函数与映射

1制作人：ＬＨＨ函数与映射1.函数的概念一般地，设A、B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A中的每一个（任意性）元素x，在集合B中都有（存在性）唯一（唯一性）的元素y和它对应，这样的对应叫做集合A到集合B的一个函数（三性缺一不可）函数的本质：建立在两个非空数集上的特殊对应这种“特殊对应”有何特点：1).可以是“一对一”2).可以是“多对一”3).不能“一对多”4).A中不能有剩余元素5).B中可以有剩余元素判断两个函数相同：只看定义域和对应法则2.映射的概念一般地，设A、B是两个集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f:Ａ→Ｂ为从集合A到集合B的一个映射（mapping）。思考：映射与函数区别与联系？函数——建立在两个非空数集上的特殊对应映射——建立在两个非空集合上的特殊对应1）函数是特殊的映射，是数集到数集的映射．2）映射是函数概念的扩展，映射不一定是函数．3）映射与函数都是特殊的对应思考：映射有“三性”：①“有序性”：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射；②“存在性”：对于集合A中的任何一个元素，集合B中都存在元素和它对应；③“唯一性”：对于集合A中的任何一个元素，在集合B中和它对应的元素是唯一的.3.用映射定义函数(1).函数的定义：如果A、B都是非空数集，那末A到B的映射f:A→B就叫做A→B的函数。记作：y=f(x).（2）定义域：原象集合A叫做函数y=f(x)的定义域。（3）值域：象的集合C叫做函数y=f(x)的值域。定义：给定一个集合A到集合B的映射，且a∈A，b∈B。如果元素a和元素b对应，那么我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象。aAaAbBbBa的象b的原象ff给定映射f：A→B。则集合A中任何一个元素在集合B中都有唯一的象，而集合B中的元素在集合A中不一定都有原象，也不一定只有一个原象。问题1：下图中的（1）（2）所示的映射有什么特点？（1）mnpqBabcdAf（1）mnpqBabcdAfmnpqBabcdAmnpqBmnpqBabcdAabcdAf（2）3579B1234Af（2）3579B1234Af3579B1234A3579B3579B1234A1234Af答：发现规律：（1）对于集合A中的不同元素，在集合B中有不同的象，我们把这样的映射称为单射。（2）集合B中的每一个元素都有原象，我们把这样的映射称为满射。)(BC201249A01249A014964B014964B定义：一般地，设A、B是两个集合。f：A→B是集合A到集合B的映射，如果在这个映射下，对于集合A的不同元素，在集合B中有不同的象，且B中每一个元素都有原象，那么这个映射叫做A到B上的一一映射。注意：1）一一映射是一种特殊的映射：A到B是映射，B到A也是映射。2）映射和一一映射之间的充要关系，映射是一一映射的必要而不充分条件3）一一映射：A和B中元素个数相等。例2：判断下面的对应是否为映射，是否为一一映射？1）A={0,1,2,4,9},B={0,1,4,9,64},对应法则f：a→b=(a-1)2答：是映射，不是一一映射。（如右图所示可以很容易可能出。）2）A={0,1,4,9,16},B={-1,0,1,2,3,4},对应法则f：求平方根？答：不是映射。3）A=Z，B=N*，对应法则f：求绝对值？答：不是映射。4）A={11,16,20,21},B={6,2,4,0},对应法则f：求被7除的余数答：是映射，且是一一映射。例3：已知集合Ａ＝Ｒ，Ｂ＝｛(x,y)|x,y∈Ｒ｝，f是从Ａ到Ｂ的映射f:x→(x+1,x2).（１）求2在B中的对应元素（２）(2,1)在Ａ中的对应元素解:（1）将x=2代入对应关系，可得其在Ｂ中的对应元素为（2+1，2）（2）由题意得：x+1=2x2=1∴x=1即（2,1）在A中的对应元素为1例4：设集合A={a、b},B={c、d、e}（1）可建立从A到B的映射个数.（2）可建立从B到A的映射个数.答：9,8（可以试着画图看看）小结：如果集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，那么从集合A到集合B的映射共有nm个。练习1．设f:A→B是集合A到集合B的映射，则正确的是（）A．A中每一元素在B中必有象B．B中每一元素在A中必有原象C．B中每一元素在A中的原象是唯一的D．A中的不同元素的象必不同2．集合A={3,4},B={5,6,7},那么可建立从A到B的映射个数是_______，从B到A的映射个数是__________.3．设集合A和B都是自然数集N，映射f:A→B把集合A中的元素n影射到集合B中的元素nn2，则在映射f下，象20的原象是（）A.2B.3C.4D.54．如果(x,y)在映射f下的象是(x+y,x-y)，那么(1,2)在映射下的原象是（）A.（3，1）B.（21,23）C.（23,21）D.（-1，3）5.已知点(x，y)在映射f下的象是(2x－y，2x＋y)，求(1)点（２，３）在映射f下的像；（２）点(4，6)在映射f下的原象.6.设集合A＝{1,2,3,k},B＝{4,7,a4,a2＋3a},其中a,k∈N,映射f:A→B，使B中元素y＝3x＋1与A中元素x对应，求a及k的值.1A2.9.3.C4.B5.答：(1)点(2,3)在映射f下的像是(1,7);(2)点（4，6）在映射f下的原象是（5/2，1）6.答：a＝2,k＝5单射满射一一映射