数字信号处理教程复习资料

《数字信号处理教程》复习资料3第一章离散时间信号与系统(一)本章重点小结：01.信号的分类：(1)连续时间信号：时间是连续的，幅值可以是连续的也可以是离散（量化）的。(2)模拟信号：时间是连续的，幅值也是连续的。(3)离散时间信号（或称序列）：时间是离散的，幅度是连续的。(4)数字信号：时间是离散的，幅值是量化的。02.序列的运算：(1)移位：0时，(−)指右移位；(+)指左移位。0时，(−)指左移位；(+)指右移位。(2)翻褶：(−)是以=0的纵轴为对称轴将序列()加以翻褶。(3)和：指同序号()的序列值逐项对应相加而构成一个新的序列，表示为()=()+()(4)积：指同序号()的序列值逐项对应相乘而构成一个新的序列，表示为()=()∙()(5)累加：某序列()的累加序列()定义为()=()表示()在某一个上的值等于这一个上的()值以及以前的所有值上的()值之和。(6)差分运算：前向差分：∆()=(+1)−()后向差分：∇()=()−(−1)由此得出：∇()=∆(−1)《数字信号处理教程》复习资料4(7)时间尺度变换：1)抽取：将序列()的时间间隔由变为后形成的序列()，表示从()的每连续个抽样值中取出一个组成的新序列。2)零值插入：把序列()的两个相邻抽样值之间插入(I−1)个零值（I为整数）得到的新的序列。也就是说扩展后的抽样频率为原来的I倍。(8)卷积和：两序列()和()的卷积和定义为()=()(−)=()∗()卷积和的运算在图形表示上可分为四步：翻褶、移位、相乘、相加。A.翻褶：先在变量坐标上做出()和()，将()以=0的垂直轴为对称轴翻褶成(−)。B.移位：将(−)移位，即得到(−)。当为正整数时，右移位；当为负整数时，左移位。C.相乘：再将(−)和()的相同值的对应点值相乘。D.相加：把以上所对应点的乘积叠加起来，即得到()的值。03.几种常用序列：(1)单位抽样序列（单位冲激）δ()：δ()=()−(−1)=1，=00，≠0(2)单位阶跃序列()：()=1,≥00,0δ()与()间的关系：δ()=()−(−1)=∇()(3)矩形序列ℛ()：ℛ()=()−(−)=1，0≤≤−10，其他(4)实指数序列：()=()=||1时，序列是收敛的||1时，序列是发散的(5)复指数序列：()=e()=e(cosω+sinω)欧拉公式(6)正弦型序列：()=sin(ω+ϕ)《数字信号处理教程》复习资料504.序列的周期性：如果对所有存在一个最小的正整数，满足()=(+)，则称序列()是周期为的周期性序列。05.判断正弦序列()=cos(ω+ϕ)或()=sin(ω+ϕ)为周期性序列的方法如下：(1)当为整数时，周期即为=为最小正整数周期；(2)当为有理数=时，周期则为=为最小正整数周期；(3)当为无理数时，()为非周期序列。06.用单位抽样序列来表示任意序列：()=()δ(−)=()∗δ()07.序列的能量：序列()的能量E定义为序列各抽样值的平方和，即E=|()|08.线性系统：满足叠加原理的系统称为线性系统。即若某一输入是由N个信号的加权和组成，则输出就是系统对这几个信号中每一个的响应的同样加权和组成。设()=[()]，()=[()]则满足下面两个性质：1)可加性：()+()=[()]+[()]=[()+()]2)比例性（齐次性）：()=[()]=[()]()=[()]=[()]综合上面两点，叠加原理可表示为：()+()=[()]+[()]=[()+()]对线性系统满足叠加原理的一个直接结果是：零输入产生零输出。09.在证明一个系统是线性系统时，必须证明此系统同时满足叠加原理（可加性和比例性），而且信号可以是任意序列，包括复序列，比例常数可以是任意数，包括复数。《数字信号处理教程》复习资料610.移不变系统：输入输出的运算关系不随时间的变化而变化的系统为移不变系统。对移不变系统，若[()]=()，则[(−)]=(−)11.若系统有一个移变的增益，则此系统一定是移变的系统。12.单位抽样响应（单位冲激响应）：线性移不变系统可用它的单位抽样响应来表征。单位抽样响应()是指输入为单位冲激序列时系统的输出，即()=[δ()]。知道()后，就可得到此线性移不变系统对任意输入的输出。13.线性移不变系统的卷积和：()=()δ(−)=()[δ(−)]=()(−)=()∗()14.线性移不变系统的性质：1)交换律：()=()∗()=()∗()（卷积和与序列次序无关）2)结合律：()=()∗()∗()=[()∗()]∗()=()∗[()∗()]=[()∗()]∗()3)分配律：()=()∗[()+()]=()∗()+()∗()15.因果系统：指某时刻的输出只取决于此时刻和此时刻以前的输入的系统，即=的输出()只取决于≤的输入()|。对于因果系统，如果，()=()，则时()=()。16.线性移不变系统是因果系统的充分必要条件是：()=，17.因果序列：我们将0，()=0的序列称为因果序列，表示这个因果序列可以作为一个因果系统的单位抽样响应。18.稳定系统：稳定性是系统能正常工作的先决条件。稳定系统是指有界输入产生有界输出(BIBO)的系统。若|()|≤ℳ∞，则|()|≤∞。《数字信号处理教程》复习资料719.线性移不变系统是稳定系统的充分必要的条件是：（单位抽样响应绝对可和）|()|=∞20.因果稳定的线性移不变系统的单位抽样响应是因果的且是绝对可和的，即()=()()|()|∞21.常系数线性差分方程表示离散时间线性移不变系统的输入输出关系，即(−)=bℳ(−)22.求解差分方程——单位抽样响应的方法：迭代法。因为单位抽样δ()作用下产生的系统响应()零状态解就完全能代表系统。我们利用δ()只在=0时取值为1的特点，用迭代法求出其单位冲激响应(0)，(1)，⋯，()。23.信号被抽样后其频谱将会周期性延拓，在满足抽样定理的条件下，可以从抽样数据信号̂()中不失真的恢复出原来的信号()。24.当脉冲宽度为τ时，可得到实际抽样，当脉冲宽度τ→0时，得到的是理想抽样。25.奈奎斯特抽样定理：若()是频带宽度有限的，要想抽样后()=()能够不失真地还原出原信号()，则抽样频率必须大于或等于两倍信号谱的最高频率，即f≥2f。《数字信号处理教程》复习资料8(二)部分习题解答：01.已知线性移不变系统的输入为()，系统的单位抽样响应为()，试求系统的输出()，并画出图形。⑴()=δ()，()=ℛ()⑵()=ℛ()，()=ℛ()分析：两序列()和()的卷积和定义为（为哑变量，为参量）()=()(−)=()(−)=()∗()卷积和的运算在图形表示上可分为四步：翻褶、移位、相乘、相加。A.翻褶：先在哑变量坐标上做出()和()，将()以=的垂直轴为对称轴翻褶成(−)。B.移位：将(−)移位，即得到(−)。当为正整数时，右移位；当为负整数时，左移位。C.相乘：再将(−)和()的相同值的对应点值相乘。D.相加：把以上所对应点的乘积叠加起来，即得到()的值。解答：1）()=δ()，()=ℛ()−4−3−2−101234()()000010000╳(−)111110000(0)=1(1−)011111000(1)=1(2−)001111100(2)=1(3−)000111110(3)=1(4−)000011111(4)=1()=()∗()=1，1，1，1，1，其图形为：《数字信号处理教程》复习资料92）()=ℛ()，()=ℛ()−3−2−101234()()00011100╳(−)11110000(0)=1(1−)01111000(1)=2(2−)00111100(2)=3(3−)00011110(3)=3(4−)00001111(4)=2(5−)00000111(5)=1()=()∗()=1，2，3，3，2，1，其图形为：02.判断下列每个序列是否是周期性的，若是周期性的，试确定其周期。⑴()=cos−⑵()=sin⑶()=e分析：()=(+)或()=(+)的周期性判断方法如下：A.当为整数时，周期即为=为最小正整数周期；B.当为有理数=时，周期则为=为最小正整数周期；C.当为无理数时，()为非周期序列。《数字信号处理教程》复习资料10解答：1）()=cos−由于===，则该序列为周期性序列，最小周期为=14。2）()=sin由于===，则该序列为周期性序列，最小周期为=6。3）()=e=cos−π+sin−π=−cos−sin，由于===12π是无理数，则该序列为非周期性序列。03.试判断下列的系统是不是线性系统。并判断⑵、⑶是不是线性移不变系统。⑴()=()⑵()=[()]⑶()=()sin2π9+π7⑷()=(−)⑸()=()分析：利用定义来证明。①线性：满足叠加原理，即[()+()]=[()]+[()]②移不变性：输入与输出的移位应相同，即[(−)]=(−)解答：⑴()=∑()()=[()]=()，()=[()]=()()+()=()+()=[()+()][()+()]=[()+()]由于[()+()]=()+()，所以该系统为线性系统。⑵()=[()]()=[()]=[()]，()=[()]=[()]()+()=[()]+[()][()+()]=[()+()]由于[()+()]≠()+()，则系统不是线性系统。《数字信号处理教程》复习资料11[(−)]=[(−)]，(−)=[(−)]，即[(−)]=(−)，则此系统是移不变的。⑶()=()sin+()=()sin+，()=()sin+()+()=()sin++()sin+[()+()]=[()+()]sin+即有[()+()]=()+()，所以该系统为线性系统。[(−)]=(−)sin+(−)=(−)sin(−)+由于[(−)]≠(−)，则此系统不是移不变的。⑷()=(−)()=[()]=(−)，()=[()]=(−)()+()=[()]+[()]=(−)+(−)[()+()]=(−)+(−)即有[()+()]=()+()，所以该系统为线性系统。⑸()=()()=[()]=()，()=[()]=()()+()=[()]+[()]=()+()[()+()]=()+()即有[()+()]=()+()，所以该系统为线性系统。04.试判断以下系统是不是①线性的，②移不变的，③因果的，④稳定的系统？⑴[()]=ℊ()()⑵[()]=()⑶[()]=(−)⑷[()]=e()《数字信号处理教程》复习资料12分析：线性和移不变性可依据上一题的方法来证明。因果性和稳定性可用定义证明，也可以依据线性移不变系统的单位抽样相应，可用|()|=∞来判断稳定性，用()=()判断因果性。解答：⑴[()]=ℊ()()①[()+()]=ℊ()[()+()]=ℊ()∗()+ℊ()∗()=[()]+[()]=()+()满足线性系统的叠加原理，所以该系统为线性系统。②[(−)]=ℊ()(−)，(−)=ℊ(−)(−)因为[(−)]≠(−)，所以该系统不是移不变系统。③[()]=ℊ()()在=时的输出只与=时的输入有关，所以该系统为因果系统。④当|()|≤ℳ∞时|()|=|ℊ()()|≤|ℊ()||()|≤|ℊ()|∗ℳ≤∞，则此系统是稳定的系统。⑵[()]=()①[()+()]=[()+()]=()+()=[()]+[()]=()+()满足线性系统的叠加原理，所以该系统为线性系统。《数字信号处理教程》复习资料13②[(−)]=(−)=()，(−)=()因为[(−)]≠(−)，所以该系统不是移不变的。③当=的输出()只取决于≤的输入()|，所以该系统为因果系统。④当|()|≤ℳ∞时|()|≤∞成立，则此系统是稳定的系统。⑶[()]=(−)①[()+()]=(−)+(−)=[()]+[()]满足线性系统的叠加原理，所以该系统为线性系统。②[(−)]=(−−)，(−)=(−−)因为[(−)]=(−)，所以该系统是移不变的。③当0时，该系统的输出还与当前时刻=后的输入有关，所以该系统不是因果系统。④当输