重积分教案一

1第八章第八章第八章第八章重积分教案（一）重积分教案（一）重积分教案（一）重积分教案（一）目的：理解重积分的定义、性质；掌握重积分的计算方法。目的：理解重积分的定义、性质；掌握重积分的计算方法。目的：理解重积分的定义、性质；掌握重积分的计算方法。目的：理解重积分的定义、性质；掌握重积分的计算方法。重点：计算方法。重点：计算方法。重点：计算方法。重点：计算方法。学时：四学时。学时：四学时。学时：四学时。学时：四学时。内容：重积分定义与二重积分的计算内容：重积分定义与二重积分的计算内容：重积分定义与二重积分的计算内容：重积分定义与二重积分的计算一、重积分定义一、重积分定义一、重积分定义一、重积分定义定义定义定义定义设Ω是一个有界几何形体，fp()是定义在Ω上的有界函数。将Ω任意分割成若干小区域∆Ω∆Ω∆Ω12,,,⋅⋅⋅n（∆Ωi也表示其几何度量），在∆Ωiin(,,,)=⋅⋅⋅12上任意取一点pi作乘积fpinii()(,,)∆Ω=⋅⋅⋅12并作和fpiini()=∑1∆Ω。如果当各小区域的直径中最大值λ趋于零时，这和式的极限存在，则称此极限值为函数fp()在闭区域Ω上的重积分，记为fpd()ΩΩ∫，即fpdfpiiin()lim()Ω∆ΩΩ∫∑=→=λ01此时亦称fp()在Ω上可积。其中，p叫做积分变量；∫叫积分号；fp()叫做被积函数；fpd()Ω叫做被积表达式；Ω叫积分区域；fpiini()=∑1∆Ω叫做积分和。当Ω是二维闭区域，即Ω为平面区域D时，fp()记为fxy(,)，称ddΩ=σ为面积元素，称积分fpd()ΩΩ∫为二重积分，记为fxydD(,)σ∫∫，xy,为积分变量。当Ω是三维闭区域，即Ω为空间闭区域时，fpfxyz()(,,)=，dΩ为体积元素，称积分fpd()ΩΩ∫为三重积分，记为fxyzd(,,)ΩΩ∫∫∫。xyz,,为积分变量。当积分区域是平面上的一条有界、光滑曲线L时，fp()记为fxy(,)，称ddsΩ=为弧长元素，此时称积分为对弧长的曲线积分或第一类曲线积分，记为fxydsL(,)∫。当积分区域是一张有界光滑曲面Σ时，fpfxyz()(,,)=，ddSΩ=称为面积元素，此时称积分为对面积的曲面积分或第一类曲面积分，记为fxyzdS(,,)Σ∫∫。在积分定义中，我们应该注意：（1）积分定义中的分割、取点是任意的，不能用特殊的分割、取点极限存在说明积分存在；（2）如果事先知道积分存在，我们可用特殊的分割和特殊的取点去求积分值；（3）重积分是一个数，只与被积函数、积分区域有关，与积分变量用什么表示无关。2有了积分定义，第一节的例子可表示如下:曲边梯形的面积=fxdxab()∫；作变速直线运动的物体所走过的路程=vtdtTT()12∫；平行截面面积已知的立体体积=Axdxab()∫；曲顶柱体的体积=fxydD(,)σ∫∫。当被积函数非负时，这正是定积分、二重积分的几何意义。对三重积分，当被积函数大于零时，它代表分布密度为fxyz(,,)的物体Ω的质量。那积分在什么条件下才存在呢？下面的定理回答了这个问题。定理定理定理定理如果函数fp()在有界闭区域Ω内连续，则fp()在Ω内的积分一定存在。思考：曲线、曲面积分的几何意义。重积分与定积分有相同的性质，这里不在重复。假设fxy(,)在平面有界闭区域D上可积，在直角坐标系中利用平行于坐标轴的直线网划分D，则ddxdyσ=。二、在直角坐标系中计算二重积分二、在直角坐标系中计算二重积分二、在直角坐标系中计算二重积分二、在直角坐标系中计算二重积分设积分区域D可以用不等式ϕϕ12()(),xyxaxb≤≤≤≤yy=ϕ2()xDy=ϕ1()xabx图8—6来表示（图8—6），其中ϕϕ12(),()[,]xxab在连续。下面我们用几何观点来讨论二重积分fxydD(,)σ∫∫的计算。设fxy(,)≥0。按照二重积分的几何意义，fxydD(,)σ∫∫的值等于以D为底，以曲面zfxy=(,)为顶的曲顶柱体的体积，如（图8—7）。如何求此体积呢？我们用计算“平行截面面积为已知的立体的体积”的方法来计算曲顶柱体的体积。在区间[,]ab上任取一点x0，过点(,,)x000作平行于yoz平面的平面xx=0。这平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间[(),()]ϕϕ1020xx为底，曲线zfxy=(,)0为曲边的曲边梯形（图8—7中阴影部分），截面面积为:Axfxydyxx()(,)()()001020=∫ϕϕ一般地，过区间[,]ab上任意一点x且平行与yoz面的平面截曲顶柱体所得截面的面3积为Axfxydyxx()(,)()()=∫ϕϕ12从而曲顶柱体的体积为zyoyϕ10()xϕ20()xxx0Dx图8—7VAxdxfxydydxababxx==∫∫∫()[(,)]()()ϕϕ12即有fxydfxydydxDabxx(,)[(,)]()()δϕϕ∫∫∫∫=12上式右端的积分叫做先对y后对x的二次积分。就是说，先把x看作常数,fxy(,)只看成y的函数，并对y计算从ϕϕ12()()xx到的定积分；然后把算得的结果再对x计算在区间[,]ab上的定积分。上式还可以记成fxyddxfxydyDxxab(,)(,)()()σϕϕ∫∫∫∫=12（6.1）在上述讨论中，我们假定fxy(,)≥0，但实际上公式（6.1）的成立不受此条件的限制。类似地，如果积分区域D可以用不等式：φφ12()(),yxycyd≤≤≤≤来表示，其中φφ12(),()[,]yycd在上连续，则fxydfxydxdyDyycd(,)[(,)]()()σφφ∫∫∫∫=12（6.2）上式右端是先对x、后对y的二次积分，此积分也可以写成fxyddyfxydxDyycd(,)(,)()()σφφ∫∫∫∫=11称图8—8(1)所示的区域为X型区域，其特点是穿过D内部且平行于y轴的直线与D的4边界相交不多于两点。应用公式（6.1）时，积分区域必须是X型区域。图8—8(2)所示的区域为Y型区域，其特点是穿过区域D内部且平行于x轴的直线与D的边界相交不多于两点。yyOx0x图8—8（1）图8—8（2）应用公式（6.2）时，积分区域必须是Y型区域。如果积分区域如图8—9所示那样，我们把区域D分成几部分，使每一部分成为X型或Y型区域，在每一部分上应用公式（6.1）或（6.2）。再根据积分性质求得原来的积分值。如果积分区域既是X型，又是Y型（图8—10），从公式（6.1）和（6.2）得dxfxydydyfxydxyycdxxab(,)(,)()()()()=∫∫∫∫φφϕϕ1212yyD0x0x图8—9图8—10二重积分化二次积分的关键是确定积分限。如何确定积分限？（1）画出积分区域D的图形。（2）若D是X型区域则向x轴投影，得投影区间为[,]ab，直线xa=和直线xb=将D的边界分为两部分yxyxxx==≤ϕϕϕϕ1212(),()(()())。任取xab∈[,],过（x,0）点做平行于y轴的直线，交D的边界于(,()),(,())xxxxϕϕ12，该线段上点的纵坐标从ϕ1()x变到ϕ2()x，即y的变化范围。从而x的积分上限是b，下限为a；y的积分上限为ϕ2()x，下限为ϕ1()x。（3）对Y型区域可类似找到其积分限。例例例例1111计算xydxdyD22∫∫，D由直线xyx==2,和双曲线xy=1围成。解解解解D的图形如图8—11所示，它显然是一X型区域。此时D可以表示为112xyxx≤≤≤≤,所以可先对y，后对x积分：xydxdydxxydyxxxdxxxdxxxD2222121122312194==−+=−=∫∫∫∫∫∫()()5D显然也是Y型区域，故也可以先对x后对y积分。但这时D的左边界曲线是由yxyx==1,两段组成，因此需要将D分成两部分DD12,，分别计算之。yy2y=xDO12xOx图8—11图8—12DyxyDyxy1212121212:,.:,≤≤≤≤≤≤≤≤于是xydxdyxydxdyxydxdydyxydxdyxydxDDDyy2222222222212121211294∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫=+=+=从此例可以看出选取积分次序也是很重要的，若能正确选择积分次序可作到事半功倍。否则事倍功半，甚至不能达到目的。例例例例2222计算xedxdyyD22−∫∫，其中D由直线yxyy==,1及轴围成。解解解解如图8—12所示，D既是X型又是Y型域若先对xy后对积分，则D为Dxyy:,001≤≤≤≤于是xedxdydyxedxxedyyedyyedyeyDyyyyyy2203001013220101222221313161613−−−−−∫∫∫∫∫∫∫=====−[]但此题不能先对y后对x积分，因为此时D为：xyx≤≤≤≤101,，于是6xedxdydxxedyyyxD2210122−−=∫∫∫∫由于被积函数ey−2的原函数不是初等函数，故edyyx−∫21是积不出来的，因此无法先对y计算积分。例例例例3333交换积分dyxxdxyysin∫∫01的次序并计算。解解解解首先将D(图8—13)找到。由yxyy≤≤≤≤,01得，D由曲线yxyx==,2围成。将其化成先对y后对x积分的形式：012≤≤≤≤xxyx,zyy=x2z=2－x－yyDy=xOxy=x2x图8—13图8—14dyxxdxdxxxdyxxxxdxxxdxxxxxdxyyxxsinsinsin()()sin[cos][(cos)cos]sin∫∫∫∫∫∫∫==−=−=−−−+=−0120101010101012111例例例例4444求由平面xyzyxz++===20,,及柱面yx=2所围立体的体积。解解解解如图8—14所示，所求立体可以看作以Dxyxx:,201≤≤≤≤为底，以zxy=−−2为顶的曲顶柱体，故VxydxdydxxydyxxxxdxxxD=−−=−−=−++=∫∫∫∫∫()()()2227212116020123401二、利用极坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分当积分区域为圆域、环域、扇形域及被积函数呈fxy()22+形状时，利用极坐标计算常常很简单。71．极坐标系下的二重积分极坐标系下的二重积分极坐标系下的二重积分极坐标系下的二重积分设fxy(,)在有界闭区域D上连续，将xy,转换成极坐标后frr(cos,sin)θθ仍连续，从而可积。面积元素变成什么样？现在将D用以极点为圆心半径等于常数的同心圆族及极角θ为常数的一族过极点的半射线进行分割,如图8—15。这时小区域∆σi（也表示面积）的面积为∆∆∆∆∆∆∆∆∆σθθθθiiiiiiiiiiiiiirrrrrrrrr=+−=++=12222[()]()其中rrrriiii=++()∆2为相邻两圆弧半径的平均值。在此小闭区域内，取圆周rri=上的一点(,)riiθ，它所对应的直角坐标为(,)ξηii，则ξθηθiiiiiirr==cos,sin于是fxydffrrrrfrrrdrdDiiiniiiiiiniiiD(,)lim(,)lim(cos,sin)(cos,sin)σξησθθθθθθλλ∫∫∑∑∫∫===→=→=0101∆∆∆即fxydfrrrdrdDD(,)(cos,sin)σθθθ∫∫∫∫=这样就将直角坐标系下的二重积分化为极坐标系下的二重积分。2．化极坐标系下的二重积分为二次积分化极坐标系下的二重积分为二次积分化极坐标系下的二重积分为二次积分化极坐标系下的二重积分为二次积分假设区域D可以表示为rrr12()(),θθαθβ≤≤≤≤（图8—16）rri+∆θθi+∆riθirr=2()θrr=1()θ∆σiβαOxox图8—15图8—16其中rr12(),()θθ在[,]αβ连续。与直角坐标类似，可将极坐标系下的二重积分化成先对r8后对θ的二次积分：frrrdrddfrrrdrrrD(cos,sin)(cos,sin)()()θθθθθθθθαβ=∫∫∫∫12如果积分区域D是图8—17所示的曲边扇形，那末可以把它看成图8