动点最值问题

动点最值问题问题分类：1.双线段之和最短，单对称模型（将军饮马问题）；技巧：作定点关于动点所在直线对称点。2.三线段之和最短，①双对称模型；②费马点：技巧---绕任意顶点向外旋转60°3.单线段最短（一动一定）：①在直线上运动；②在圆上动（“圆”形毕露）4.单线段最大值：利用三角形三边关系。例一、1、如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村A和李庄B送水，已知张村A、李庄B到河边的距离分别为2km和7km，且张、李二村庄相距13km．（1）水泵应建在什么地方，可使所用的水管最短？请在图中设计出水泵站的位置；（2）如果铺设水管的工程费用为每千米1000元，为使铺设水管费用最节省，请求出最节省的铺设水管的费用为多少元？2.点A、Ｂ均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系如图所示．若P是x轴上使得|PA-PB|的值最大的点，Q是y轴上使得QA十QB的值最小的点，则P点的坐标为Q的坐标为．自我练习1、如图所示的平面直角坐标系中，点P是直线y=x上的动点，A（1，0），B（2，0）是x轴上的两点，则PA+PB的最小值为2、如图，两点A、B在直线MN外的同侧，A到MN的距离AC=8，B到MN的距离BD=5，CD=4，P在直线MN上运动，则PAPB的最大值等于3.如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为cm．4.如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为（3，3），点C的坐标为（21，0），点P为斜边OB上的一动点，则PA＋PC的最小值为.1题2题3题4题5、如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是BC中点，点F是边CD上的任意一点，当△AEF的周长最小时，则DF的长为6、如图，正方形ABCD中，AB=4，E是BC的中点，点P是对角线AC上一动点，则PE+PB的最小值为．7、如图，已知点A(1，1)、B(3，2)，且P为x轴上一动点，则△ABP的周长的最小值为．5题6题7题例二、（基本题型）1、在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6．若点P在边AC上移动，则BP的最小值是．自我练习1、如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA=3，则PQ的最小值为2、如图，已知点P是∠AOB角平分线上的一点，∠AOB=60°，PD⊥OA，M是OP的中点，DM=4cm，如果点C是OB上一个动点，则PC的最小值为3、如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB=∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为．4、如图，已知点A的坐标为（2，0），点B在直线y=x上运动，则当线段AB最短时，点B的坐标为______．1题2题3题4题自我练习1、如图，正方形ABCD的边长是4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值2、如图,在ABC中,AB=AC=5，BC=6,AD是BC边上的中线，M是AC边上的动点，则CM+EM的最小值为3、如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是4、如图,点P是∠AOB内一定点，点M、N分别在边OA、OB上运动，若∠AOB=45°，OP=32，则△PMN周长的最小值为.1题2题3题4题NMOPBA5、如图，在△ABC中，ACB=90°，AC=6，BC=8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是6、如图，已知∠DAE=22.5°，点C是射线AE上一点，且线段AC=3，若点M和点N分别是射线AD和线段AC上的两个动点，则MN+MC的最小值是。7、如图，已知∠AOB=30°，点C是射线OB上一点，且线段OC=3，D是射线OA上一点，且OD=1若点M和点N分别是射线AD和线段AC上的两个动点，则DM+MN+NC的最小值是5题6题7题8、如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为例三、农场里有一条小河，里面养了很多鱼。在河的两岸有两个加工厂，农场主经常要在这两个工厂之间来回奔波。农场新买了一辆汽车，想在农场内建造一条马路，同时在河上修建一座桥。要求桥与河岸垂直，可是桥应该建在何处，才能使两个加工厂之间的路程最短？问题的延伸：如果有两条河，需要建造两座桥，又该如何呢？如图，把A向下平移到A’的位置，使线段AA’等于河L1－L2的宽度；把B向上平移到B’的位置，使线段BB’等于河L3－L4的宽度。连接线段B’A’，交L2于点C，交L3于点F。过C、F分别作垂线段CD、FE，就是建桥的位置。如果有三条河又如何？更多的河流建更多的桥又如何呢？ABL2L1自我练习1.如图，已知平面直角坐标系，A、B两点的坐标分别为A（2，-3），B（4，-1）．若C（a，0），D（a+3，0）是x轴上的两个动点，则当a=时，四边形ABDC的周长最短．2、如图，当四边形PABN的周长最小时，a=．3、如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD=16．点E是AB的中点，P、Q是BD上的动点，且始终保持PQ=2．则四边形AEPQ周长的最小值为．（结果保留根号）1题2题3题例四、1、如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为2、在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=4，M、N两点分别是边AB、AC上的动点，将△AMN沿MN翻折，A点的对应点为A′，连接BA′，则BA′的最小值是_________．N(a+2,0)P(a,0)B(4,-1)A(1,-3)OyxA'NMCBA自我练习1．在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，P、Q两点分别是边AC、BC上的动点，将△PCQ沿PQ翻折，C点的对应点为C'，连接AC'，则AC'的最小值是_________．2、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是.3、如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是.1题2题3题4题4、如图,在等腰△ABC中,AB=AC=5,BC=6,P是线段BC边上的任意一点(与A,B,C不重合),连接AP,以AP为边向两边做等边三角形，分别与边AB、AC相交于点M,N，则PM+PN的最小值为。5、如图，在三角形ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，AB=6，在AB，BC、CA上分别找一点F、D、E，则△DEF周长的最小值为C'CQPBAAyxOCB