则称此最小正周期为的基本周期,简称周期..0,fDxD设为上定义的函数若使定义4()[]1.fxxx例如函数的周期为见后图.返回后页前页注1周期函数的定义域不一定是R.例如：.sin)(xxfsin2π,x的周期为tanπ,x的周期为例8-3-2-1O1231xy注2周期函数不一定有最小周期.例如狄利克雷函数以任意正有理数为周期，但没有最小周期.返回后页前页例9任意正有理数是狄利克雷函数的周期.()Dx证设+Q,R.rxQ,Q,()1();xxrDxrDx若则Q,Q,()0().xxrDxrDx若则因此,()rDx是的一个周期.返回后页前页复习思考题1.f(x)在[a,b]上定义，是否一定存在某个区间0000[,][,],()[,]ababfxab使在上是单调函数?2.构造在[0,1]上定义的函数f(x),使其在任何00[,][0,1],().abfx上无界3.用肯定语句叙述下列概念:(1)非周期函数；（2）非奇函数；(3)非单调增函数.