二重积分的复化梯形公式

摘要求函数在给定区间上的定积分，在微积分学中已给出了许多计算方法，但是，在实际问题计算中，往往仅给出函数在一些离散点的值，它的解析表达式没有明显的给出，或者，虽然给出解析表达式，但却很难求得其原函数。这时我们可以通过数值方法求出函数积分的近似值。前面已经对一重积分做了相应的学习和实验，但是正如我们所知的，在处理具体问题时，或在数学中有二重积分，更甚至n重积分，当遇到这类问题时，该如何处理？在微积分内容的学习中计算二重积分是用化为累次积分的方法进行的。计算二重积分也是计算累次数值积分的过程。为了简化计算，本实验仅对矩形域上的二重积分进行讨论。本实验将通过复化梯形公式来实现二重积分的求解，编程实现二重积分的复化梯形公式。关键词：二重积分复化梯形公式11、实验目的1)通过本次实验体会并学习复化梯形公式在处理二重积分过程中的优点2)通过对二重积分的复化梯形公式进行编程实现，提高自己的编程能力。3)用实验报告的形式展现，提高自己在写论文方面的能力2、算法流程对矩形区域[a,b]×[c,d]进行分割，沿x轴方向将[a,b]m等分，沿y轴方向将[c,d]n等分，步长分别为ℎ=𝑏−𝑎𝑚,k=𝑑−𝑐𝑛先用复化梯形公式计算∫𝑓(𝑥,𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑐,计算中将x当作常数，有∫𝑓(𝑥,𝑦)𝑑𝑦≈𝑘2𝑑c[𝑓(𝑥,𝑦0)+𝑓(𝑥,𝑦𝑛)+2∑𝑓(𝑥,𝑦𝑗)𝑛−1𝑗=1]然后将y当做常数，在x方向上计算积分，有∫𝑓(𝑥,𝑦0)𝑑𝑥≈ℎ2𝑏a[𝑓(𝑥0,𝑦0)+𝑓(𝑥𝑚,𝑦0)+2∑𝑓(𝑥𝑖,𝑦0)𝑚−1𝑖=1]∫𝑓(𝑥,𝑦𝑛)𝑑𝑥≈ℎ2𝑏a[𝑓(𝑥0,𝑦𝑛)+𝑓(𝑥𝑚,𝑦𝑛)+2∑𝑓(𝑥𝑖,𝑦𝑛)𝑚−1𝑖=1]∫∑𝑓(𝑥,𝑦𝑗)𝑛−1𝑗=1𝑑𝑥=𝑏𝑎∑∫𝑓(𝑥,𝑦𝑗)𝑑𝑥𝑏𝑎𝑛−1𝑗=1≈ℎ2∑[𝑓(𝑥0,𝑦𝑗)+𝑓(𝑥𝑚,𝑦𝑗)+2∑𝑓(𝑥𝑖,𝑦𝑗)𝑚−1𝑖=1]𝑛−1𝑗=1=ℎ2∑[𝑓(𝑥0,𝑦𝑗)+𝑓(𝑥𝑚,𝑦𝑗)]+4∑∑𝑓(𝑥𝑖,𝑦𝑗)𝑚−1𝑖=1𝑛−1𝑗=1𝑛−1𝑗=12于是∫∫𝑓(𝑥,𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑐𝑏𝑎≈ℎ𝑘{14[𝑓(𝑥0,𝑦0)+𝑓(𝑥𝑚,𝑦0)+𝑓(𝑥0,𝑦𝑛)+𝑓(𝑥𝑚,𝑦𝑛)]+12[∑𝑓(𝑥𝑖,𝑦0)𝑚−1𝑖=1+∑𝑓(𝑥𝑖,𝑦𝑛)𝑚−1𝑖=1+∑𝑓(𝑥0,𝑦𝑗)𝑛−1𝑗=1+∑𝑓(𝑥𝑚,𝑦𝑖)𝑛−1𝑗=1]+∑∑𝑓(𝑥𝑖,𝑦𝑗)𝑚−1𝑖=1𝑛−1𝑗=1}=ℎ𝑘∑∑𝑐𝑖𝑗𝑓(𝑥𝑖,𝑦𝑗)𝑚𝑖=0𝑛𝑗=0积分区间的4个角点的系数是14，4个边界的系数是12，内部节点的系数是1。3、算法实例用复化梯形公式计算二重积分s=ab∫∫√𝑡2+𝑅2(1−𝑡2)(𝑐𝑜𝑠2𝜃𝑎2+𝑠𝑖𝑛2𝜃𝑏2)102𝜋0𝑑𝑡𝑑𝜃取R=30m,a=30.6m,b=29.6m,s的真实值为5679.81解：程序具体为：#includeiostream#includemath.husingnamespacestd;constintL(500);constdoubleT(30),A(30.6),B(29.6);voidmain(){floata,b,c,d;floath,k;3inti,j,m,n;doubleFx=0,F1=0,F2=0,F3=0,F4=0,F5=0,F6=0;floatx[L]={0};floaty[L]={0};floatR[L][L]={0};cout请输入二重积分沿x轴方向的上下限endl;cinab;cout请输入沿x轴方向的等分数endl;cinm;coutendl;cout请输入二重积分沿y轴方向的上下限endl;cincd;cout请输入沿y轴方向的等分数endl;cinn;h=(b-a)/m;k=(d-c)/n;for(i=0;im+1;i++){x[i]=a+h*i;}for(j=0;jn+1;j++){y[j]=c+k*j;}for(i=0;im+1;i++){for(j=0;jn+1;j++){R[i][j]=sqrt(x[i]*x[i]+T*T*(1-x[i]*x[i])*(cos(y[j])*cos(y[j])/(A*A)+sin(y[j])*sin(y[j])/(B*B)));}}4//4个角点系数F1=R[0][0]+R[m][0]+R[0][n]+R[m][n];//4个边界系数for(i=1;im;i++){F2=F2+R[i][0];F3=F3+R[i][n];}for(j=1;jn;j++){F4=F4+R[0][j];F5=F5+R[m][j];}for(i=1;im;i++){for(j=1;jn;j++){F6=F6+R[i][j];}}Fx=A*B*h*k*(1/4*F1+1/2*(F2+F3+F4+F5)+F6);cout二重积分的结果为：Fxendl;}5运行结果：4、对结果进行分析通过用编程实现对上例的求解，可以看出结果较为准确，但是由于二重积分的原理问题，所以本身存在误差，而且由于在计算机上计算，会存在计算误差。并且，逼近真实值的速度比较慢。如上所示，当等分数为490时，得到的值精确度还是不高。5、参考文献[1]秦新强.数值逼近.西安：西安理工大学出版社，2010