11计算电磁学3-蒙特卡洛法

第第章章蒙特卡罗法蒙特卡罗法第第33章章蒙特卡罗法蒙特卡罗法计算电磁学－蒙特卡罗法计算电磁学－蒙特卡罗法计算电磁学－蒙特卡罗法计算电磁学－蒙特卡罗法电子科技大学物理电子学院电子科技大学物理电子学院赖生建赖生建[e-mail]@uestc.edu.cn主要内容主要内容要内容要内容一．一．蒙特卡罗法的基本原理蒙特卡罗法的基本原理二二伪随机数伪随机数二．二．伪随机数伪随机数三．三．随机变量的抽样随机变量的抽样随变量抽样随变量抽样四．四．蒙特卡罗法在确定问题中的应用蒙特卡罗法在确定问题中的应用[e-mail]概述概述概述概述„„蒙特卡罗方法蒙特卡罗方法又称又称随机抽样技巧随机抽样技巧或或统计试验方法统计试验方法。。蒙特卡罗方法是一种计算方法，但与一般数值计蒙特卡罗方法是一种计算方法，但与一般数值计算方法有很大区别。它是以算方法有很大区别。它是以概率统计理论概率统计理论为基础为基础的一种方法。由于蒙特卡罗方法能够比较的一种方法。由于蒙特卡罗方法能够比较逼真地逼真地描事物特物实验描事物特物实验过数值过数值描述事物的特点及物理实验描述事物的特点及物理实验过程，解决一些数值过程，解决一些数值方法难以解决的问题，因而该方法的应用领域日方法难以解决的问题，因而该方法的应用领域日趋广泛趋广泛趋广泛。趋广泛。[e-mail]概述概述概述概述二十世纪四十年代中期由于科学技术的发展和二十世纪四十年代中期由于科学技术的发展和„„二十世纪四十年代中期，由于科学技术的发展和二十世纪四十年代中期，由于科学技术的发展和电子计算机的发明，蒙特卡罗方法作为一种独立电子计算机的发明，蒙特卡罗方法作为一种独立的方法被提出来，并首先在的方法被提出来，并首先在核武器的试验核武器的试验与研制与研制的方法被提出来，并首先在的方法被提出来，并首先在核武器的试验核武器的试验与研制与研制中得到了应用。但其基本思想并非新颖，人们在中得到了应用。但其基本思想并非新颖，人们在生产实践和科学试验生产实践和科学试验中就已发现，并加以利用。中就已发现，并加以利用。[e-mail]例例1.1.蒲丰氏问题蒲丰氏问题例例蒲丰氏问题蒲丰氏问题为了求得圆周率为了求得圆周率值在十九世纪后期有很多值在十九世纪后期有很多„„为了求得圆周率为了求得圆周率ππ值，在十九世纪后期，有很多值，在十九世纪后期，有很多人作了这样的试验：将长为人作了这样的试验：将长为2l2l的一根针任意投到的一根针任意投到地面上，用针与一组相间距离为地面上，用针与一组相间距离为2a2a（（ll＜＜aa）的平）的平地面上，用针与组相间距离为地面上，用针与组相间距离为2a2a（（ll＜＜aa）的平）的平行线相交的行线相交的频率代替概率频率代替概率PP，再利用，再利用准确的关系准确的关系式式：：l2求出求出值值alPπ2=„„求出求出ππ值值22()llaNnPaπ=≈„„其中其中ＮＮ为投计次数，为投计次数，nn为针与平行线相交次数。为针与平行线相交次数。这就是这就是古典概率论中著名的蒲丰氏问题古典概率论中著名的蒲丰氏问题[e-mail]这就是这就是古典概率论中著名的蒲丰氏问题古典概率论中著名的蒲丰氏问题。。„„一些人进行了实验，其结果列于下表一些人进行了实验，其结果列于下表：实验者年份投计次数π的实验值沃尔弗(Wolf)185050003.1596斯密思(Smith)185532043.1553福克斯(Fox)189411203.1419拉查里尼(Lazzarini)[e-mail]例例2.2.射击问题（打靶游戏）射击问题（打靶游戏）例例射击问题打靶游戏射击问题打靶游戏设设表射击运动员的弹着点到靶的离表射击运动员的弹着点到靶的离„„设设rr表示射击运动员的弹着点到靶心的距离，表示射击运动员的弹着点到靶心的距离，ｇｇ((rr))表示击中表示击中rr处相应的得分数（环数），处相应的得分数（环数），ff((rr))为该运动为该运动员的弹着点的分布密度函数，它反映运动员的射员的弹着点的分布密度函数，它反映运动员的射击水平。该运动员的射击成绩为击水平。该运动员的射击成绩为∫∞=0)()(drrfrgg„„用用概率语言概率语言来说，来说，gg是随机变量是随机变量ｇｇ((rr))的数学期的数学期望望即即望，望，即即[])(rgEg=[e-mail][])(gg„„现假设该运动员进行了现假设该运动员进行了ＮＮ次射击次射击，，每次射击的每次射击的弹着点依次为弹着点依次为rrrrrr则则ＮＮ次得分次得分弹着点依次为弹着点依次为rr11，，rr22，，……，，rrNN，，则则ＮＮ次得分次得分gg((rr11))，，gg((rr22))，，……，，gg((rrNN))的的算术平均值算术平均值N1∑=NiNrgNg)(1„„代表了该运动员的成绩代表了该运动员的成绩。。换言之换言之，，为为积分积分gg∑=iN1代表了该运动员的成绩代表了该运动员的成绩。。换言之换言之，，为为积分积分gg的估计值的估计值，，或近似值或近似值。。„„在该例中用在该例中用ＮＮ次试验所得成绩的次试验所得成绩的算术平均值算术平均值„„在该例中，用在该例中，用ＮＮ次试验所得成绩的次试验所得成绩的算术平均值算术平均值作为数学期望作为数学期望gg的估计值的估计值（积分近似值）。（积分近似值）。[e-mail]¾¾基本思想基本思想基本思想基本思想„„由以上两个例子可以看出由以上两个例子可以看出，，当所求问题的解是某当所求问题的解是某个事件的概率个事件的概率，，或者是某个随机变量的数学期望或者是某个随机变量的数学期望，，或者是与概率或者是与概率、、数学期望有关的量时数学期望有关的量时，，通过通过某种某种试验试验的方法的方法，，得出该事件发生的得出该事件发生的频率频率，，或者该随或者该随机变个体机变个体察值算术均值察值算术均值过它过它机变量若干个具体机变量若干个具体观察值的算术平均值观察值的算术平均值，，通过它通过它得到问题的解得到问题的解。。这就是这就是蒙特卡罗方法的基本思想蒙特卡罗方法的基本思想。。„„当随机变量的取值仅为当随机变量的取值仅为11或或00时时，，它的它的数学期望就数学期望就是某个事件的概率是某个事件的概率。。或者说或者说，，某种事件的概率也某种事件的概率也是随机变量是随机变量（（仅取值为仅取值为11或或00））的数学期望的数学期望。。[e-mail]„„因此可以通俗地说蒙特卡罗方法是用因此可以通俗地说蒙特卡罗方法是用随机试验的随机试验的„„因此，可以通俗地说，蒙特卡罗方法是用因此，可以通俗地说，蒙特卡罗方法是用随机试验的随机试验的方法计算积分方法计算积分，即将所要计算的，即将所要计算的积分看作服从某种分积分看作服从某种分布密度函数布密度函数ff((rr))的随机变量的随机变量ｇｇ((rr))的数学期望的数学期望布度函数布度函数(())随机变随机变ｇｇ(())数学期数学期0()()ggrfrdr∞=∫„„通过某种试验通过某种试验，，得到得到ＮＮ个观察值个观察值rr11，，rr22，，……，，rrNN（（用概用概率语言来说率语言来说，，从分布密度函数从分布密度函数ff((rr))中抽取中抽取ＮＮ个子样个子样rr11，，(())11rr22，，……，，rrNN）），，将相应的将相应的ＮＮ个随机变量的值个随机变量的值gg((rr11))，，gg((rr22))，，……，，gg((rrNN))的的算术平均值算术平均值11()NNiiggrN==∑„„作为作为积分的估计值积分的估计值（近似值）。（近似值）。1i=[e-mail]„„为了得到具有一定精确度的近似解所需试验为了得到具有一定精确度的近似解所需试验„„为了得到具有一定精确度的近似解，所需试验为了得到具有一定精确度的近似解，所需试验的次数是很多的，通过的次数是很多的，通过人工方法人工方法作大量的试验作大量的试验相当困难甚至是不可能的因此蒙特卡罗相当困难甚至是不可能的因此蒙特卡罗相当困难，甚至是不可能的。因此，蒙特卡罗相当困难，甚至是不可能的。因此，蒙特卡罗方法的基本思想虽然早已被人们提出，却很少方法的基本思想虽然早已被人们提出，却很少被使用本世纪四十年代以来由于电子计算被使用本世纪四十年代以来由于电子计算被使用。本世纪四十年代以来，由于电子计算被使用。本世纪四十年代以来，由于电子计算机的出现，使得人们可以通过机的出现，使得人们可以通过电子计算机来模电子计算机来模拟随机试验拟随机试验过程把巨大数目的随机试验交由过程把巨大数目的随机试验交由拟随机试验拟随机试验过程，把巨大数目的随机试验交由过程，把巨大数目的随机试验交由计算机完成，使得蒙特卡罗方法得以广泛地应计算机完成，使得蒙特卡罗方法得以广泛地应用在现代化的科学技术中发挥应有的作用用在现代化的科学技术中发挥应有的作用用，在现代化的科学技术中发挥应有的作用。用，在现代化的科学技术中发挥应有的作用。[e-mail]¾¾计算机模拟试验过程计算机模拟试验过程计算机模拟试验过程计算机模拟试验过程„„计算机模拟试验过程计算机模拟试验过程，，就是将试验过程就是将试验过程（（如投针如投针，，射击射击））化为化为数学问题数学问题，，在计算机上实现在计算机上实现。。以上述以上述两个问题为例两个问题为例分别加以说明分别加以说明两个问题为例两个问题为例，，分别加以说明分别加以说明。。„„由上面两个例题看出，蒙特卡罗方法常以一个由上面两个例题看出，蒙特卡罗方法常以一个““概率模型”概率模型”为基础，按照它所描述的过程，使为基础，按照它所描述的过程，使概率模型概率模型为基础，按照它所描述的过程，使为基础，按照它所描述的过程，使用由用由已知分布抽样已知分布抽样的方法，得到部分试验结果的的方法，得到部分试验结果的观察值，求得问题的近似解。观察值，求得问题的近似解。观察值，求得问题的近似解。观察值，求得问题的近似解。[e-mail]例１．蒲丰氏问题例１．蒲丰氏问题例蒲丰氏问题例蒲丰氏问题针投地上的针投地上的„„设设针投到地面上的位置针投到地面上的位置可以用可以用一组参数一组参数（（xx,,θθ））来描述，来描述，xx为为针中心的坐标针中心的坐标θθ为针与平行为针与平行针中心的坐标，针中心的坐标，θθ为针与平行为针与平行线的夹角，如图所示。线的夹角，如图所示。„„任意投针，就是意味着任意投针，就是意味着xx与与θθ都都„„任意投针，就是意味着任意投针，就是意味着xx与与θθ都都是是任意取任意取的，但的，但xx的范围限于的范围限于［［00，，aa］，夹角］，夹角θθ的范围限于的范围限于［［00，，ππ］。在此情况下，针与］。在此情况下，针与平行线相交的数学条件平行线相交的数学条件是是针在平行线间的位置sinxlθ≤⋅[e-mail]„„如何产生任意的（如何产生任意的（xxθθ）？）？xx在在„„如何产生任意的（如何产生任意的（xx,,θθ）？）？xx在在［［00，，aa］上］上任意取值任意取值，表示，表示xx在［在［00，，aa］上是］上是均匀分布均匀分布的，的，⎧≤≤0,/1axa在［在［］是］是均匀分布均匀分布其其分布密度函数分布密度函数为：为：⎩⎨⎧≤≤=其他,00,/1)(1axaxf„„类似地，类似地，θθ的的分布密度函数分布密度函数为：为：⎩⎨⎧≤≤=其他00,/1)(2πθπθf„„因此，产生任意的（因此，产生任意的（xx,,θθ）的过）的过程就变成了程就变成了由由ff11((xx))抽样抽样xx及由及由⎩⎨其他,0)(2fff22((θθ))抽样抽样θθ的过程的过程了。由此得了。由此得到：到：1ξ=ax„„其中其中ξξ11，，ξξ22均为均为（（0,10,1）上均）上均匀分布匀分布的随机变量的随机变量21πξθξ=ce