对DFT(FFT)的一些理解

一、幅频图傅里叶反变换的实质是将已知信号分解成不同频率信号的组合，对于DFT由其反变换（公式(1)）可知，分解后信号的频率k*2π/N，n为时间，所以此时原来的信号，变成了一系列频率离散的信号的组合，所以在频域的图形（幅频图）是一个个离散的点，这点也可由正变换公式得。由公式（2）对于每一个频率k*2π/N，计算结果都是一个点，同时每个频率的基本幅度是|X(k)|，为什么说基本幅度，因为这个幅度不是各个不同频率信号真正的幅度，由（1）式可以看出，前面还有一个1/N，又由于DFT的圆周对称性，当x(n)为实序列或者纯虚序列信号时，其DFT正变换结果的幅度是圆周对称的。如下所示，下图是对两个正弦信号（一个50Hz，幅度3，一个75Hz，幅度1.5）与一个直流信号（幅度2）之和求解256点DFT，然后对其幅度求模所得的结果，由图可以看出，如果将这些点放在一个圆周上，他们是关于n=0对称的。这相当于一个双边谱，频率的能量分成了对称的两部分。所以其真正的幅度如下，当K不等于0时，频率k*2π/N的幅度等于2|X(k)|/N，K=0时，也就是直流信号的幅度为|X(k)|/N，N为计算DFT的点数。而且最后结果只取前一半的频率点。重新计算后得幅频图如下所示，与开始所设的信号幅度一致。而当信号是复信号时则无对称性质。例如，信号2+3*exp(j*2π*50*n)，真正的幅度就是|X(k)|/N，而且作图时不需要人工去掉后一半的点。结果如下：另外，本人认为双边谱的结果只是计算的结果，并无实际物理意义，这与用虚指数信号表示的连续周期信号的傅里叶级数出现负频率类似，频率关于ω=0对称。计算能量也就是真正的幅度时，要考虑到与真频率相对应的负频率。对于对称性可以有以下的解释。在傅里叶变换的层面上，总体的来说，因为傅里叶反变换就是把信号分解成以exp(jω)或者exp(jk*2π/N)为基本信号的组合，所以一个复指数信号就代表一个频率（其它复杂复信号可以由复指数信号合成），所以信号是复信号的时候没有对称性。而对于实信号或者纯虚数信号，将其化成复指数信号后可以看到由一正一负连个复指数信号组成（例如正弦函数，因为必须把实部或者虚不给抵消掉），这也就是其傅里叶变换所对应的结果，所以对于实信号以及纯虚数信号来说，一个分量存在两个分量，并满足一定的对称关系。特别的，对于实或者纯虚的x(n)的DFT，具体有以下解释。假设x’(n)是通过对x(t)抽样特到的，此时x(t)也应该是实的或者纯虚数函数。由连续函数的傅里叶变换可以得到其频谱函数一定是关于原点对称的（如图（2）所示），对其采样后得到x’(n)，在频域频谱函数做周期延拓，且是以时域采样频率为周期进行周期延拓（如图（4）所示），这里采样频率应该满足采样定理，不再赘述。因为要进行DFT，所以需要在对x’(n)进行截断，现在得到有限长序列x(n)，在频域这个过程相当于对周期延拓的频谱与sa函数的卷积，接着再对x(n)进行周期化，在频域相当于将卷积后的频谱离散化，这是进行DFS的过程，最后再对时域和频域取其主值区间可得到x(n)和其DFT结果。此过程如下图所示。这里必须要注意的一点，在时域离散化的时候，频谱函数以fs进行周期延拓，在频域离散化的时候，频域的频率间隔为fs/N，在对DFS的结果取主值区间就得到DFT结果，而主值区间应该有N个点，因为这是N点DFT，所以，在频域对应的最大频率为fs/N再乘以N，得结果为fs，这个点刚好是周期延拓后的下一个周期的峰值处（由图（8）、图（10）可以看到），这就是为什么DFT结果在频域圆周对称的具体原因，当然结果只去0到N-1点。对称性可以由下图描述的过程直观的得到。所以圆周对称的原因有两个原因：1、首先其对应的连续函数的频谱函数是偶对称的，这是最根本的一点。2、时域离散化，导致频谱函数周期延托。二、栅栏效应与分辨率信号x(n)的DFT相当于对x(n)做Z变换，然后在单位圆上对频率进行N的点（等间隔）的抽样，所以信号x(n)被分解成一个个信号的组合，这些信号都是单频的且彼此之间等间隔离散。频域离散也可以直接由傅里叶变换公式得到，或者直观的由图(d)得到。这些频率都在基频的整数倍处，不是连续的频率函数，我们通过这个离散的频谱函数来分析原函数的频率分布。对于离散频率之间的频率信息我们不得而知，这就是栅栏效应。栅栏效应的本质就是频率的离散化，它是频谱率散化的一种形象的描述。栅栏效应的产生导致了频谱分辨率的问题。频谱分辨率就是频域两相邻谱线之间的频率间隔。首先需要明白，频率有模拟频率与数字频率之分，模拟频率表示的谱线间隔其实际值的数学表达式为fs/N（Hz）也就是1/T，T为时域一个周期的长度，计算公式为1/(Ts*N),f为时域抽样频率，频域谱线间隔等于时域周期的倒数，这个关系可以由变换关系式得到，任何形式的傅里叶变换都满足这样的关系。；数字角频率与模拟频率之间的关系为w=Ω*T，其中Ω模拟角频率，所以数字角频率表示的谱线间隔w=2π/N。对于真正的频率（模拟频率）我们要增加频谱分辨率，表面看有两种方法，减小采样频率和提高N。一般情况下我们是针对已有的采样数据而言，因为fs已定，不能改变。所以分辨率只能通过提高N来得到改善。在不改变原采样数据的情况下，我们可以在信号后面补零。这就是常说的补零法。现在我们从DFT公式上分析补零的效果。因为频域点数和时域点数是相等的，所以首先频谱点数增多。由正变换公式，设点数由N变为m*N，新变换的频率用k1表示，当k1满足m*k时，由exp(j*k1*2π/（m*N)可知此时的频率点和未补零前k时的频率点是重合的，此时正变换公式求和项与为补零前的求和项是一样的，只不过增加了求和点数，不过这些点数也就是补的x(n)值是零，对求和并无影响。如果不化成真正的幅度，那么这两个频谱图在这些频率点上频谱图是完全重合的。因为N发生了变化，所以真正的幅度以1/m的比例的发生了变化。仿真结果如下，m等于2，也就是补了N个零。频谱的幅度不是真正的幅度，没有对其做除以N的处理。由于补了一倍的点，图g可以看出，每隔一个点，两个频谱都是重合的。相对于原来的频谱函数，在频域进行了内插，所以频谱分辨率提高了。补零的结果是对已经截断得到的信号的频谱分辨率的提高，而不是对原来为截断的信号的分辨率的提高。这由图（d）可以很容易看出，补零后DFT的结果使得图10的谱线变的更密而更加逼近图（6），而做不到使频谱逼近图（2），所以截断而丢失的信息无法通过补零而得到。