数学分析函数极限概念

返回后页前页§1函数极限概念一、x趋于时的函数极限二、x趋于x0时的函数极限三、单侧极限在本章,我们将讨论函数极限的基本联系,它们之间的纽带就是归结原理.函数极限与数列极限之间有着密切的概念和重要性质.作为数列极限的推广,返回返回后页前页一、x趋于时的函数极限设函数定义在)(xf,aA)(xfxyO极限.f(x)当x趋于时以A为也无限地接近A,我们就称无限远离原点时,函数f(x)上,当x沿着x轴的正向返回后页前页x趋于例如函数,arctanxy当时,xyπ210203040O0.51为极限.以xarctanπ2返回后页前页记为或者lim()xfxA).()(xAxf定数,若对于任意正数存在使得，0，)(aM,)(AxfAxxf时以趋于当)(则称函数.为极限,时Mx当定义1.,上的一个函数为定义在设afA为返回后页前页④()AfxA有lim()xfxA的几何意义③xM使当时xAA①任意给定0M②存在MaAxyOa返回后页前页④()AfxA有lim()xfxA的几何意义③xM使当时xAA①任意给定0M②存在MaxAyOa返回后页前页注数列可视为定义在正整数集上的函数.请大家所以(由定义1),例1证明.01limxx任给取证,0,1M,时当Mx,10)(xxf.01limxx与不同点.比较数列极限定义与函数极限定义之间的相同点返回后页前页例2.2arctanlimxx证明证任给),2(0).2tan(M取这就是说πlimarctan.2xx时，当Mx严格增，因为xarctanππ()arctan22fxxππ().22返回后页前页,)(Axf定义2,,)(上定义在设bxf.是一个常数A,0,0M存在()xMb当时若对于任意记为Axxf时以当)(,为极限则称Axfx)(lim或).()(xAxf返回后页前页为极限，时以当则称Axxf)(记为,)(Axf定义3A,)()(内的某个邻域定义在设Uxf存在当，0M,0.为一个常数若对于任意xM时Axfx)(lim或).()(xAxf返回后页前页证对于任意正数),10(,lnM取lnx当时这就是说例3求证lime0.xx.e0exx.0elimxx返回后页前页例4求证.011lim2xx22110,1xx所以结论成立.,1M有时当,Mx证对于任意正数,可取返回后页前页从定义1、2、3不难得到:.)(lim)(limAxfxfxx定理3.1定义在则的一个邻域内，)(xfxxarctanlim则由定理3.1，.不存在Axfx)(lim的充要条件是：ππlimarctan,limarctan,22xxxx例如返回后页前页二、x趋于x0时的函数极限设函数f(x)在点x0的某空心邻域内有定义.)(0xU,数,)(),(0时当xUxUx,)(Axf定义4)(xf设内有)(xU的某空心邻域0x在点,如果对于任意正数定义，.是一个常数A存在正为极限的定义.下面我们直接给出函数f(x)时以常数A0xx当返回后页前页或者0lim()xxfxA.)()(0xxAxf.)(0为极限时以当Axxxf记为则称例5证明.221121lim1xxx时,使,对于任意正数,0要找到|1|0x当分析返回后页前页121111221222xxx因211,22(12)xxx只要式就能成立,故取即可.1,()x证,00xx当时,,任给正数取()2121.22(12)22(12)xxxx返回后页前页这就证明了,1221121xxx.221121lim1xxx返回后页前页例6证明.lim2020xxxx,00202xxxxxx可以先限制因为此时有,10xx0000022xxxxxxxx故只要所以,)21(00202xxxxx.2100xxx要使分析012,x返回后页前页这就证明了.202xx.lim2020xxxx证,21,1min0x取00xx当,0有,时返回后页前页例7求证：00(1)limsinsin;xxxx注在例5、例6中,我们将所考虑的式子适当放大,不是“最佳”的,但这不影响我们解题的有效性.其目的就是为了更简洁地求出,或许所求出的00(2)limcoscos.xxxx返回后页前页证首先，在右图所示的单位圆内,π0,2x当时显然有即,OABOADOADSSS扇形,tan2121sin21xxx故πsintan0.2xxxxOCDBAyxx返回后页前页.0时成立上式中的等号仅在xπ,2x因为当时,0,1sinxxx故对一切R.,sinxxx.sinxx,sinx故均是奇函数,x又因为有000sinsin2cossin22xxxxxx对于任意正数,取,00时当xx,0,xx返回后页前页.sinsinlim00xxxx同理可证:.coscoslim00xxxx所以返回后页前页例7证明：).1||(11lim02020xxxxx证因为22000220||||1111xxxxxxxx则,0,2120x取00||xx当时，2200202|||11|.1xxxxx这就证明了所需的结论.0202||,1xxx返回后页前页在上面例题中,需要注意以下几点：,我们强调其存在性.换句话说,对于固定1.对于的,不同的方法会得出不同的,不存在哪一个更好的问题.数都可以充当这个角色.3.正数是任意的,一旦给出,它就是确定的常数.,那么比它更小的正是不惟一的,一旦求出了.2返回后页前页有时为了方便,需要让小于某个正数.一旦对这为贵”.当然也能满足要求.所以我们有时戏称“以小样的能找到相应的,那么比它大的,这个返回后页前页平面上以y=A为中心线,宽为的窄带,2可以找到,0使得曲线段),(),(0xUxxfy4.函数极限的几何意义如图,0,任给对于坐标落在窄带内.AyAyAyOxy0x0x0x返回后页前页三、单侧极限，时在考虑)(lim0xfxxx既可以从x0)(0xx的左侧但在某些时.)(000xxxx趋向于的右侧又可以从定义5,)),((),()(00有定义在设xUxUxfA为常数.若对于任意正数,,）（存在正数在定义区间的端点和分段函数的分界点等.候,我们仅需(仅能)在x0的某一侧来考虑,比如函数返回后页前页||,fxA（）则称A为函数f当00()xxxx时的右(左).))(lim()(lim00AxfAxfxxxx右极限与左极限统称为单侧极限,为了方便起见，).(lim)0(,)(lim)0(0000xfxfxfxfxxxx时，有当)0(000xxxx极限,记作有时记返回后页前页例7讨论函数.112处的单侧极限在xx解因为,1||x),1(2)1()1(12xxxx.|01|2x.01lim21xx这就证明了.01lim21xx同理可证所以有时当,11x,2,02取返回后页前页由定义3.4和定义3.5，我们不难得到：注试比较定理3.1与定理3.1´..)(lim)(lim00Axfxfxxxx）有定义，则（在设0)(xUxf定理3.1´:)(lim0的充要条件是Axfxx,1sgnlim,1sgnlim00xxxx由于xxsgnlim0所以不存在.返回后页前页作为本节的结束,我们来介绍两个特殊的函数极限.例9证明狄利克雷函数无理数，有理数xxxD0,1)(证001R,,.2xA对于任意的以及任意实数取处处无极限.,||00*xx,QR,21||,0*xA取若对于任意的满足返回后页前页.21|||)(|0*AAxD**01||,Q,0||,2Axxx若取满足则.21|1||)(|0*AAxD这就证明了结论.则返回后页前页例10设黎曼函数.1,0,0,1),(,1)(无理数以及xqpqpxqxR00:(0,1),lim()0.xxxRx求证证.10NN，使，取一正整数因为在(0,1)中分母小于N的有理数至多只有.)(,,,21Knxxxn个,故可设这些有理数为2)1(NNK返回后页前页这就是说，除了这n个点外,其他点的函数值都,,,,)1(010inxxxxx可设中的某一个是若}.||{min},,,{)2(0110xxxxxknkn则令若时，当于是||0,0xx对以上两种情形都有.|0)(|xR这就证明了.0)(lim0xRxx；令则}||{min0,1xxkiknk小于.所以返回后页前页我们已经知道，狄利克雷函数在每点都无极限.能注有兴趣的同学可以证明：.0)(lim)(lim10xRxRxx复习思考题否构造一个函数，它仅在处有极限.nxxx,,,21返回后页前页在前面一节中引进的六种类型的函数§2函数极限的性质二、范例一、的基本性质为代表叙述性质.这里仅以质与证明，只要相应作一些修改即可.并证明这些性质，至于其它类型的性极限，它们都有类似于数列极限的一些返回返回后页前页定理3.2(惟一性)证不妨设以及Axfxx)(lim0.)(lim0Bxfxx由极限的定义，对于任意的正数,,1存在正数,||0,102时当xx(1),2|)(|Axf,||020时当xx)(lim0xfxx存在,则此极限惟一.若0lim()xxfxA的基本性质一、返回后页前页(2)式均成立，所以.|)(||)(|||BxfxfABA由的任意性，推得A=B.这就证明了极限是惟,||0,},min{021时当令xx(1)式与一的..2|)(|Bxf(2)返回后页前页定理3.3（局部有界性）证时，当存在取||0,0,10xx.1|)(|Axf.1|||)(|Axf由此得,)(lim0Axfxx若上在)()(0xUxf,)(0xU则存在有界.这就证明了在某个空心邻域上有界.),(0xU)(xf返回后页前页注：(1)试与数列极限的有界性定理（定理2.3）作一(2)有界函数不一定存在极限；这上并不是有界的在但.)2,0(1,11lim)3(1xxx说明定理中“局部”这两个字是关键性的.比较；返回后页前页定理3.4（局部保号性）若,)0(0)(lim0或Axfxx则对任何正数)(ArAr或使得存在,)(,0xU.)0)((0)(rxfrxf或.|)(|Axf.)(rAxf由此证得有对一切,)(0xUx有时，当存在||0,00xx证不妨设.对于任何取,rA0A(0,),rA返回后页前页定理3.5（保不等式性）)(lim)(lim00xgxfxxxx与设则内有且在某邻域都存在,)()()(,0xgxfxU).(lim)(lim00xg