【苏教版数学】步步高2012版大一轮复习课件：专题1 函数图象与性质的综合应用

专题一函数图象与性质的综合应用基础知识自主学习要点梳理1．函数的性质(1)函数的性质是高考的必考内容，它是函数知识的核心部分．函数的性质包括函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性与最大值、最小值等，在历年的高考试题中函数的性质都占有非常重要的地位．(2)考查函数的定义域、值域的题型，一般是通过具体的问题(实际应用题与几何问题)找出函数的关系式，再研究函数的定义域与值域．(3)中档题常考题型利用函数的性质比较函数值的大小、求函数值、解不等式、求二次函数的最值问题，同时也考查考生能否用运动变化的观点观察问题、分析问题、解决问题.(4)函数的最值问题在高考试题中几乎年年出现，它是高考中的重要题型之一，特别是函数在经济生活中的应用问题，大多数都是最值问题，所以要掌握求函数最值的几种常用方法与技巧，灵活、准确地列出函数模型．2．函数的图象(1)函数图象是高考的必考内容，其中作图、识图、用图也是学生必须掌握的内容．(2)作图一般有两种方法：描点法、图象变换法．特别是图象变换法，有平移变换、伸缩变换和对称变换，要记住它们的变换规律．(3)识图时，要留意它们的变化趋势，与坐标轴的交点及一些特殊点，特别是对称性、周期性等特点，应引起足够的重视．(4)用图，主要是数形结合思想的应用．题型分类深度剖析题型一函数求值例1已知f(x)＝2txx2，logtx2－1x≥2，若f(2)＝1，则f[f(5)]＝________.思维启迪先利用f(2)＝1求出t的值，然后由里到外，逐层求解，先求f(5)，再求f[f(5)]．解析因2≥2，所以f(2)＝logt(22－1)＝logt3＝1，解得t＝3.因为52，所以f(5)＝log3[(5)2－1]＝log34，显然log34log39＝2，故f[f(5)]＝f(log34)＝2×2×4＝8.8探究提高求解分段函数的函数值应注意验证自变量的取值范围．易错点是忽视自变量取值范围的限制．4log33变式训练1已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝－f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(2009)＋f(－2010)=.解析依题意得，x≥0时，有f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即x≥0时，f(x)是以4为周期的函数．因此，f(2009)＋f(－2010)＝f(2009)＋f(2010)＝f(1)＋f(2)，而f(2)＝－f(0)＝－log2(0＋1)＝0，f(1)＝log2(1＋1)＝1，故f(2009)＋f(－2010)＝1.1题型二函数与不等式例2设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为单调递增函数，且f(2)＝0，则不等式f－x－fxx≥0的解集为.思维启迪转化成f(m)f(n)的形式，利用单调性求解．解析因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，不等式可化为－fx－fxx≥0，即－fxx≥0.当x0时，则有f(x)≤0＝f(2)，由f(x)在(0，＋∞)上单调递增可得x≤2；当x0时，则有f(x)≥0＝－f(2)＝f(－2)，由函数f(x)为奇函数可得f(x)在(－∞，0)上单调递增，所以x≥－2.所以不等式的解集为[－2,0)∪(0,2]．[－2,0)∪(0,2]探究提高解决抽象函数问题的关键是灵活利用抽象函数的性质，利用函数的单调性去掉函数符号是解决问题的关键，由函数为奇函数可知，不等式的解集关于原点对称，所以只需求解x0时的解集即可．变式训练2已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2＋2x，若f(2－a2)f(a)，则实数a的取值范围是__________．解析∵f(x)是奇函数，∴当x0时，f(x)＝－x2＋2x，作出f(x)的大致图象如图中实线所示，结合图象可知f(x)是R上的增函数，由f(2－a2)f(a)，得2－a2a，即－2a1.(－2,1)题型三函数的最值与恒成立问题例3定义在R上的增函数y＝f(x)对任意x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．(1)求f(0)；(2)求证：f(x)为奇函数；(3)若f(k·3x)＋f(3x－9x－2)0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．思维启迪(1)赋值法是解决抽象函数问题的常用方法，第(1)(2)两问可用赋值法解决．(2)将恒成立问题转化成函数最值问题．(1)解令x＝y＝0，得f(0＋0)＝f(0)＋f(0)，即f(0)＝0.(2)证明令y＝－x，得f(x－x)＝f(x)＋f(－x)，又f(0)＝0，则有0＝f(x)＋f(－x)，即f(－x)＝－f(x)对任意x∈R成立，所以f(x)是奇函数．(3)解方法一因为f(x)在R上是增函数，又由(2)知f(x)是奇函数．f(k·3x)－f(3x－9x－2)＝f(－3x＋9x＋2)，所以k·3x－3x＋9x＋2，32x－(1＋k)·3x＋20对任意x∈R成立．令t＝3x0，问题等价于t2－(1＋k)t＋20对任意t0恒成立．令f(t)＝t2－(1＋k)t＋2，其对称轴为x＝1＋k2，当1＋k20即k－1时，f(0)＝20，符合题意；当1＋k2≥0即k≥－1时，对任意t0，f(t)0恒成立⇔1＋k2≥0，Δ＝1＋k2－4×20，解得－1≤k－1＋22.综上所述，当k－1＋22时，f(k·3x)＋f(3x－9x－2)0对任意x∈R恒成立．方法二由k·3x－3x＋9x＋2，得k3x＋23x－1.u＝3x＋23x－1≥22－1，即u的最小值为22－1，要使对x∈R不等式k3x＋23x－1恒成立，只要使k22－1.探究提高对于恒成立问题，若能转化为af(x)(或af(x))恒成立，则a必须大于f(x)的最大值(或小于f(x)的最小值)．因此恒成立问题可以转化为我们较为熟悉的求最值的问题进行求解．若不能分离参数，可以将参数看成常数直接求解．变式训练3已知f(x)＝x2＋ax＋3－a，若x∈[－2,2]时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围．解f(x)的最小值为g(a)，则①当－a2－2，即a4时，g(a)＝f(－2)＝7－3a≥0，得a≤73.又a4，故此时a不存在．②当－a2∈[－2,2]，即－4≤a≤4时，g(a)＝3－a－a24≥0，得－6≤a≤2.又－4≤a≤4，故－4≤a≤2.③当－a22，即a－4时，g(a)＝f(2)＝7＋a≥0，得a≥－7.又a－4，故－7≤a－4.综上得－7≤a≤2.题型四由式选图或由图定式问题例4函数f(x)＝loga|x|＋1(0a1)的图象大致为.思维启迪由函数解析式选图，从奇偶性、单调性、特殊点入手，逐步定位筛选．解析f(x)在(0，＋∞)上为减函数，只能是①或④.f(1)＝1，只能是①.①探究提高对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系．常用的方法有：(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题．(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题．(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．变式训练4(2010·山东改编)函数y＝2x－x2的图象大致是.解析由于2x-x2=0在x0时有一解；在x0时有两解，分别为x=2和x=4.因此函数y=2x-x2有三个零点，故应排除②、③.又当x→-∞时，2x→0,而x2→+∞,故y=2x-x2→-∞,因此排除④.①题型五以形助数数形结合问题例5已知不等式x2－logax0，当x∈0，12时恒成立，求实数a的取值范围．思维启迪在同一坐标系中分别作出y＝x2、y＝logax的图象．利用图形进行分析．解由x2－logax0，得x2logax.设f(x)＝x2，g(x)＝logax.由题意知，当x∈0，12时，函数f(x)的图象在函数g(x)的图象的下方，如图，可知0a1，f12≤g12，即0a1，122≤loga12，解得116≤a1.∴实数a的取值范围是116，1.探究提高本题是函数与不等式的综合题，运用数形结合的思想及函数的思想，抓住函数图象的本质特征是解决本题的关键所在．变式训练5已知a0且a≠1，f(x)＝x2－ax，当x∈(－1,1)时均有f(x)12，则实数a的取值范围是__________．解析由题意可知axx2－12在(－1,1)上恒成立，令y1＝ax，y2＝x2－12，由图象知：a－1≥－12－12，a1≥12－12，a0且a≠1，∴12≤a1或1a≤2.12，1∪(1,2]点评本题易错的原因：①找不到解题的切入口，使解题无法进行下去；②易忽略对a的分类讨论．答题规范3．作图、用图要规范试题：(14分)已知函数f(x)＝|x2－4x＋3|(1)求函数f(x)的单调区间，并指出其增减性；(2)若关于x的方程f(x)－a＝x至少有三个不相等的实数根，求实数a的取值范围．审题视角(1)化简f(x)并作出f(x)的图象，由图象确定单调区间．(2)方程f(x)－a＝x的根的个数等价于y＝f(x)与y＝x－a的交点的个数，所以可以借助图象进行分析．规范解答解f(x)＝x－22－1，x∈－∞，1]∪[3，＋∞－x－22＋1，x∈1，3作出图象如图所示．[4分](1)递增区间为[1,2]，[3，＋∞)，递减区间为(－∞，1]，[2,3]．[6分](2)原方程变形为|x2－4x＋3|＝x＋a，于是，设y＝x＋a，在同一坐标系下再作出y＝x＋a的图象．如图．则当直线y＝x＋a过点(1,0)时，a＝－1；[8分]当直线y＝x＋a与抛物线y＝－x2＋4x－3相切时，由y＝x＋ay＝－x2＋4x－3⇒x2－3x＋a＋3＝0.[10分]由Δ＝9－4(3＋a)＝0，得a＝－34.[12分]由图象知当a∈－1，－34时方程至少有三个不等实根．[14分]批阅笔记(1)函数图象形象地显示了函数的性质(如单调性、奇偶性、最值等)，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，因此常用函数的图象研究函数的性质．(2)有些不等式问题常转化为两函数图象的上、下关系来解．(3)方程解的个数常转化为两熟悉的函数图象的交点个数问题来求解．(4)本题比较突出的问题，是作图不规范．由于作图不规范，导致第(2)问的思路出现错误．思想方法感悟提高方法与技巧1．利用复合函数求函数值是一类重要问题，解题关键是利用已知的函数值，通过解析式的变化特点进行代入求值，有时也可以利用周期性来解题．2．抽象函数奇偶性的判断关键在于构造f(－x)，使之与f(x)产生等量关系，即比较f(－x)与±f(x)是否相等，此时赋值比较多的是－1、1、0等．3．作图、识图和用图是函数图象中的基本问题．作图的基本途径：求出函数的定义域；尽量求出值域；变换(化简、平移、对称、伸缩等)出图象的形状；描点作图．识图就是从图形中发现或捕捉所需信息，从而使问题得到解决．用图就是根据需要，作出函数的图形，使问题求解得到依据，使函数、方程、不等式中的许多问题化归为函数图象问题．失误与防范1．函数求值问题一定要关注自变量的取值范围，尤其是分段函数，以防代错解析式．2．对于抽象函数不等式向具体不等式转化的过程中，一定要注意单调区间，需将自变量转化到同一个单调区间上去．3．识图要抓性质特征，关键点；作图要规范，一般从基本图形通过平移、对称等变换来作图较好．返回