山东大学网络教育《线性代数(1-3)》概要

线性代数模拟题(一)一．单选题.1.下列（A）是4级偶排列．（A）4321；(B)4123；(C)1324；(D)2341．2.如果1333231232221131211aaaaaaaaaD，3332313123222121131211111324324324aaaaaaaaaaaaD，那么1D（D）．（A）8；(B)12；(C)24；(D)24．3.设A与B均为nn矩阵，满足OAB，则必有（C）．（A）OA或OB；（B）OBA；（C）0A或0B；（D）0BA．4.设A为n阶方阵)3(n，而*A是A的伴随矩阵，又k为常数，且1,0k，则必有*kA等于（B）．（A）*kA；（B）*1Akn；（C）*Akn；（D）*1Ak．5.向量组s,....,,21线性相关的充要条件是（C）（A）s,....,,21中有一零向量(B)s,....,,21中任意两个向量的分量成比例(C)s,....,,21中有一个向量是其余向量的线性组合(D)s,....,,21中任意一个向量都是其余向量的线性组合6.已知21,是非齐次方程组bAx的两个不同解，21,是0Ax的基础解系，21,kk为任意常数，则bAx的通解为（B）(A)2)(2121211kk;(B)2)(2121211kk(C)2)(2121211kk;(D)2)(2121211kk7.λ＝2是A的特征值，则（A2/3）－1的一个特征值是（B）(a)4/3(b)3/4(c)1/2(d)1/48.若四阶矩阵A与B相似，矩阵A的特征值为1/2,1/3,1/4,1/5，则行列式|B-1-I|=(B)(a)0(b)24(c)60(d)1209.若A是（A），则A必有AA．（A）对角矩阵；(B)三角矩阵；(C)可逆矩阵；(D)正交矩阵．10.若A为可逆矩阵，下列（A）恒正确．（A）AA22；(B)1122AA；(C)111)()(AA；(D)111)()(AA．二．计算题或证明题1.设矩阵3241223kkA(1)当k为何值时，存在可逆矩阵P，使得P－1AP为对角矩阵？(2)求出P及相应的对角矩阵。参考答案：2.设n阶可逆矩阵A的一个特征值为λ，A*是A的伴随矩阵，设|A|=d，证明：d/λ是A*的一个特征值。3.当a取何值时，下列线性方程组无解、有唯一解、有无穷多解？有解时，求其解．23213213211aaxxxaxaxxxxax参考答案：.当1,2a时有唯一解：212311(1),,222aaxxxaaa当1a时，有无穷多解：11221321xkkxkxk当2a时，无解。4.求向量组的秩及一个极大无关组，并把其余向量用极大无关组线性表示．0211,6512,14703,2130,421154321参考答案：5.若A是对称矩阵，B是反对称矩阵，试证：BAAB是对称矩阵．参考答案：线性代数模拟题（二）一．单选题.1.若)541()1(lkN55443211aaaaalk是五阶行列式ija的一项，则k、l的值及该项符号为（A）．（A）2k，3l，符号为负；(B)2k，3l符号为正；(C)3k，2l，符号为负；(D)1k，2l，符号为正．2.下列行列式（A）的值必为零．(A)n阶行列式中，零元素个数多于nn2个；(B)n阶行列式中，零元素个数小于nn2个；(C)n阶行列式中，零元素个数多于n个；(D)n阶行列式中，零元素的个数小于n个．3.设A，B均为n阶方阵，若22BABABA，则必有（D）．（A）IA；(B)OB；(C)BA；(D)BAAB．4.设A与B均为nn矩阵，则必有（C）．（A）BABA；（B）BAAB；（C）BAAB；（D）111BABA．5.如果向量可由向量组s,....,,21线性表出，则（D/A）(A)存在一组不全为零的数skkk,....,,21，使等式sskkk....2211成立(B)存在一组全为零的数skkk,....,,21，使等式sskkk....2211成立(C)对的线性表示式不唯一(D)向量组s,....,,,21线性相关6.齐次线性方程组0Ax有非零解的充要条件是（C）(A)系数矩阵A的任意两个列向量线性相关(B)系数矩阵A的任意两个列向量线性无关(C)必有一列向量是其余向量的线性组合(D)任一列向量都是其余向量的线性组合7.设n阶矩阵A的一个特征值为λ，则(λA－1)2＋I必有特征值（B）(a)λ2+1(b)λ2-1(c)2(d)-28.已知00000123aA与对角矩阵相似，则a＝（A）(a)0;(b)－1;(c)1;(d)29.设A，B，C均为n阶方阵，下面（D）不是运算律．（A）ABCCBA)(；（B）BCACCBA)(；（C）)()(BCACAB；（D）BACCAB)()(．10.下列矩阵（B）不是初等矩阵．(A)001010100；（B）010000001；（C）100020001；（D）100210001．二．计算题或证明题1.已知矩阵A，求A10。其中2101A参考答案：2.设A为可逆矩阵，λ是它的一个特征值，证明：λ≠0且λ-1是A-1的一个特征值。参考答案：3.当a取何值时，下列线性方程组无解、有唯一解、有无穷多解？有解时，求其解．22332`1321321axxxxaxxaxxax参考答案：当1,2a时有唯一解：123133,,222axxxaaa当1a时，有无穷多解：11221322xkkxkxk当2a时，无解。4.求向量组的秩及一个极大无关组，并把其余向量用极大无关组线性表示．2001,1211,1111,43214321参考答案：极大无关组为：234,,aaa，且1234aaaa5.若A是对称矩阵，T是正交矩阵，证明ATT1是对称矩阵．参考答案：线性代数模拟题（三）一．单选题.1.设五阶行列式ijam，依下列次序对ija进行变换后，其结果是（C）．交换第一行与第五行，再转置，用2乘所有的元素，再用-3乘以第二列加于第三列，最后用4除第二行各元素．（A）m8；(B)m3；(C)m8；(D)m41．2.如果方程组050403zykxzyzkyx有非零解，则（D）．（A）0k或1k；（B）1k或2k；（C）1k或1k；（D）1k或3k．3.设A，B，C，I为同阶矩阵，若IABC，则下列各式中总是成立的有（A）．（A）IBCA；(B)IACB；(C)IBAC；(D)ICBA．4.设A，B，C为同阶矩阵，且A可逆，下式（A）必成立．（A）若ACAB，则CB；(B)若CBAB，则CA；(C)若BCAC，则BA；(D)若OBC，则OB．5.若向量组s,....,,21的秩为r，则（D）（A）必定rs(B)向量组中任意小于r个向量的部分组线性无关(C)向量组中任意r个向量线性无关(D)向量组中任意个1r向量必定线性相关6.设向量组321,,线性无关，则下列向量组线性相关的是（C）(A)133221,,;(B)123211,,;(C)133221,,;(D)1332213,2,.7.设A、B为n阶矩阵，且A与B相似，I为n阶单位矩阵，则（D）(a)λI-A＝λI-B(b)A与B有相同的特征值和特征向量(c)A与B都相似于一个对角矩阵(d)kI-A与kI-B相似（k是常数）8.当（C）时，A为正交矩阵，其中cbaA0(a)a=1,b=2,c=3;(b)a=b=c=1;(c)a=1,b=0,c=-1;(d)a=b=1,c=0.9.已知向量组4321,,,线性无关，则向量组（A）(A)14433221,,,线性无关;(B)14433221,,,线性无关;(C)14433221,,,线性无关;(D)14433221,,,线性无关.10.当A（B）时，有A321321332211321321321333cccbbbcacacacccbbbaaa．（A）103010001；（B）100010301；（C）101010300；（D）130010001．二．计算题或证明题1.设A～B,试证明(1)Am～Bm(m为正整数)（2）如A可逆，则B也可逆，且A－1～B－1参考答案：2.如n阶矩阵A满足A2=A，证明：A的特征值只能为0或-1。参考答案：3.当a、b取何值时，下列线性方程组无解、有唯一解、有无穷多解？有解时，求其解．bxxxxaxxxxxxxxxxx4321432143243215311222参考答案：当a=0,b=－2时有解12212314211xkxkkxkxk4.判断向量能否被321,,线性表出，若能写出它的一种表示法．10738，1365,2053,3172321参考答案：不能被123,,线性表示。5.若方阵A可逆，则A的伴随矩阵*A也可逆，并求出*A的逆矩阵．参考答案：证明（略），11(*)||AAA