二重积分的等价定义及应用

第31卷第2期2009年3月Vol.31No.2JournalofTangshanTeachersCollegeMar.2009──────────收稿日期：2008-04-30作者简介：宋泽成（1964-），男，河北唐山人，唐山师范学院数学与信息科学系副教授，研究方向为函数论。-42-二重积分的等价定义及应用宋泽成（唐山师范学院数学与信息科学系，河北唐山063000）摘要：通过分析和研究现行教材中二重积分的定义，对其做出了适当的改进，即在选取点ji,的任意性不变的情况下，将定义中的任意分割T改为特殊分割，得到了几种等价定义，并加以证明。关键词：二重积分；等价定义；分割；积分和中图分类号：O172.2文献标识码：A文章编号：1009-9115(2009)02-0042-04TheEquivalentDefinitionandApplicationofDoubleIntegralSONGZe-cheng(DepartmentofMathematicsandInformationScience,TangshanTeachersCollege,TangshanHebei063000,China)Abstract:ThroughanalyzingandresearchingthedefinitionofthedoubleintegralinPresentteachingmaterial,thispapermadesomesuitableimprovement.Inthesituationofselectingpointrandomlywithoutchanges,therandompartitionwaschangedtospecialpartitionandseveralkindsofequivalentdefinitionsofdoubleintegralareobtainedandproved.Keywords:doubleintegral;equivalentdefinition;divide;sumofintegral1预备知识1.1现行教材中二重积分的定义定义1设D2R为有界闭域，f是定义在D上的有界函数，J是一个确定的数，若对任给的正数，总存在某一个正数，使得对D上任意分割T，只要它的细度T}max{id（这里id是iD的直径），对属于分割T的所有积分和都有Jfjijiji,,),(。则称),(yxf在D上可积，简称yxf,在D上R－可积，J称为f在D上的二重积分。记作JdxdyyxfD),(或JDf。在定义中，既有分割T的不确定性，又有取值点ji,的任意性，使积分值是一个相当复杂的和的极限。那么，能否转化条件，减少不必要的变量而使定义简化呢？以下主要研究这个问题。1.2选取点ji,的任意性是必要的例1设D1,01,0，函数yxf,定义在D上，且yxf,01,,xyxy都是有理数中至少有一个是无理数证明,fxy在D上不可积。证明因为对D的任何分割T，在属于它的每一个小区域i上都含有坐标x，y都是有理数的点，同时也含有至少有一个坐标是无理数的点，因此可以把D上的点分成以上两类。当介点全取D中的坐标x，y都是有理数的点时iiyxf,1，iyx,；当介点取D中的坐标x，y至少有一个是无理数的点时iiyxf,0，iyx,。所以，无论对于任何分割T，即使它的细度T小于任意正数，所得的积分和的极限也不存在。因此，yxf,在D上不可积。以上例子中对任何分割T，由于介点的选取不同而导致积分和的极限不存在，从而使函数不可积，这充分说明定义中点的选取的任意性是不可改变的。宋泽成：二重积分的等价定义及应用-43-我们知道了点的选取任意性不可改变，那么，是否可以去掉分割T的任意性的要求呢？答案是肯定的。由此得出二重积分的一个简单定义。2积分区域不变，取确定分割定义2设f是定义在有界闭域D上的有界函数，J是一个确定的数。若对任给正数，总存在某一正数，T是D上某一确定的分割，只要它的细度T，对于属于分割T的所有积分和都有0lim,iiiTifJ(1)且J的值与点ii,的选取无关，则称f在D上可积，简称f在D上1R－可积。定义2中的条件比定义1中的条件减弱了。因为在定义2中并不要求分割T是任意的。我们希望定义2与定义1是等价的。事实上，定义1定义2。由定义1，f在D上R－可积，则存在J，对0，总存在0，使D上任何分割T，只要它的细度T，对于属于分割T的所有积分和都有iiiiJf,(2)这里分割T是任意的，只要求它把D分成有限个可求面积的小区域，当然对某一确定的分割T都有(2)成立，因此，f在D上1R－可积，且积分值相等。定义2定义1。T是D上某一确定的分割，因为0limTiiiif,J由极限定义，对任意的0，总存在10，当T1时，对任意点ii,i，都有iiiiJf,即Jiiiif,J。由于对D的分割T，小和Ts和大和TS是所有积分和的下确界与上确界，从而有JTsTSJ即有0TsTS2所以0limTTsTS0limT0iii(3)现证对有界区域D上的任意分割T也有0limT''0iii。令T是有界区域D上的任意分割，'i是yxf,在小区域'i上的振幅。设T分割D所得的小区域个数为N。T12max',',,'NdddNi,,2,1这里'id是'iD的直径。由(3)知，对任给的0，总存在20，当T2时，就有iii，即iii。现将使(3)式成立的分割T的小区域固定，对任意分割T，取NT,min，当T时，可将分割T的小区域'i分成两类：一类是'ki，即小区域'k包含在某一个小区域i中，另一类是'j，每个'j都分布在分割T的几个相邻的小区域上，且后一类小区域的个数最多为N个。将''iii中的项分别按前面两类进行结合，并分别记为'''kkk和''''jjj，在第一类小区域中显然有'ki，令max'ii，于是当T时，有''''''''iikkjjikj212iiiNN144从而有0limT''iii0由分割T的任意性及二重积分可积性的充要条件，即定理1可知，f在D上R－可积，即证得定义1与定义2是等价的，且积分值相等。上述结果说明，在二重积分定义中可以去掉分割T的任意性的要求。因此，如果将定义中分割T限定于一类特殊分割，同时保持点ji,的选取的任意性，可以得到更简便的定义。定义2设D是积分区域，用任意矩形网分割T（即由平行于坐标轴的直线族构成），若只要T，对属于分割T的所有积分和都有0limTjijijiyxf,,J则称f在D上可积，简称f在D上1R－可积。易知，定义2与定义1等价。定理1下列三个命题是等价的：（I）有界函数f在D上1'R－可积。（II）对0，存在D上某个矩形网分割T，使得第31卷第2期唐山师范学院学报2009年3月-44-TsTSiii。（III）f在D上的下积分等于上积分，且有sSDf。以上讨论的都是函数f在一般可求面积的区域上的积分，若积分区域为特殊区域，定义会更简单。3积分区域为矩形区域3.1取一般矩形网分割定义设D2R是任一有界闭域，任取矩形域D，使DD，若f在D上延拓函数yxf,＝0,yxfDDyxDyx,,在D上R－可积，则f在D上R－可积，且DfDf。由以上定义及积分区域的可加性可得定义3。定义3设D2211,,baba，若对0，总存在0，使得对D上的任意矩形网分割T，只要它的细度T，对属于T的所有积分和都有jijijiJyxf,,则称f在D上2R－可积，且DfJ。积分区域是矩形区域时，用矩形网分割使定义条件明显减弱，结论更加完善，进一步，还可以把条件减弱，取特殊矩形网分割，如均等分割，便得到如下定义。3.2均等的矩形网分割矩形区域定义4f定义在D2211,,baba上，若存在J，111mibaiuam，222njbajvan，12,,,mmmmmTuuu，nTnnnnvvv,,,21，令mnTmTnT是D的分割。若存在自然数N，对m，nN，和任意点ji,∈,1,mimiuu,1,njnjvv，有jijnnjimmijiJvvuuf,1,1,,(4)则称f在D上3R－可积。定理2mnT是D的分割，且如定义4中定义，以下三个命题是等价的：（I）f在D上2R－可积。（II）NnmTSmn,infNnmTsmn,sup。（III）limmnmnSTlimmnmnsT。现在给出定义4与定义3等价的证明，即证f在D上3R－可积与f在D上2R－可积等价。事实上，由f在D上2R－可积推得f在D上3R－可积是显然的。只需证明由f在D上3R－可积也可得到f在D上2R－可积。假设f在闭区域D1122,,abab上3R－可积，J是函数f在D上的积分值，则0，存在自然数N，当m，nN时，存在实数21,ii,1,mimiuu，21,jj,1,njnjvv，1,2,,;1,2,,imjn。并且，11,ijf足够接近,1,1sup,,miminjnjfuuvv，22,ijf足够接近,1,1inf,,miminjnjfuuvv，那么有jijnnjimmijimnvvuufTS,1,1,11,(5)jijnnjimmijimnvvuufTs,1,1,22,(6)由(4)，得jijnnjimmijijivvuuff,1,1,2211,,(7)由(5)、(6)、(7)可知，对m，nN，有3mnmnTsTS成立，从而有limmnmnSTlimmnmnsTJ。由定理4得，f在D上2R－可积。由以上几种定义可以看出二重积分是建立在用任何曲线网来分割区域的基础上的，与坐标系的选择无关，不仅仅局限于直角坐标系及平行于坐标轴的矩形网分割，灵活运用这一特性，可以使很多问题简化，如在极坐标系中，我们完全可以仿照对矩形区域的分割方法，依次类推，采用r＝常数的一族同心圆与＝常数的一族过极坐标点的射线来分割区域，从而较直观的得出二重积分在极坐标下的等价定义。这里不再赘述。4等价定义的应用例2证明函数,fxyc（c为常数且c≠0）在D1122,,abab上可积。证明对区域D1122,,abab作分割T，即对区间11,ab作m等分，得到11,ab上的分割mT111,1,2,,iibaixxaimm，同时对区间22,ab作n等分，得到22,ab上的分割nT222,1,2,,jjbajyyajnn。令TmT×nT，任取,ij