线线角-线面角

(2)空间两条直线的位置关系①位置关系分类:相交平行任何一个平面异面直线所成角的定义：直线a、b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a’//a，b’//b，把直线a’和b’所成的锐角（或直角）叫直线a和b所成的角。ba，ba，记作互相垂直则异面直线时当范围,2],2,0(:思考：两条异面直线所成角的大小是否随空间任意点O位置的不同而改变？点O可任选，一般取特殊位置，如线段的中点或端点等。aba’OO’O1a’b’b1a1探究:（1）如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直,那么,另一条直线是否也与这条直线垂直?（2）垂直于同一条直线的两条直线是否平行?即a∥b，若a⊥c，则b⊥c下面我们来探究更一般的角的问题abc平移法：即根据定义，以“运动”的观点，用“平移转化”的方法，使之成为相交直线所成的角。例1.已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方体(1)求异面直线AA1与BC所成的角DCBAA1D1C1B1异面直线所成角的求法新课讲解：例1.已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方体DCBAA1D1C1B1异面直线所成角的求法(2)求异面直线BC1和AC所成的角新课讲解：例1.已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方体DCBAA1D1C1B1异面直线所成角的求法(2)求异面直线BC1和AC所成的角新课讲解：例1.已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方体DCBAA1D1C1B1异面直线所成角的求法(3)若M、N风别是A1B1，BB1的中点，求AM与CN所成的角MNQPNBPCNB新课讲解：例1.已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方体DCBAA1D1C1B1异面直线所成角的求法(3)若M、N分别是A1B1，BB1的中点，求AM与CN所成的角MNQpRQRC新课讲解：练习.已知ABCD-A1B1C1D1是长方体，AA1=AD=1,AB=DCBAA1D1C1B1异面直线所成角的求法求异面直线BD1和AC所成的角oE2新课讲解：借助平面平移22方法整理：（在平面上适当的平移）异面直线平移成相交直线2、异面直线所成角的解题思路：由两相交直线构造一个平面图形（三角形）求出平面图形上对应的角θ注意θ若为钝角，则异面直线所成角为π-θ体现了立几的“降维思想”1、解立体几何计算题的“三步曲”：作证算变式一：（07福建卷）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于（）A.45°B.60°C.90°D.120°步骤“作（找）——证——算——答”ABCDABCD1111EGFH解：连接A1B，BC1，A1C1∵A1B//EF，BC1//GH∴∠A1BC1为EF1与GH所成的角在三角形A1BC1中，A1B=BC1=A1C1∴∠A1BC1=60°∴异面直线EF与GH所成的角等于60°•例2、在正方体ABCD—A1B1C1D1中，AA1=AB=AD=1，求异面直线A1C1与BD1所成的角的余弦值。ABCDABCD1111变式2：（05福建卷）如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角是__________。ABCDABCD1111EFG例1.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，指出下列各对线段所成的角：1）AB与CC1；2）A1B1与AC；3)A1B与D1B1。B1CC1ABDA1D11）AB与CC1所成的角=90°2）A1B1与AC所成的角=45°3）A1B与D1B1所成的角=60°※求异面直线所成角的一般步骤:(1)平移作角——作(2)补形说角——证(3)计算求角——求三、两条异面直线所成的角如图所示，a，b是两条异面直线，在空间中任选一点O，过O点分别作a，b的平行线a′和b′，abPa′b′O则这两条线所成的锐角θ（或直角），θ称为异面直线a，b所成的角。？任选Oa′若两条异面直线所成角为90°，则称它们互相垂直。异面直线a与b垂直也记作a⊥b异面直线所成角θ的取值范围：090]（，平移例2.正四面体ABCD(四个面都是全等的等边三角形)中,M,N分别是BC和AD的中点,求异面直线AM和CN所成角的余弦值.ABCDMNH解:连结DM，取DM中点H连结NH、CH，则有NH∥AM所以∠CHN为AM和CN所成的角令BC=a73,44CHaNHa2cos3CNH32AMDMCNa则有：(或其补角)例3.在空间四边形ABCD中,对角线AC=10,BD=6,M,N分别为AB,CD的中点,MN=7,求异面直线AC和BD所成的角ABCDMNP∠NPM=1200即异面直线AC和BD所成的角是600解:取AD中点P，连结MP、NPMP∥BD、NP∥ACMP=3、NP=5∠NPM就是AC和BD所成的角(或其补角)1cos2NPM为什么？变式3：在正四面体S—ABC中，SA⊥BC，E、F分别为SC、AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于（）（A）30°（B）45°（C）60°（D）90°ACBSEF例4.长方体ABCD-A1B1C1D1，AB=AA1=2cm，AD=1cm，求异面直线A1C1与BD1所成角的余弦值。取BB1的中点M，连O1M，则O1MD1B，如图，连B1D1与A1C1交于O1，于是A1O1M就是异面直线A1C1与BD1所成的角（或其补角）O1MDB1A1D1C1ACB解：为什么？补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、长方体等，其目的在于易于发现两条异面直线的关系。BDB1A1D1C1ACF1EFE1例5.长方体ABCD-A1B1C1D1，AB=AA1=2cm，AD=1cm，求异面直线A1C1与BD1所成角的余弦值。DCBAA1D1C1B1异面直线所成角的求法求异面直线BD1和AC所成的角例2.已知ABCD-A1B1C1D1是长方体，AA1=AD=1,AB=2新课讲解：补形法23、异面直线所成角的两种求法：方法整理：（1）平移法（2）补形法①常用中位线平移②借助于平面平移可扩大平移的范围异面直线所成角的求法例3.已知空间四边形ABCD中，AB=AC=AD=BC=BD=CD=a,M、N分别是BC、AD的中点BCDMNA（1）求异面直线AB、MN所成的角。（2）求异面直线AB、CD所成的角。（3）求异面直线AM、CN所成的角。E新课讲解：异面直线所成角的求法练习1.已知空间四边形ABCD中，AD=BC,M、N分别是AB、CD的中点BCDMNA（1）MN=AD,求异面直线AD与BC所成的角。（1）MN=AD,求异面直线AD与BC所成的角。2232新课讲解：练习2.《金版》活学活用2、3①适当的平移②相交成平面图形DCBAA1D1C1B1异面直线所成角的求法（在平面上平移）（一般为三角形）③由②计算出对应平面角θ④若θ为钝角，则取其补角体现：降维思想思路整理：课后作业：•课本第48页练习第2题。•补充：•1、空间四边形ABCD中，PR分别是AB、CD的中点，且PR=，AC=BD=2，求AC与BD所成的角。•2、正方体ABCD—A1B1C1D1中，M为AB的中点，N为BB1的中点，求A1M与C1N所成角的余弦值。3DABCRPABCDABCD11114.(2015·兰州模拟)如图,E,F分别是三棱锥P-ABC的棱AP,BC的中点,PC=10,AB=6,EF=7,则异面直线AB与PC所成的角为.【解析】取AC的中点M,连接EM,MF,因为E,F是中点,所以MF∥AB,MF=AB==3,ME∥PC,ME=PC==5,所以MF与ME所成的角即为AB与PC所成的角(或其补角).在三角形MEF中,cos∠EMF=所以∠EMF=120°,所以直线AB与PC所成的角为60°.答案:60°126212102222537151253302，明·角度命题角度1:由几何体的结构特征计算其中异面直线所成的角【典例3】(2014·新课标全国卷Ⅱ)直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90°,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,则BM与AN所成的角的余弦值为()(本题源于教材必修2P48练习T2)12302A.B.C.D.105102【解题提示】通过平行关系找出异面直线的夹角,再根据余弦定理求解.【规范解答】选C.如图,取BC中点D,连接MN,ND,AD,由于MNB1C1BD,因此NDBM,则ND与NA所成角即为异面直线BM与AN所成的角(或其补角),设BC=2,则BM=ND=,AN=,AD=,因此cos∠AND=12655222NDNAAD30.2NDNA10如图,过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线PO,过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角。斜线斜足射影垂足垂线一条直线垂直于平面,我们说它所成的角是直角；一条直线和平面平行,或在平面内,我们说它所成的角是00的角。规定:想一想:直线与平面所成的角θ的取值范围是什么?注意220•直线与平面所成的角θ的取值范围是：。20•斜线与平面所成的角θ的取值范围是：。2.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:（1）AB1在面BB1D1D中的射影（2）AB1在面A1B1CD中的射影（3）AB1在面CDD1C1中的射影A1D1C1B1ADCBO线段B1O巩固练习2.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:（1）AB1在面BB1D1D中的射影（2）AB1在面A1B1CD中的射影（3）AB1在面CDD1C1中的射影A1D1C1B1ADCBE线段B1E巩固练习2.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:（1）AB1在面BB1D1D中的射影（2）AB1在面A1B1CD中的射影（3）AB1在面CDD1C1中的射影A1D1C1B1ADCB线段C1D巩固练习如图，正方体ABCD—A1B1C1D1.1【热身练习】∠。A1C与平面A1B1C1D1所成角是：ABCDA1B1C1D1∠。A1C与平面A1D1DA所成角是：∠。A1C与平面A1B1BA所成角是：如图，正方体ABCD—A1B1C1D1.1【热身练习】∠。A1C与平面A1B1C1D1所成角是：ABCDA1B1C1D1∠。A1C与平面A1D1DA所成角是：∠。A1C与平面A1B1BA所成角是：【例1】已知正方体的棱长为a，(1)求直线AB1和平面A1B1C1D1所成的角；【例1】已知正方体的棱长为a，(2)求直线DB1和平面A1B1C1D1所成的角的余弦值；练习1:在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是A1D1的中点，求EB和平面ABCD所成角的正切值。F【思考】已知三棱锥A-BCD的各棱长都为2，求直线AB与平面BCD所成角的大小。O小结归纳2.计算直线与平面所成角采用的思想：空间角转化为平面角3.解题技巧：线线角找平行线面角找射影1.直线与平面所成角的计算步骤小结归纳作出所求的空间角“一作”证明所作的角符合“二证”构造三角形并求角“三算”【课外延伸】1.已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形，PD⊥底面ABCD,PD=AD,E为AB的中点。求：(1)异面直线PB与CE所成角的余弦值(2)直线DC与平面PBC所成角的大小。ABCDPEO2：P是所在平面外一点，且PA=PB=PC=10,AB=6,BC=8,CA=10，求PA、PB、PC分别与平面ABC所成的角。3.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求A1B和平面A1B1CD所成的正切值角。ABCDA1B1C1D1O2．二面角的定义从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面．棱为l，两个面分别为、的二面角记为-l-．l在二面角-l-的棱l上任取一点O，如图，在半平面和内，从点O分别作垂直于