3.1.1函数的概念(第1课时)

3.1.1函数的概念学习目标1、通过实际问题，在用变量间的依赖关系描述函数关系基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念。2、体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用。问题１某“复兴号”高速列车加速到３５０ｋｍ/ｈ后保持匀速运行半小时．这段时间内，列车行进的路程S（单位：ｋｍ）与运行时间t（单位：ｈ）的关系可以表示为S＝３５０t．这里，S和t是两个变量，而且对于t的每一个确定的值，S都有唯一确定的值与之对应，所以S是t的函数．思考1：你还能列出一个什么样的函数呢？思考2：有人说：“根据对应关系S＝３５０t，这趟列车加速到３５０ｋｍ/ｈ后，运行１ｈ就前进了３５０ｋｍ．”你认为这个说法正确吗？根据问题１的条件，我们不能判断列车以３５０ｋｍ/ｈ运行半小时后的情况，所以上述说法不正确．显然，其原因是没有关注到t的变化范围．下面用更精确的语言表示问题１中犛与t的对应关系．列车行进的路程犛与运行时间t的对应关系是S＝３５０t．①其中，t的变化范围是数集A１＝｛t｜０≤t≤０．５｝，S的变化范围是数集S１＝｛S｜０≤S≤１７５｝．对于数集A１中的任一时刻t，按照对应关系①，在数集S１中都有唯一确定的路程S和它对应．问题２某电气维修公司要求工人每周工作至少１天，至多不超过６天．如果公司确定的工资标准是每人每天３５０元，而且每周付一次工资，那么你认为该怎样确定一个工人每周的工资？一个工人的工资W（单位：元）是他工作天数d的函数吗？显然，工资W是一周工作天数t的函数，其对应关系是W＝３５０d．②其中，t的变化范围是数集A２＝｛１，２，３，４，５，６｝，W的变化范围是数集B２＝｛３５０，７００，１０５０，１４００，１７５０，２１００｝．对于数集A２中的任一个工作天数t，按照对应关系②，在数集B２中都有唯一确定的工资W与它对应．问题１和问题２中的函数有相同的对应关系，你认为它们是同一个函数吗？为什么？问题３图３．１-１是北京市２０１６年１１月２３日的空气质量指数（ＡｉｒＱｕａｌｉｔｙＩｎｄｅｘ，简称ＡＱＩ）变化图．思考1：你能根据图３．１-１找到中午１２时的ＡＱＩ的值Ｉ吗？思考2：如何根据该图确定这一天内任一时刻tｈ的空气质量指数（ＡＱＩ）的Ｉ值？思考3：你认为这里的Ｉ是t的函数吗？问题４国际上常用恩格尔系数r（r＝）反映一个地区人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高．表３．１-１是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况，从中可以看出，该省城镇居民的生活质量越来越高．总支出金额食物支出金额表３.１-１我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况你认为按表３．１-１给出的对应关系，恩格尔系数r是年份y的函数吗？年份y２００６２００７２００８２００９２０１０２０１１２０１２２０１３２０１４２０１５恩格尔系数r（％）３６．６９３６．８１３８．１７３５．６９３５．１５３３．５３３３．８７２９．８９２９．３５２８．５７上述问题的共同特征有：（１）都包含两个非空数集，用A，B来表示；（２）都有一个对应关系；（３）尽管对应关系的表示方法不同，但它们都有如下特性：对于数集A中的任意一个数x，按照对应关系，在数集B中都有唯一确定的数y和它对应．事实上，除解析式、图象、表格外，还有其他表示对应关系的方法．为了表示方便，我们引进符号f统一表示对应关系．函数符号y＝f（x）是由德国数学家莱布尼兹在１８世纪引入的．一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：x→y为从集合A到集合B的一个函数（ｆｕｎｃｔｉｏｎ），记作y＝f（x），x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（ｄｏｍａｉｎ）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合｛f（x）｜x∈A｝叫做函数的值域（ｒａｎｇｅ）．显然，值域是集合B的子集．在问题１与问题２中，值域就是B１和B２；在问题３中，值域是数集B３的真子集；在问题４中，值域C４＝｛０．３６６９，０．３６８１，０．３８１７，０．３５６９，０．３５１５，０．３３５３，０．３３８７，０．２９８９，０．２９３５，０．２８５７｝，是数集B４＝｛r｜０＜r≤１｝的真子集．思考：我们所熟悉的一次函数、二次函数、反比例函数的定义域、对应关系和值域各是什么？请用函数定义描述这些函数．例1试构建问题情境，使其中的变量关系可以用解析式y＝x（１０－x）来描述．课堂总结本节课学习哪些函数关系式？函数的一般定义是什么样的？达标训练完成P63课后练习1、2、3、4