《第六章近独立粒子的最概然分布》作业评讲

《第六章近独立粒子的最概然分布》作业评讲习题6.1试证明，在体积V内，在到d的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为：dmhVdD2123322)(证明：三维粒子局域于宏观体积下运动，其能量值和动量值是准连续的。在六维相空间，相体积元zyxdpdpdxdydzdpd内的微观量子态为：33hdpdpdxdydzdphdzyx体积3LV内，动量在范围zzzyyyxxxdPPPdPPPdPPP~,~,~的自由粒子量子态数。3233sinhddPdVPhdpdpVdphdpdpdxdydzdpzyxVzyx对,积分,可得体积3LV内自由粒子动量大小在dPPP~范围的量子态32200324sinhdPVPhddPdVP由m2P2进行变量代换：21)m2(P，d21)m2(dP2121代入上式可得：在体积V内，在到d的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为：dmhVdD2123322)(其中)(D为在到d的能量范围内单位能量间隔的量子态数，称为量子态密度证毕。习题6.2试证明，对子一维自由粒子，在长度L内，在到d的能量范围内，量子态数为：dmhLdD2122)(证明：一维粒子局域于宏观长度L内运动，其能量值和动量值是准连续的。在二维相空间，相体积元xdxdpd内的微观量子态为：hdxdphdx在长度Lx内，动量在范围xxxdPPP~的自由粒子量子态数。hLdphdxdpxLx对xp在范围PdPP~及dPPP~积分,可得在长度Lx内，自由粒子动量大小在dPPP~范围的量子态hLdphLdphLdppdpdpppxx2p由m2P2进行变量代换：21)m2(P，d21)m2(dP2121代入上式可得：长度Lx内，在到d的能量范围内，一维自由粒子的量子态数为：dmhLdD2122)(习题6.3试证明，对于二维自由粒子，在面积L2内，在到d的能量范围内，量子态数为mdhLdD222证明：二维粒子局域于宏观面积L2内运动，其能量值和动量值是准连续的。在四维相空间，相体积元yxdpdxdydpd内的微观量子态为：22hdpdxdydphdyx面积2LS内，动量在范围yyyxxxdPPPdPPP~,~的自由粒子量子态数。222222hPdPdLhdpdpLhdpdxdydpyxLyx对积分,可得在面积L2内，自由粒子动量大小在dPPP~范围的量子态2220222hPdPLhPdPdL由m2P2进行变量代换：21)m2(P，d21)m2(dP2121代入上式可得：面积2LS内，在到d的能量范围内,二维自由粒子的量子态数为：dhmLmPdhmLPdPhLdD22222222222222hmLD习题6.4在极端相对论情形下，粒子的能量动量关系为cp。试求在体积V内，在到d的能量范围内能量范围内三维粒子的量子态数。解：三维粒子局域于宏观体积下运动，其能量值和动量值是准连续的。在六维相空间，相体积元zyxdpdpdxdydzdpd内的微观量子态为：33hdpdpdxdydzdphdzyx体积3LV内，动量在范围zzzyyyxxxdPPPdPPPdPPP~,~,~的自由粒子量子态数。3233sinhddPdVPhdpdpVdphdpdpdxdydzdpzyxVzyx对,积分,可得体积3LV内自由粒子动量大小在dPPP~范围的量子态32200324sinhdPVPhddPdVP由粒子的能量动量关系为cp进行变量代换：cdpdcp，代入上式可得：在极端相对论情形下,在体积V内，在到d的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为：3223)(44)(hcVdpphVdD于是，32)(4)(hcVD第六章近独立粒子的最概然分布(补充例题)[例1]：（1）假设某种类型分子的许可能级为0、、2、3、……，而且都是非简并的，如果体系含有6个分子，问与总能量3相联系的是什么样的分布？并根据公式lalllla!N!M.B计算每种分布的微观态数D,并由此确定各种分布的几率（设各种微观态出现的几率相等）。（2）、在题（1）中，如0和两能级是非简并的，而2和3两个能级分别是6度和10度简并。试重复上面的计算。解：（1）粒子的在各能级的分布可以描述如下：能级,,,4321，能量值,32,,0简并度,11,1,1，分布数,421,,aaa分布la要满足的条件是：6Nall，3Ellla满足上述限制条件的分布可以有：0,1,0,0,5a:Dl10,0,1,1,4a:Dl20,0,0,3,3a:Dl3则各分布所对应的微观态数为：615!6!1D3014!6!2D2013!3!6!3D所以此种情况下体系的总的微观状态数为56321总各分布的几率为：107.056611DD总P536.0563022DD总P357.0562033DD总P（2）粒子的在各能级的分布可以描述如下：能级,,,4321，能量值,32,,0简并度,106,1,1，分布数,421,,aaa分布la要满足的条件是：6Nall，3Ellla满足上述限制条件的分布可以有：0,1,0,0,5a:Dl10,0,1,1,4a:Dl20,0,0,3,3a:Dl3则各分布所对应的微观态数为：60015!6!1D08164!6!2D2013!3!6!3D所以此种情况下体系的总的微观状态数为260321总各分布的几率为：230.02606011DD总P692.026018022DD总P077.02602033DD总P[例2]：设系统含有两种粒子，其粒子数分别为N和N’.粒子间的相互作用很弱，可看作是近独立的。假设粒子可分辨，处在一个个体量子态的粒子数不受限制。试证明，在平衡态下两种粒子的最概然分布分别为：leall和leall其中l和l是两种粒子的能级，l和l是能级简并度。证：粒子A能级，粒子数分布：l——{al}——简并度l粒子B能级，粒子数分布：l——{a’l}——简并度l体系两种粒子分布要满足的条件为：Nall，NallEllllllaa分布la，对应的微观状态数为lalllla!N!1分布la，对应的微观状态数为lalllla!!N2则系统的微观态数为21上式表明：当第一类粒子的分布为{al}，而同时第二类粒子的分布为{a’l}时系统的微观态数。在平衡下两种粒子的最可几分布是对应于在限制条件Nall，NallEllllllaa下使21lnln为极大的分布。利用斯特林公式可得：llllllllllllaaaNaaaNlnlnlnNlnlnlnNlnln21由0ln21，得0lnlnln21llllllllaaaa而由限制条件可得：0lla，0lla0llllllaa引入拉氏不定乘子，，，得0lnlnln21llllllllllllllllllllaaaaaaaa根据拉格朗日未定乘子法原理，每个la及la的系数都等于零，所以得：llllllllllllaaaaexpexp0ln0ln讨论：（1）、上面的推导表明，两种粒子各自遵从玻耳兹曼分布，两分布的，不同，但有共同的，原因在于开始就假设两种粒子的粒子数和能量具有确定值，这意味着在相互作用中两粒子可以交换能量，但不会相互转化。从上述结果还可看出，由两个弱相互作用的子系统构成的系统达到平衡时，两子系统有相同的（2）、如果把每一种粒子看作是一个子系统，则总系统是由两个子系统组成，在热平衡时，两子系统的温度相等。由于在热平衡时，两子系统的温度相等。从上面打推导中可看出，在热平衡时，两子系统的是相同的，由此可见，参数是一个与温度有关的量。[例3]：设系统含有两种粒子，其粒子数分别为N和N’.粒子间的相互作用很弱，可看作是近独立的。如果粒子玻色子或费米子。试导出，在平衡态下两种粒子的最概然分布分别。解：考虑一般性，系统由N个玻色子和N’.个费米子组成，总能量为E，体积为V时，粒子的分布la和la必须满足Nall，NallEllllllaa才有可能实现。玻粒子A能级，粒子数分布：l——{al}——简并度l费米粒子B能级，粒子数分布：l——{a’l}——简并度l玻色子处于分布la时，对应的微观状态数为lllllaa!1!!1费米子处于分布la时，对应的微观状态数为lllllaa!!!则系统的微观态数为0上式表明：当第一类粒子的分布为{al}，而同时第二类粒子的分布为{a’l}时系统的微观态数。在平衡下两种粒子的最可几分布是对应于在限制条件Nall，NallEllllllaa下使lnln0为极大的分布。利用斯特林公式可得：llllllllllllllllllaaaaaaaalnlnlnlnlnlnlnln0由0ln，得0lnlnlnllllllllllaaaaaa而由限制条件可得：0lla，0lla0llllllaa引入拉氏不定乘子，，，得0lnlnlnllllllllllllllllllllllaaaaaaaaaa根据拉格朗日未定乘子法原理，每个la及la的系数都等于零，所以得：0lnllllaa1leall0lnllllaa1leall拉氏不定乘子，，由限制条件Nall，NallEllllllaa确定。上式表明，两种粒子分别遵从玻色分布和费米分布，其中，不同，但相等。