类比探究专题训练

（2012一测）21、如图1，直角∠EPF的顶点和正方形ABCD的顶点C重合，两直角边PE，PF分别和AB，AD所在直线交于点E和F，易得△PBE≌△PDF，故结论“PE=PF”成立；（1）如图2，若点P在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？说明理由；（2）如图3，将（2）中的“正方形”改为“矩形”，其他条件不变，若AB=m,BC=n，直接写出PFPE的值。（2013一测）22.（本题10分）（1）问题背景如图1，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∠ABC的平分线交直线AC于D，过点C作CE⊥BD，交直线BD于E．请探究线段BD与CE的数量关系．（事实上，我们可以延长CE与直线BA相交，通过三角形的全等等知识解决问题．）结论：线段BD与CE的数量关系是______________________（请直接写出结论）；（2）类比探索在（1）中，如果把BD改为∠ABC的外角∠ABF的平分线，其他条件均不变（如图2），（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；（3）拓展延伸在（2）中，如果AB≠AC，且AB=nAC（0＜n＜1），其他条件均不变（如图3），请你直接写出BD与CE的数量关系．结论：BD=_____CE（用含n的代数式表示）．DECBAFABCEDFBECAD图1图2图3GFEDCBAABCDEFGHKLIJGFEDCBA（2015一测）22.（本题10分）如图①，正方形AEFG的边长为1，正方形ABCD的边长为3，且点F在AD上．(1)求；(2)把正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转45°得图②，求图②中的；(3)把正方形AEFG绕点A旋转一周，在旋转的过程中，存在最大值与最小值，请直接写出最大值，最小值.（2017二测）22.（10分）问题发现：如图1，在△ABC中，∠C=90°，分别以AC，BC为边向外侧作正方形ACDE和正方形BCFG．（1）△ABC和△DCF面积的关系是______________；（请在横线上填写“相等”或“不等”）（2）拓展探究：若∠C≠90°，（1）中的结论还成立吗？若成立，请结合图2给出证明；若不成立，请说明理由；（3）解决问题：如图3，在四边形ABCD中，AC⊥BD，且AC与BD的和为10，分别以四边形ABCD的四条边为边向外侧作正方形ABFE、正方形BCHG、正方形CDJI，正方形DALK，运用（2）的结论，图中阴影部分的面积和是否有最大值？如果有，请求出最大值，如果没有，请说明理由．图1图2图33．（2016·山东省德州市·4分）我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．（1）如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形；（2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；（3）若改变（2）中的条件，使∠APB=∠CPD=90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．（不必证明）4．（2016广西南宁）已知四边形ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60°，∠EAF的两边分别与射线CB，DC相交于点E，F，且∠EAF=60°．（1）如图1，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系；（2）如图2，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B、C重合），求证：BE=CF；（3）如图3，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB=15°时，求点F到BC的距离．10.（2015浙江嘉兴，24，14分）类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”.⑴概念理解如图1，在四边形ABCD中添加一个条件使得四边形ABCD是“等邻边四边形”.请写出你添加的一个条件.⑵问题探究①小红猜想：对角线互相平分的“等邻边四边形”是菱形.她的猜想正确吗？请说明理由.②如图2，小红画了一个Rt△ABC，其中∠ABC=90°，AB=2，BC=1，并将Rt△ABC沿∠ABC的平分线BB¢方向平移得到ABCⅱ?，连接AA¢，BC¢.小红要使平移后的四边形ABCAⅱ是“等邻边四边形”，应平移多少距离（即线段BB¢的长）？⑶应用拓展如图3，“等邻边四边形”ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠BCD=90°，AC，BD为对角线，2ACAB=.试探究BC，CD，BD的数量关系.11.（2015山东临沂，25，11分）如图1，在正方形ABCD的外侧，作两个等边三角形ADE和DCF，连接AF，BE（1）请判断：AF与BE的数量关系是，位置关系是；（2）如图2，若将条件“两个等边三角形ADE和DCF”变成“两个等腰三角形ADE和DCF，且EA=ED=FD=FC”,第（1）问中的结论是否仍然成立？请作出判断并给予证明；（3）若三角形ADE和DCF为一般三角形，且AE=DF，ED=FC，第（1）问中的结论都能成立吗？请直接写出你的判断。20.（2015山东潍坊，23，12分）如图1，点O是正方形ABCD两对角线的交点.分别延长OD到点G，OC到点E，使OG=2OD，OE=2OC，然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE.（1）求证：DE⊥AG；（2）正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转角（0°α360°）得到正方形'''OEFG，如图2.①在旋转过程中，当∠'OAG是直角时，求的度数；②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求'AF长的最大值和此时的度数，直接写出结果不必说明理由.4.（2015眉山市，25，9分）如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连结AP并延长AP交CD于F点，（1）求证：四边形AECF为平行四边形；（2）若△AEP是等边三角形，连结BP，求证：EPCAPB；（3）若矩形ABCD的边AB=6，BC=4，求△CPF的面积2.（2015黑龙江牡丹江，26，8分）已知四边形ABCD是正方形，等腰直角△AEF的直角顶点E在直线BC上（不与点B，C重合），FM⊥AD，交射线AD于点M.(1)当点E在边BC上，点M在边AD的延长线上时,如图①，求证：AB+BE=AM；PFEABCD(提示：延长MF，交边BC的延长线于点H.)(2)当点E在边CB的延长线上，点M在边AD上时，如图②；当点E在边BC的延长线上，点M在边AD上时，如图③.请分别写出线段AB，BE，AM之间的数量关系,不需要证明；(3)在(1)，(2)的条件下，若BE=3，∠AFM=15°，则AM=.24.（2014浙江省台州市，9，4分）如图，F是正方形ABCD的边CD上的一个动点，BF的垂直平分线交对角线AC于点E，连接BE，BF，则EBF的度数是···············（）A．45°B．50°C．60°D．不确定11.（2014重庆B卷，18，4分）如图，在边长为62的正方形ABCD中，E是AB边上一点，G是AD延长线一点，BE＝DG，连接EG，CF⊥EG交EG于点H，交AD于点F，连接CE、BH．若BH＝8，则FG＝_____________．18题图GHABCDEF10.（2014年山东省日照市24，3分）（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．求证：CE=CF；（2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE=45°，请你利用（1）的结论证明：GE=BE+GD．ABCDEFM（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC，E是AB上一点，且∠DCE=45°，BE=4，DE=10，求直角梯形ABCD的面积．13.（2014山东威海24，11分）猜想与证明：如图①摆放矩形纸片ABCD与矩形纸片ECGF，使B，C，G三点在一条直线上，CE在边CD上．连结AF，若M为AF的中点，连结DM，ME，试猜想DM与ME的关系，并证明你的结论．拓展与延伸：（1）若将“猜想与证明”中的纸片换成正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，其它条件不变，则DM和ME的关系为＿＿＿＿＿＿＿；（2）如图②摆放正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，使点F在边CD上，点M仍为AF的中点，试证明（1）中的结论仍然成立．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60，AB=30．D是AC上的动点，过D作DF⊥BC于F，过F作FE∥AC，交AB于E．设CD=x，DF=y．（1）求y与x的函数关系式；（2）当四边形AEFD为菱形时，求x的值；（3）当△DEF是直角三角形时，求x的值．ABCDEFGM图②ABCDEFGM图①FEDBCA11.（2014年江西省抚州市24,10分）【试题背景】已知：l∥m∥n∥k，平行线l与m、m与n、n与k之间的距离分别为d1、d2、d3，且d1=d3=1，d2=2.我们把四个顶点分别在l、m、n、k这四条平行线上的四边形称为“格线四边形”.【探究1】⑴如图1，正方形ABCD为“格线四边形”，BEl于点E,BE的反向延长线交直线k于点F.求正方形ABCD的边长.【探究2】⑵矩形ABCD为“格线四边形”，其长：宽=2：1，则矩形ABCD的宽为.(直接写出结果即可)【探究3】⑶如图2，菱形ABCD为“格线四边形”且∠ADC=60°，△AEF是等边三角形，AEk于点E，∠AFD=90°，直线DF分别交直线l、k于点G、M.求证：ECDF.【拓展】⑷如图3，l∥k，等边三角形ABC的顶点A、B分别落在直线l、k上，ABk于点B，且AB=4，∠ACD=90°，直线CD分别交直线l、k于点G、M，点D、E分别是线段GM、BM上的动点，且始终保持AD=AE，DHl于点H.猜想：DH在什么范围内，BC∥DE？并说明此时BC∥DE的理由.5、(2013年江西省)某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：●操作发现：在等腰△ABC中，AB=AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连接MD和ME，则下列结论正确的是（填序号即可）①AF=AG=21AB；②MD=ME；③整个图形是轴对称图形；④∠DAB=∠DMB．●数学思考：在任意△ABC中，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧．．作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连接MD和ME，则MD和ME具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程；●类比探索：在任意△ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连接MD和ME，试判断△MED的形状．答：．第22题图