数模重修06答案

共6页第1页东南大学考试卷（重修卷）课程名称数学建模与实验考试学期得分适用专业重修各专业考试形式开卷考试时间长度120分钟一.雇佣关系模型（18`）（1）假设雇员的满意度曲线形式为323wtc，画出每天雇员的无差别曲线族示意图。(2）如果雇主付计时工资，求出雇主与雇员的协议曲线。（3）如果雇主希望雇员每天工作10小时，他应该怎样支付雇员工资。解（1）绘出的图见右图（2）设32003(,)ttc是某条雇员无差别曲线上的一点，过此点的曲线的切线方程为23232400000332()2wttttctttc若此切线正好是雇主的计时工资曲线，则必须经过坐标原点，因此3304tc，切点坐标为33342(,)cc，消去参数c，可以得到协议曲线方程为32wt（3）根据（2）求出的协议曲线方程，得到010t，对应协议曲线上的点，即切点坐标为(10,2000)。因此雇主应当支付雇员2000工资。学号姓名共6页第2页二（18`）甲方截获了一段密文:BKOPGATRHMMBFCSDJCCAUU经分析这段密文是用Hill2密码编译的,且这段密文的字母SDJC依次代表明文字母IJIA。采用汉语拼音的26个字母与0～25之间建立一一对应关系，即A～1，B～2，…，Z～0,（1）求出加密矩阵A,并在模26意义下，求矩阵A的逆矩阵。（2）利用（1）的解密矩阵将下列一段密文翻译成明文UCFQOP解（1）根据明文字母IJIA对应的2个向量可以构造明文矩阵99101P根据密文字母SDJC对应的2个向量可以构造密文矩阵191043Q根据加密原理可知，(mod26)APQ1191(mod26)10981(mod26)1171(mod26)1692311717(mod26)1691731223P,所以1(mod26)1910173(mod26)43122330437021(mod26)88416151103AQP131325272251171(mod26)9(mod26)(mod26)010109093A，或者根据11(mod26)APQ也可以得到相同结果。（2）UCFQOP两两分组，分别对应向量[21，3]T，[6，17]T，[15，16]T，用1A左乘以上各向量分别得到[72，27]T，[295,153]T，[287,144]T，经模26运算得[20，1]T，[9，23]T，[1,14]T共6页第3页对应的密文为TAIWAN三、（18`）若消费者的效用函数U（q1，q2）=2212211)(bqaq，且两商品的价格分别为p1=4，p2=2，设消费者共有资金22万元，请问（1）若2,3,ab求购买两种商品所用的资金分别为多少时消费者满意度最高？（2）若最优选择比例1218ss，且1a，求b值。解：11111122222212112212(),()UUaqbqaqaqbqbqqq：购买两种商品所用的资金最优解应该满足条件1122UqpUpq，即2121aqppbq所以最优选择比例221111222222211spqpapapspqpbpbp（1）因为21222182369sapsbp，而1222sss万，所以，124,18ss万万（2）因为212221sapsbp，所以221128124psbaps共6页第4页四（20`）变量x与y的一组观测数据如下：x12345y6895125154187（1）用差分法判断最适合的拟合多项式的阶数。（2）用（1）里确定的最适合阶数的多项式对上述数据进行曲线拟合。（3）用外推法求10x时的y值。解:（1）差分表如下234689527125303154291418733459yyyyy据此得到，最适当的多项式阶数为2（2）11142193116412551A,68,95,125,154,197Ty,正规方程为TTAAaAy，即9792255589622255515223455155639a解得：[2.2143,18.4143,48.2]Ta22.214318.414348.2yxx（3）拟合多项式为22.214318.414348.2yxx当10x，推出453.7714y。共6页第5页五(12’)地铁停车阶段所受阻力与地铁速度成正比，设地铁正常行驶速度为90km/h，开始停车4s后速度为36km/h，问何时速度减为18km/h（保留到小数点后两位）？到完全停止时地铁走过多少路程？（保留到小数点后两位）解：由题设及牛顿第二运动定律知dvmkvdt，令kam，则，0()atvtve090/25/vkmhms，(4)36/10/vkmhms，故有01()11012lnlnln42545vtatv令0363600atve，可以解得ln250048.545ln2ts到完全停止时地铁走过的路程为0000()109.14atvsvtdtvedtma共6页第6页六(14’)(1)若某种群年龄结构矩阵及初始个体数为00.4520.500,(0)300.3020PX讨论这个种群的年龄分布的发展趋势；(2)若0610400.200,(0)10000.2030PX讨论这个种群的年龄分布与个体总体数的发展趋势。解：(1)矩阵P的特征多项式为3()det0.20.75fIP根据牛顿迭代公式31()0.20.75()30.2kkkkkkkkff假设11，则2340.9821,0.9818所以主特征值为00.98181，所以该种群最终将趋于绝灭。(2)矩阵P的特征多项式为3()det1.20.4fIP根据牛顿迭代公式31()1.20.4()31.2kkkkkkkkff假设11，则23456789101.3333,1.2011,1.2463,1.2304,1.2359,1.2340,1.2347,1.2344,,1.2345所以主特征值为01.23451，所以该种群最终将近似地按0.2345的比例递增。稳定的年龄结构向量为11222000.20.20.21,,1,,1,0.162,0.02621.23451.2345TTTsssn所以该种群最终年龄分布向量与n对应成比例。