第三节一般常数项级数

第三节一般常数项级数一、交错级数二、一般常数项级数一、交错级数定义:正、负项相间的级数称为交错级数.nnnnnnuu111)1()1(或莱布尼茨定理如果交错级数满足条件:(ⅰ)),3,2,1(1nuunn;(ⅱ)0limnnu,则级数收敛,且其和1us,其余项nr的绝对值1nnur.)0(nu其中证明nnnnuuuuuus212223212)()(又)()()(21243212nnnuuuuuus1u,01nnuu.lim12ussnn,0lim12nnu,2是单调增加的数列ns,2是有界的数列ns)(limlim12212nnnnnuss,s.,1uss且级数收敛于和),(21nnnuur余项,21nnnuur满足收敛的两个条件,.1nnur定理证毕.例1判别级数21)1(nnnn的收敛性.解2)1(2)1()1(xxxxx)2(0x,1单调递减故函数xx,1nnuu1limlimnnunnn又.0原级数收敛.例2判定级数的敛散性.12ln1nnnn（）解级数为交错级数.令ln()xfxx，则21ln()0(3)xfxxx即当3x时，()0fx，所以在3[，）上，()fx单调减少.于是当3n时，()(1)fnfn，即1(3,4,)nnuun，,又利用洛必达法则有lnln1limlimlim0.nxxnxnxx所以，由莱布尼兹定理知，级数12ln1nnnn（）收敛.二、一般常数项级数定义:正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.定理若1nnu收敛,则1nnu收敛.证明),,2,1()(21nuuvnnn令,0nv显然,nnuv且,1收敛nnv),2(11nnnnnuvu又1nnu收敛.上定理的作用：任意项级数正项级数定义:若1nnu收敛,则称1nnu为绝对收敛;若1nnu发散,而1nnu收敛,则称1nnu为条件收敛.例3判别级数12sinnnn的收敛性.解,1sin22nnn,112收敛而nn,sin12nnn收敛故由定理知原级数绝对收敛.例4判定级数的敛散性.111+1nnnnn（）！2211+1+111limlimlim2+11nnnnnnnnunnnnunnnnn！！1lim11.nnen解级数为交错级数.11+1nnnnun（）！，先判断因为111=+1nnnnnun！级数是否收敛.由比值判别法，级数1nnu发散，从而题设级数不是绝对收敛.又因为1lim1nnnuu,所以当n充分大时，1nnuu,故lim0nnu,从而题设级数发散.例5判定级数的敛散性.2111112nnnnn11limlim1122nnnnneun解级数为交错级数,211112nnnnun，先判断因为21111=12nnnnnun级数是否收敛.由根值判别法，级数1nnu发散，故lim0nnu，从而题设级数发散.小结任意项级数审敛法1.2.4.绝对收敛5.交错级数(莱布尼茨定理)3.按基本性质;;,则级数收敛若SSn;,0,则级数发散当nun练习题判别下列级数是否收敛?如果是收敛的,是绝对收敛还是条件收敛?1、1113)1(nnnn；2、5ln14ln13ln12ln1；3、2ln)1(nnnn.练习题答案一、1、绝对收敛；2、条件收敛；3、条件收敛.