3.平面与平面垂直的判定与性质

试卷第1页，总2页平面与平面垂直的判定与性质一、基础知识1．平面和平面垂直的定义两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．2．平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直二、课堂练习（一）面面垂直的判定问题1、如图所示，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，Q为AD的中点．且PA＝PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；2.在四棱锥PABCD中，O为菱形对角线交点，M为中点，且MAMC证明：平面PBDAMC平面.试卷第2页，总2页3.在四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵𝐶𝐷是平行四边,∠𝐴𝐷𝐶=45∘,𝐴𝐷=√2,𝐶𝐷=1,𝑃𝐵=𝑃𝐶=√3,PA=2证明：平面𝑃𝐴𝐶⊥平面PCD；4.已知三棱柱111ABCABC中，底面ABC为边长为22的等边三角形，14BB且111ACBB，且01145ABB.证明：平面11BCCB平面11ABBA.5.如图，在斜三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1中，底面𝐴𝐵𝐶是边长为2的正三角形，𝐵𝐵1=3，𝐴𝐵1=√10，∠𝐶𝐵𝐵1=60∘.求证：平面𝐴𝐵𝐶⊥平面𝐵𝐶𝐶1𝐵1试卷第3页，总2页方法小结：面面垂直的证明步骤1.作出两平面的公共棱2.找到公共棱上的垂线（若公共棱上无垂线，可尝试向公共棱作垂线）3.证明线面垂直说明：上述解法的依据实质为面面垂直性质定理的应用.6.在直棱柱111ABCABC中，190,,,ABCABBCBBDE为中点.证明：平面1ABEABD平面.变式：在直棱柱111ABCABC中，ABAC，1BCCC,,DE为中点.证明：平面1ABEABD平面.7.如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PCD⊥平面ABCD，𝐴𝐵=𝐴𝐷=12𝐶𝐷=1，∠BAD＝∠CDA＝90°，𝑃𝐶=𝑃𝐷=√2．求证：平面PAD⊥平面PBC；（二）面面垂直的性质问题7、在四棱锥SABCD中，,SASDSADABCD平面平面，ABCD为正方形，,EF为中点.证明：CFSBE平面.试卷第4页，总2页8.在三棱柱111ABCABC中，11AABB为正方形，11BBCC为菱形，1111AABBBBCC平面平面证明：11BCAC.9.如图所示，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为CD的中点，F为AE的中点．现在沿AE将三角形ADE向上折起，在折起的图形中解答下列问题：(1)在线段AB上是否存在一点K，使BC∥平面DFK？若存在，请证明你的结论；若不存在，请说明理由；(2)若平面ADE⊥平面ABCE，求证：平面BDE⊥平面ADE.10.如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E是AB的中点，沿DE将△ADE折起.(1)若二面角A－DE－C是直二面角，求证：AB＝AC；(2)若AB＝AC，求证：平面ADE⊥平面BCDE.12.已知三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1中，∠𝐵𝐶𝐴=900，𝐴𝐶=𝐵𝐶=2，𝐴1在底面ABC上的射影恰为𝐴𝐶的中点𝐷，𝐵𝐴1⊥𝐴𝐶1.(1)求证:𝐴𝐶1⊥平面𝐴1𝐵𝐶;(2)求二面角𝐴−𝐴1𝐵−𝐶的余弦值.