函数极限的定义

第三节函数极限的定义一、函数在有限点处的极限在上节中，我们讨论了数列的极限.而我们又知道数列是一种特殊的函数——定义在正整数集上的函数.那么一般函数的极限又应该如何定义呢？这一节我们将全面引入函数极限的定义.引例设函数21()1,1.1xfxxxx尽管函数在点处没有定义，1x但当无限趋近于1而不等于1时，x相应无限趋近于2.y(),fxA0lim().xxfxA或0().fxAxx定义设函数在点的某个空心邻域中有定义，如果存在常数，使得对于任意给定的正数，总存在正数，对于满足的一切，都有fx0xA00xxx那么常数就称作函数当时的极限，记为Afx0xxOxy0x()yfxAAA0x0x0lim()xxfxA函数极限的几何意义对于任意，0对满足的一切，00xxx都有().fxA总存在正数，例函数211().101xxfxxx注1：函数在点处的极限与函数在这一点是否有fx0x定义、或为多少毫无关系，它所反映的是在0fxfx则有1lim2,xfx该点附近的变化趋势.(),fxA经过不等式的变形，得到关系0(),fxAMxx0(),fxAMxx注2:函数在点的极限的定义说明了如何去证明fx0x其中是一个与无关的常量.再取，则当MMxfx0xA0,函数在点的极限为的方法：对于考虑00xx时，有：此即说明0lim().xxfxA例1证明下列极限⑴2lim(21)5;xx证⑴因()2152422fxAxxx0limsin0.xx⑵所以,,取，当时，可使0202x()21522,fxAxx故2lim(21)5.xx⑵因()sin0sinfxAxx欲使即sin,xsin,x所以不妨取此时令0,01,arcsin,()sin0,fxAx0x则当时，有因而0limsin0.xx例2证明12214lim2.21xxx证因2214(21)1()22,21212xxfxAxxx2141()22,212xfxAxx所以,,取，当，可使0210()2x所以12214lim2.21xxx例3证明22lim4.xx证因2()422,fxAxxx为能解出不等式，要对进行适当的控制，x2Mxx13x为此限定的变化范围为，此时有25,x所以,,取，当时，0min{1,}502x可使2()42252,fxAxxxx所以22lim4.xx证因例4证明2123lim.12xxx222123231()1,12212(1)xxxxfxAxxxx取即所以11,x02,x21311,2222xxx所以,,取，当时，0min{1,}01x223()1,12xfxAxx所以2123lim.12xxx证因例5设，证明00x00lim.xxxx000001(),xxfxAxxxxxxx所以,,取，当时，00x00xx可使0001(),fxAxxxxx所以00lim.xxxx左右极限1yx1yx10()00,10xxfxxxx考虑函数:x0x是当在该点两侧趋近于时，函数有一个确定的变化趋势.但某种情况下，函数在两侧的趋势是不同的，这就需要分别加以讨论.前面讨论的是函数在某一点的极限，它反映的fx0xOxy111yx1yxOxy11该函数在点两侧的变化趋势是不同的:0x当在0的右侧趋近于0时，x1;fx当在0的左侧趋近于0时，x1.fx这就导出左右极限的概念.那么称作在处的左极限，记为Afx0x0,0,左极限定义：若当时，00xx(),fxA使得那么称作在处的右极限，记为Afx0x0,0,右极限定义：若当时，00xx(),fxA使得0lim()xxfx0()fx或0lim()xxfx0()fx或容易证明：01lim,xx例如：01lim,xx10lime0,xx10lime,xx定理极限存在的充分必要条件是在点0lim()xxfx()fx0x处的左右极限存在并且相等.即存在均存在，且0lim()xxfx00lim(),lim()xxxxfxfx00lim()lim().xxxxfxfx解因例6说明极限不存在.1/01lim1exx1/01lim0,1exx1/01lim1,1exx所以极限不存在.1/01lim1exx二、函数在无穷远处的极限定义设函数在时有定义，为常数.fxxMA(),fxA00XxX①若，，当时，使得则称为函数在时的极限，记为Axfxlim()xfxA().fxAx或(),fxA00XxX②若，，当时，使得则称为函数在时的极限，记为Axfxlim()xfxA().fxAx或(),fxA00XxX③若，，当时，使得则称为函数在时的极限，记为Axfxlim()xfxA().fxAx或例7证明1lim0.xx证因11()0fxAxx所以,,取，当时，使得01XxX1(),fxAx1lim0.xx所以例8证明limarctan.2xx证因()arctanarctan22fxAxx()arctan,2fxAx只要，即arctan2xtan2x所以,,取，当时，使得0xXtan2Xlimarctan.2xx所以类似可证limarctan.2xx证因222222()1111,fxAxxxxx22()11,fxAxx例9证明22lim110.xxx所以,,取，当时，使得02XxX所以22lim110.xxx例10证明11lim.212xxx所以,,取，当时，使得01max{1,}2XxX证因111,212221xfxAxx当时，则有不等式1x2121xxx11,2212xx11,2212fxAxx所以11lim.212xxx三、极限的性质即：在的某个空心邻域内有界.fx0x定理1(局部有界性)如果极限存在，0lim()xxfx证设，由定义，对存在0lim()xxfxA1,0,当，即有00xx0(,),xUx()1,fxA0xfx那么在的某个空心邻域内，函数有界.()()fxfxAA()1,fxAAA证设，由定义，对存在limnnxa1,0,N1,nxa当时，有从而nN定理(有界性)如果极限存在，那么存在10,Mlimnnx1,nnxxaaa取，则对所有的，有n12max,,,,1NMxxxa.nxMn.nxM使得对所有的，有定理2(极限的保号性)如果，则存在点0lim()0xxfxA0x的某个空心邻域内，使得在该邻域中有：0.fx证设，由定义，对存在0lim()xxfxA,2A0,当时，有0(,)xUx()2AfxA0.2AfxA0x0x0xyfxxOy2AA32A定理2’(保号性)如果，则存在正整数lim0nnxaN当时，有：0.nxnN0lim0.xx推论在的某个空心领域中，有且0x0,fx0lim(),xxfxA则0.A注意：如果推论的条件改成（严格大于），则0fx0,fx0,A不能推出例如时但(),0fxxx证设，则当时，0lim()xxfxA0,0,0(,)xUx(),fxA定理3(函数极限与数列极限的关系)则此数列相应的函数值数列收敛，且1nnfx0lim()lim().nnxxfxfxfx0lim()xxfx1nnx设存在，又设是函数定义域中的0,nxx0,limnnxx一个任意数列，且由条件故对，当时，有0lim,nnxx0,0NnN00,nxx即0(,),nxUx因而(),nfxA即0lim()lim().nnxxfxAfx0lim()xxfxAxyOyfxA1x1()fx2()fx3()fx4()fx()nfx2x3x4x0xnx0,limnnxx0lim()lim().nnxxfxAfx此定理的一个实际意义是：使其函数值数列收敛到两个不同的值，即如果能够找到自变量的两个不同子列00,nnxxxx则说明函数在这一点无极限.00lim()lim()nnxxxxfxfx所以不存在.0limsinxx例证明函数在时极限不存在.()sinfxx0x证令1221,nnx21,nny则limlim0,nnnnxy1limlimsin21,2nnnfxn但limlimsin20,nnnfynxy11sinyx对于数列，有定理设存在，则对于的任一子列1,knkx1nnxlimnnx用此定理，即可说明数列的极限不存在.11nnlimlim.knnknxx有知识回顾KnowledgeReview祝您成功！