《高等数学2》课程教学大纲

《高等数学2》课程教学大纲教研室主任：梁军执笔人：吴翠连王琳一、课程基本信息开课单位：经济学院课程名称：高等数学2课程编号：201002英文名称：AdvancedMathematics课程类型：学科基础课总学时：72理论学时：72实验学时：0学分：3开设专业：贸易经济先修课程：高等数学1（201001）、高等数学2（201002）、线性代数（201003）二、课程任务目标（一）课程任务本课程是理科院校管理类专业的一门专业基础课，又是全国硕士研究生入学考试统考科目。通过本课程的学习，要使学生掌握多元函数微积分学、无穷级数和常微分方程的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。要通过各个教学环节逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力，还要特别注意培养学生的熟练运算能力和综合运用所学知识去分析解决问题的能力。（二）课程目标基本了解多元函数微积分学的基础理论；充分理解微积分学的背景思想及数学思想。掌握多元函数微积分学、无穷级数和常微分方程的基本方法、手段、技巧，并具备一定的分析论证能力和较强的运算能力。能较熟练地应用微积分学、无穷级数和微分方程的思想方法解决应用问题。三、教学内容和要求（一）理论教学的内容及要求第七章微分方程1．内容概要微分方程的基本概念，可分离变量的微分方程，齐次方程，一阶线性微分方程，全微分方程，可降阶的高阶微分方程，高阶线性微分方程，常系数齐次线性微分方程，常系数非齐次线性微分方程，常系数线性微分方程组解法举例。2．重点和难点重点：微分方程的一般概念，一阶可分离变量微分方程，一阶线性微分方程；二阶常系数线性微分方程。难点：微分方程类型的判别及解法；微分方程的建立与初始条件的列出；二阶常系数非齐次线性微分方程的特解的求法。3．学习目的与要求（1）了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件、特解的概念。（2）能识别下述一阶微分方程：可分离变量的微分方程，齐次方程，一阶线性方程，贝努利方程、全微分方程。（3）熟练掌握可分离变量的微分方程及一阶线性方程的解法，会求其通解、特解。（4）会解齐次方程和伯努利方程，进而领会运用变量代换求解微分方程的思想方法。（5）会解简单的全微分方程。（6）掌握下述三种特殊形式的高阶方程的降阶法：nyfx、''',yfxy、''',yfyy，进而领会降阶法的实质及运用范围。（7）掌握二阶线性微分方程解的结构。（8）熟练掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法。（9）掌握高阶常系数齐次线性微分方程的解法。（10）掌握非齐次项为多项式，指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的线性组合与乘积的二阶常系数非齐次线性微分方程的解法。（11）会运用微分方程解一些简单的几何与物理问题。第八章空间解析几何与向量代数1．内容概要向量及其线性运算，数量积、向量积、混合积，曲面及其方程，空间曲线及其方程，平面及其方程，空间直线及其方程。2．重点和难点重点：向量的数量积与向量积，平面及其方程，空间直线及其方程。难点：平面和直线方程的建立，由平面、二次曲面围成的空间图形。3．学习目的与要求（1）理解向量的概念，并熟练掌握其运算。（2）掌握向量的数量积、向量积运算及两个向量垂直、平行的条件，了解三个向量共面的条件。（3）掌握平面一般式方程：Ax+By+Cz+D=0中的系数A、B、C、D中某个或某几个取零值时平面位置的特点。（4）掌握平面方程的三种形式；点法式、一般式、截距式的相互转化方法，并能熟练地由平面方程写出平面的法线向量。（5）掌握直线方程的三种形式：对称式、一般式、参数式的相互转化方法，并能熟练地由直线方程写出直线的方向向量。（6）注意培养空间图形的想象能力，适当增加一些由平面、二次曲面围成的空间图形的例子。第九章多元函数微分法及其应用1．内容概要多元函数基本概念，偏导数，全微分，多元复合函数的求导法则，隐函数求导公式，方向导数和梯度，多元函数的极值及其求法。2．重点和难点重点：多元函数的概念；导数与全微分的概念；多元复合函数的求导法则；多元函数的极值问题。难点：全微分的概念；多元复合函数的求导法则；方向导数与梯度。3．学习目的与要求（1）知道多元函数的极限与连续性，以及有界闭区域上的连续函数的性质。（2）理解偏导数、全微分的概念。（3）熟练掌握复合函数求导法；会求二阶偏导。（4）会求隐函数的偏导数。（5）了解空间曲线的切线与法平面及曲面的切平面与法线，并掌握求其方程的求法。（6）理解多元函数极值的概念，会求函数的极值，了解条件极值的概念，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求一些简单的最大值、最小值的应用问题。（7）理解方向导数与梯度的概念。第十章重积分1．内容概要二重积分的概念与性质，二重积分的计算法，三重积分，重积分的应用，含参变量的积分。2．重点和难点重点：二重、三重积分的概念及计算。难点：重积分化为累次积分的定限及应用。3．学习目的与要求（1）理解二、三重积分的概念及其性质。（2）熟练掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标），三重积分（直角坐标、柱坐标、球坐标）计算方法。（3）用重积分表达并计算一些几何量与物理量（如体积、质量、重心、转动惯量、引力等）。第十一章曲线积分与曲面积分1．内容概要对弧长的曲线积分，对坐标的曲线积分，格林公式及其应用，对面积的曲面积分，对坐标的曲面积分，高斯公式、通量与散度，斯托克斯公式、环流量与旋度。2．重点和难点重点：两类曲线积分的概念与计算；格林公式、平面曲线积分与路径无关的条件；两类曲面积分的概念与计算；高斯公式。难点：两类曲线积分、曲面积分的概念与计算；散度与旋度。3．学习目的与要求（1）理解两类曲线积分概念及它们之间的联系，掌握其计算方法。（2）理解两类曲面积分的概念及它们之间的联系，掌握其计算方法。（3）了解曲线积分、曲面积分的物理意义。（4）能用曲线积分与曲面积分表达一些几何量与物理量。（5）掌握格林公式及平面曲线积分与路径无关的条件。（6）熟悉高斯公式与向量场的散度。（7）熟悉斯托克斯公式和向量场的旋度。第十二章无穷级数1．内容概要常数项级数的概念与性质，常数项级数的审敛法，幂级数，函数展开成幂级数，函数的幂级数的展开式的应用，傅里叶级数，一般周期的傅里叶级数。2．重点和难点重点：无穷级数收敛与发散的概念；正项级数的审敛法；幂级数的收敛区间，泰勒级数，函数展开为幂级数；函数在[-]上展开为傅里叶级数。难点：级数敛散判断；函数展开为幂级数。3．学习目的与要求（1）理解无穷级数收敛、发散及和的概念。（2）熟练掌握无穷级数的基本性质。（3）熟悉几何级数和P-级数的敛散性。（4）熟练掌握正项级数审敛法。（5）掌握交错级数的敛散判断法。（6）理解无穷级数绝对收敛、条件收敛的概念及关系。（7）了解函数项级数的收敛域、和函数的概念。（8）掌握幂级数收敛域及某些和函数的求法。（9）理解幂级数在收敛域上的基本性质。（10）知道函数展开成泰勒级数的充要条件。（11）掌握xe、sinx、11x、ln(1)x、cosx的麦克劳林展式，并能用它们将一些简单的函数展开为幂级数。（12）了解利用幂级数进行近似计算的方法。（13）理解函数展开成傅里叶级数的充分条件（收敛定理）。（14）熟练掌握周期函数及非周期函数展开为傅里叶级数的方法，及展为正、余弦级数的方法。（二）实践教学的内容及要求四、学时分配章次各教学环节学时分配小计讲授实验上机习题讨论课外备注第七章微分方程66第八章空间解析几何与向量代数66第九章多元函数微分法及其应用1818第十章冲积分1010第十一章曲线积分与曲面积分1616第十二章无穷级数1616合计7272五、考核说明考核方法：闭卷成绩评定法法：平时成绩%30考试成绩%70六、主要教材及教学参考书目（一）主要教材1．同济大学数学系编《高等数学》下册第六版，高等教育出版社，2007年。（二）主要参考书目1．同济大学数学系编《高等数学》下册第五版，高等教育出版社，2002年。2．四川大学数学系高等数学教研室编《高等数学》第二册第三版，高等教育出版社，2006年。3.吴礼斌主编《经济数学基础》，高等教育出版社，2005年。4.范培华等编《微积分》，中国商业出版社，2006年。