数学建模钢管下料问题

1重庆交通大学学生实验报告实验课程名称数学建模开课实验室数学实验室学院信息院11级软件专业班1班学生姓名学号开课时间2013至2014学年第1学期2综合评分依据优良中差实验到课情况论文表述的清晰度和结构的完整性所构建数学模型及其求解方法的正确性数学建模的创新性实验成绩实验指导教师官礼和3实验一钢管下料问题摘要生产中常会遇到通过切割、剪裁、冲压等手段,将原材料加工成规定大小的某种,称为原料下料问题.按照进一步的工艺要求,确定下料方案,使用料最省,或利润最大是典型的优化问题.下面我们采用数学规划模型建立线性规划模型并借助LINGO9.0来解决这类问题.关键词线性规划最优解钢管下料一，问题重述1、问题的提出某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割出售．从钢管厂进货得到的原材料的钢管的长度都是1850mm，现在一顾客需要15根290mm，28根315mm，21根350mm和30根455mm的钢管．为了简化生产过程，规定所使用的切割模式的种类不能超过4种，使用频率最高的一种切割模式按照一根原料钢管价值的1/10增加费用，使用频率次之的切割模式按照一根原料钢管价值的2/10增加费用，以此类推，且每种切割模式下的切割次数不能太多（一根原钢管最多生产5根产品），此外为了减少余料浪费，每种切割模式下的余料浪费不能超过100mm，为了使总费用最小，应该如何下料？2、问题的分析首先确定合理的切割模式，其次对于不同的分别进行计算得到加工费用，通过不同的切割模式进行比较，按照一定的排列组合，得最优的切割模式组，进而使工加工的总费用最少.二，基本假设与符号说明1、基本假设假设每根钢管的长度相等且切割模式理想化.不考虑偶然因素导致的整个切割过程无法进行.2、定义符号说明（1）设每根钢管的价格为a，为简化问题先不进行对a的计算.（2）四种不同的切割模式：1x、2x、3x、4x.（3）其对应的钢管数量分别为：ir1、ir2、ir3、ir4（非负整数）.4三、模型的建立由于不同的模式不能超过四种，可以用ix表示i按照第种模式（i=1,2,3,4）切割的原料钢管的根数，显然它们应当是非负整数.设所使用的第i种切割模式下每根原料钢管生产290mm，315mm,,350mm和455mm的钢管数量分别为ir1，ir2，ir3，ir4（非负整数）.决策目标切割钢管总费用最小，目标为：Min=（1x1.1+2x1.2+3x1.3+4x1.4）a(1)为简化问题先不带入a约束条件为满足客户需求应有11r1x+12r2x+13r3x+14r4x≧15(2)21r1x+22r2x+23r3x+24r4x≧28(3)31r1x+32r2x+33r3x+34r4x≧21(4)41r1x+42r2x+43r3x+44r4x≧15(5)每一种切割模式必须可行、合理，所以每根钢管的成品量不能大于1850mm也不能小于1750mm.于是：1750≦29011r+31521r+35031r+45541r≦1850（6）1750≦29012r+31522r+35032r+45542r≦1850（7）1750≦29013r+31523r+35033r+45543r≦1850（8）1750≦29014r+31524r+35034r+45544r≦1850（9）由于排列顺序无关紧要因此有1x≧2x≧3x≧4x(10)又由于总根数不能少于（15290+28315+21350+30455）/1850≧18.47(11)也不能大于（15290+28315+21350+30455）/1750≦19.525(12)由于一根原钢管最多生产5根产品，所以有ir1+ir2+ir3+ir4≦5(13)四、模型的求解将（1）~（13）构建的模型输入Lingo11.0经计算绘制成表格如下：290mm315mm350mm455mm余料mm5切割模式1x0221652x3002703x0131304x000430即取1x切割模式14根及2x切割模式5根，即可得到最优解：Min=（1411/10+512/10）a=21.4a五、结果分析、模型的评价与改进下料问题的建模主要有两部分组成，一是确定下料模式，二是构造优化模型.对于下料规格不太多时，可以采用枚举出下料模式，对规格太多的，则适用于本模型.而从本模型中可以看出尽管切割模式x3、x4的余料最少，但是其成本比较高因而舍弃.六、参考文献【1】姜启源，谢金星，叶俊,数学模型(第三版)，清华大学出版社，第121页.七、附录模型求解的算法程序：model:min=x1*1.1+x2*1.2+x3*1.3+x4*1.4;r11*x1+r12*x2+r13*x3+r14*x4=15;r21*x1+r22*x2+r23*x3+r24*x4=28;r31*x1+r32*x2+r33*x3+r34*x4=21;r41*x1+r42*x2+r43*x3+r44*x4=15;290*r11+315*r21+350*r31+455*r41=1850;290*r12+315*r22+350*r32+455*r42=1850;290*r13+315*r23+350*r33+455*r43=1850;290*r14+315*r24+350*r34+455*r44=1850;290*r11+315*r21+350*r31+455*r41=1750;290*r12+315*r22+350*r32+455*r42=1750;6290*r13+315*r23+350*r33+455*r43=1750;290*r14+315*r24+350*r34+455*r44=1750;x1+x2+x3+x4=19;x1+x2+x3+x4=20;x1=x2;x2=x3;x3=x4;r11+r21+r31+r41=5;r12+r22+r32+r42=5;r13+r23+r33+r43=5;r14+r24+r34+r44=5;@gin(x1);@gin(x2);@gin(x2);@gin(x4);@gin(r11);@gin(r12);@gin(r13);@gin(r14);@gin(r21);@gin(r22);@gin(r23);@gin(r24);@gin(r31);@gin(r32);@gin(r33);@gin(r34);@gin(r41);@gin(r42);@gin(r43);@gin(r44);end经运行得到输出如下：Globaloptimalsolutionfound.Objectivevalue:21.40000Objectivebound:21.40000Infeasibilities:0.000000Extendedsolversteps:1Totalsolveriterations:34507VariableValueReducedCostX114.00000-0.1000000X25.0000000.000000X30.0000000.1000000X40.0000000.2000000R110.0000000.000000R123.0000000.0000007R130.0000000.000000R140.0000000.000000R212.0000000.000000R220.0000000.000000R231.0000000.000000R240.0000000.000000R312.0000000.000000R320.0000000.000000R333.0000000.000000R340.0000000.000000R411.0000000.000000R422.0000000.000000R431.0000000.000000R444.0000000.000000实验二：摘要一、问题重述二、基本假设与符号说明基本假设：符号说明：8三、模型的建立四、模型的求解五、模型评价六、参考文献9附录