圆轴扭转资料

NanjingUniversityofTechnology第六章圆轴扭转第二篇材料力学杆的两端承受大小相等、方向相反、作用平面垂直于杆件轴线的两个力偶，杆的任意两横截面将绕轴线相对转动，这种受力与变形形式称为扭转工程中承受扭转的圆轴传动轴扭矩与扭矩图应用截面法可以确定受扭杆件横截面上的内力—扭矩，扭矩用T表示。nMeMeTMeMx+扭矩MeMxT’eTMeTMMeMx_nT扭矩T的符号规定：nTMeMx+作用于构件的外扭矩与机器的转速、功率有关。在传动轴计算中，通常给出传动功率P和转递n，则传动轴所受的外加扭力矩Me可用下式计算：e9549[Nm]PMn其中P为功率，单位为千瓦（kW）；n为轴的转速，单位为转/分（r/min）。如果功率P的单位用马力（1马力=735.5N•m/s），则e[]7024[Nm][r/min]PMn马力功率与扭矩间的换算关系：主动轮上的外力偶矩（输入力偶矩）的转向与轴的转动方向相同，而从动轮上的外力偶矩（输出力偶矩）的转向与轴的转动方向相反，是阻力偶矩。扭矩沿杆轴线方向变化的图形，称为扭矩图。绘制扭矩图的方法与绘制轴力图的方法相似。扭矩图例题圆轴受有四个绕轴线转动的外加力偶，各力偶的力偶矩的大小和方向均示于图中，其中力偶矩的单位为N.m，尺寸单位为mm。试画出圆轴的扭矩图。解：2、应用截面法，由平衡方程确定各段圆轴内的扭矩。3、建立T－x坐标系，画出扭矩图1、分段例题：图示传动轴，主动轮A输入功率PA=50马力，从动轮B、C、D输出功率分别为PB=PC=15马力，PD=20马力，轴的转速为n=300转/分。作轴的扭矩图。mBmCmAmD50PS15PS20PS=300rpmABCDPPPPn解：50702470241170Nm300AAPmn1570247024351Nm3002070247024468Nm300BBCDDPmmnPmnmCmCmBTmB1351NmT2702NmTmD3468NmmmmmABCD1170351468NmNmNmmDmCmBmAT1T2T3mDT(Nm)TTT123351702468NmNmNm⊕四轮有无更好的排列方式？mDmCmBmA2aaa2mm1122t=2m/ax例题作扭矩图解：T1=-mT(x)=-m+2m-t·x=m-(2m/a)·xTm3m⊕m圆轴扭转剪应力TT变形特征ABCDABCDtt，变形几何分析xdd剪应变的分布规律是什么？横截面上的剪应力物性关系与应力分布剪切虎克定律t=GtOxGGddt剪应力的分布规律是什么？静力学方程TAxGAxGAAAAddddddd2t其中：PAIAd2故：PGITxdd代入剪应力表达式有：PPITGITGtGIp—扭转刚度Ip—截面的极惯性矩★剪应力公式及其讨论PPITGITGt剪应力分布规律最大剪应力最大剪应力不超出材料的剪切比例极限—线弹性范围在圆轴的任一或指定横截面上PDPITIT2maxmaxt令抗扭截面系数：maxppIWPWTmaxttmaxtmax最大剪应力出现在哪？求轴内的最大剪应力等直意味着IP(x)＝const，max(x)=const，即WP(x)＝const，因此圆轴中的最大剪应力2、等直圆轴：PWTmaxmaxt1、一般圆轴（非等直）：注意：如果对于象阶梯轴一样的分段等直轴如何计算？maxmaxmaxmaxxWxTxIxxTxPPtt对整根轴而言，T＝T(x)，=(x)，IP＝IP(x)，故：该式的求解可采用函数极值的计算方法进行圆截面的极惯性矩与抗扭截面系数=d/D对于实心圆截面24220d2d32DpADIA3max216pppIIDWD对于圆环截面44242242d2d13232DpAdDdDIA34max1216pppIIDWDdD例题：内外径分别为20mm和40mm的空心圆截面轴，受扭矩T=1kN·m作用，计算横截面上A点的剪应力及横截面上的最大和最小剪应力。TA解：tAApTI100000150043210544..(.)6366.MPamaxpTWt10000041610534.(.)8488.MPattminmax.10204244MPa例题：一直径为D1的实心轴，另一内外径之比α＝d2／D2＝0.8的空心轴，若两轴横截面上的扭矩相同，且最大剪应力相等。求两轴外直径之比D2/D1。解：由TDTD132341616108(.)DD214311081192..得：例题：一空心圆轴，内外径之比为α=0.5，两端受扭转力偶矩作用，最大许可扭矩为Ｔ，若将轴的横截面面积增加一倍，内外径之比仍保持不变，则其最大许可扭矩为Ｔ的多少倍？解：设空心圆轴的内、外径原分别为d、D，面积增大一倍后内、外径分别变为d1、D1，最大许可扭矩为Ｔ1由TDTD113434161161t()()[]由得DDDD1222214105241052(.)(.)得TTDD1133/222828.E轴将功率一半传给C轴，一半传给H轴，已知，P1＝14kW,n1=n2=120r/min,z1=36,z3=12;d1=70mm,d2=50mm,d3=35mm.求:各轴横截面上的最大切应力。3例题P1=14kW,P2=P3=P1/2=7kWn1=n2=120r/min360r/minr/min12361203113＝＝＝zznn3解：计算各轴的功率与转速Mx1=T1=1114N.mMx2=T2=557N.mMx3=T3=185.7N.m计算各轴的扭矩16.54MPaPa1070π111416E9-31P1maxWMxt.69MPa22Pa1050π55716H9-32P2maxWMxt.98MPa12Pa1053π718516C9-33P3max.WMxt计算各轴的横截面上的最大切应力圆轴扭转时的强度条件max[]pTWttt许用剪应力实验表明：在静载作用下，同一种材料在纯剪切和拉伸时的力学性能之间存在一定的联系，因而通常可以从材料的许用拉应力值来确定其许用剪应力值钢：(0.50.60)t铸铁：(0.81)t考虑到受扭圆轴的动荷载等因素，所取的许用剪应力一般比静荷载下的许用剪应力还要低一些可进行三类计算例题一空心轴α=d/D=0.8，转速n=250r/m,功率P=60kW，[t]=40MPa，求轴的外直径D和内直径d。60954995492291.76Nm250Pmn由mDD34346161229176161084010().(.)得D791.mm63.3mmd解：例题汽车传递轴用45号无缝钢管制成，外径D=90mm，壁厚t=2.5mm，工作时最大扭矩T=1.5KN·m，材料的许用剪应力[t]=51MPa1、校核轴的强度；2、改为实心轴时，在强度相同条件下，确定轴的直径；3、比较实心轴和空心轴的重量。解：1、校核轴的强度29022.50.94490DtD34344(1)90(10.944)294001616PDWmm3max91.51051MPa2940010PTWt＜60MPat轴的强度符合要求2、确定实心轴的直径根据题意，实心轴的最大剪应力max51MPatmax316TDt实336161.510m53mm5110D实3、比较实心轴和空心轴的重量两轴材料相同、长度相等，重量比等于横截面面积比2222290850.3153ADdAD空实实例题：在强度相同的条件下，用d/D=0.5的空心圆轴取代实心圆轴，可节省材料的百分比为多少?解：设实心轴的直径为d1，由TdTD13341616105(.)Dd11022.得：AADd空实2212410540783(.).圆杆扭转时的变形及刚度条件★受扭圆轴的相对扭转角圆轴扭转时，任意两截面间绕轴线相对转动的角度称为该两截面间的相对扭转角，如ABPddTxxGIxpddBBABAATxxGIx沿轴线方向积分，得到dx微段的相对扭转角dmmxdxdxT(x)T(x)AB对于两端承受集中扭矩的等截面圆轴，两端面的相对扭转角为：PTlGI对于各段扭矩不等或截面极惯性矩不等的阶梯状圆轴，轴两端面的相对扭转角为：1niiiPiTlGI为了排除长度的影响，采用单位长度相对扭转角表示圆轴的扭转变形程度，即扭转角的变化率。pddTxxxGIx例题：已知一直径d=50mm的钢制圆轴在扭转角为6°时，轴内最大剪应力等于90MPa，G=80GPa。求该轴长度。解：(1)pTlGImax(2)pTWt()()12得：maxppIGlWt618080100059010296.233.m例题：圆截面橡胶棒的直径d=40mm，受扭后，原来表面上的圆周线和纵向线间夹角由90°变为88°。如杆长l=300mm，试求两端截面间的相对扭转角；如果材料的剪变模量G=2.7MPa，试求杆横截面上最大剪应力和杆端的外力偶矩m。mdl解：由ld2得ld2223004030tmaxG272180.009425.MPamaxpmWt009425100041663..118.Nm2l例题：图示钢制实心圆截面轴，d=70mm，G=80GPa，lAB＝300mm，lAC＝500mm，m1＝1592Nm，m2＝955Nm，m3＝637Nm，求截面C相对截面B的扭转角。ACB1m2m3mABlACl1231592Nm955Nm637Nmmmm解：假设A截面不动ABABBAPTlGIACACCAPTlGI34129955300107010(8010)3234129637500107010(8010)3231.5210rad31.6910rad41.710radCBCABAACB1m2m3mABlACl方向同m3第一种解法第二种解法叠加法在线弹性、小变形条件下，分别求出在m1和m3单独作用下，C截面相对B截面的扭转角，然后叠加。1231592Nm955Nm637NmmmmACB1m2m3mABlACl31()ABACABCBPPmllmlGIGI3341241299159230010637(300500)1070107010(8010)(8010)323241.710rad正负号表明了转向※扭转超静定问题解法例题：两端固定的圆截面等直杆AB，在截面C受外力偶矩m作用，试求杆两端的支座反力偶矩。mCBAɑb解：mmmAB静力平衡方程为：0ABACCB变形协调条件为：maGImbGIApBp0即：AmbmlBmamlmCBAɑbmmBmA★受扭圆轴的刚度设计准则为了机械运动的稳定和工作精度，机械设计中要根据不同要求，对受扭圆轴的变形加以限制，亦即进行刚度设计将最大单位长度相对扭转角限制在允许的范围内，即为刚度设计准则或称刚度条件：maxmaxpmaxddTxxGIx