正项级数判别-法

第二节一、正项级数及其审敛法正项级数的判别法第十二章如果级数1nnunuuu21满足条件：,),2,1(0nun称为正项级数。,011us212uus1u3213uuus21uu,1s2snnsssss13210一、正项级数及其审敛法数列极限存在准则：单调有界数列必有极限定理1.正项级数收敛部分和序列有界.部分和数列为单调增加数列.}{ns.211211211211121收敛证明级数例nnn证明:这是一个正项级数，其部分和为:nns2112112112故{sn}有界，所以原级数收敛.n21212121211n定理2(比较审敛法)设和都是正项级数，且),2,1(nvunn1nnv1nnu(1)级数收敛，则级数收敛；(2)级数发散，则级数发散.1nnv1nnu1nnu1nnvnnnnnuuussnu211,即：项和是的前证明：设nnnnnvvvnv211,即：项和是的前设(1,2,)nnnnuvsn即:大的收敛,小的一定收敛;小的发散,大的一定发散.（1）若1nnv则由定理1知,{},n有界因此}{ns所以级数1nnu（2）若则由定理1知,{},ns无界因此所以级数1nnu1nnv{}n收敛，也有界，收敛；发散，也无界，发散；(1,2,)nnnnuvsn推论：如果正项级数1nnu1nnv(0,)nnukvknN,则定理2中的结论仍和从某项N之后满足关系式:成立。例2.讨论p级数pppn131211(常数p0)的敛散性.解:1)若,1p因调和级数11nn所以p级数n1发散.发散,由比较审敛法可知：,1p因为当,11ppxn故nnppxnn1d11nnpxx1d1111)1(111ppnnp时,2)若考虑级数1121)1(1ppnnn的部分和n111)1(11ppnkkkn故级数收敛,由比较审敛法知p级数收敛.1)1(11pn11111)1(113121211pppppnn1nnppxnn1d11111)1(111ppnnpnnpxx1d1结论：p—级数当p1时收敛；当p1时发散。1p（2）时，ppppn14131211)15181()71615141()3121(1pppppppp)8181()41414141()2121(1pppppppp1118141211ppp几何级数，收敛。设收敛于S。S由定理1知，此时P-级数收敛。S1211pq公比，法二调和级数与p级数是两个常用的比较级数..是发散的证明级数如1)1(1nnn2(1)(1)nnn证明：11)1(1nnn113121111nnn而级数是发散的；比较审敛法的不便:须有参考级数.由比较判别法可知，所给级数也发散.解：,1时当n,03sinn,sinxxsin,33nn例3.判别级数13sin2nnn的收敛性。所以所以原级数为正项级数。,20时又当x取2sin3nnnu23nn2()3nnv而1nnv1)32(nn是收敛的几何级数，所以，1nnu13sin2nnn是收敛的。例4判定级数的敛散性。11nnn解11nnnnn14131211432nn1121nn212121211432即而级数收敛，1121nn故级数收敛。11nnnlimnnnuv0,收敛和有相同的敛散性。(0),ll收敛;,发散发散;注意：若lim0,nnnuv1nnv且发散，1nnu则不一定发散。定理3.(比较审敛法的极限形式)设两正项级数本质：比较两正项级数一般项作为无穷小量的阶0lim)1(nnnvu由,0对于,N,时当Nnnnvu)(Nnvunn即由比较审敛法,得证.证明lvunnnlim)2(由,02l对于,N,时当Nn22llvullnn)(232Nnvluvlnnn即由比较审敛法,得证.nnnvulim)3(由0limnnnuv则有假设收敛，1nnu由（2）知收敛，1nnv与发散矛盾。1nnv故发散。1nnu的敛散性.～1limsinnnn例5.判别级数11sinnn的敛散性.解:1sinlim1nnnsin1nn11根据比较审敛法的极限形式知.1sin1发散nn例6.判别级数1211lnnn解:limn221ln[1]lim1nnn1由比较审敛法的极限形式知.11ln12收敛nn)1ln(21n～21n2n211lnn,11sinnn11nn且发散，发散11sinnn正确吗？解：23lnnnun取例7：判别级数123lnnnn的收敛性。,145nvn又取收敛且nnnvulim4541lnnnn45411lnnnn11451nnnnv则41lnlimnnn41lnlimxxx414limxx0由比较判别法的极限形式知，1123lnnnnnnu收敛。limnnnuv0,收敛和有相同的敛散性。(0),ll收敛;,发散发散;(1)特别取,1pl0收敛nu则收敛，若limlim0nnnnnnuulv(2)取1,nnv则发散，若（或为+）发散1nnv11nn,1pnnv1nnv11pnn推论(极限审敛法)设为正项级数,(1)若，则级数发散;1nnu1nnu)lim(0limnnnnnulnu或1nnu)0(limllunnpn(2)如果p1，而，则级数收敛.例如.级数11(1cos),nnn1(1cos)nunn21~1()2nunn当n时，2212nn32limnnnu32221lim2nnnn2,2故所给级数收敛（1）使用比较审敛法（包括推论或极限形式），需选取一个适当的、收敛性为已知的级数作为比较对象。（2）常用的比较对象有：等比级数、P-级数和调和级数。（3）比较对象的选取有时比较困难。说明：定理4.比值审敛法(D’alembert判别法)设为正项级数,且,lim1nnnuu则(1)当1(2)当1证:(1),1时当11nnuu收敛,.收敛nu时,级数收敛;或时,级数发散.,ZN知存在,时当Nn由比较审敛法可知（3）当=1时，不能用此法判定级数的敛散性。,1时或,0,NuZN必存在,0limNnnuu因此所以级数发散.Nn当时nnuu11nuNu1lim1nnnuu说明:当时,级数可能收敛也可能发散.例如,p–级数nnnuu1limppnnn1)1(1lim1但,1p级数收敛;,1p级数发散.从而(2)当,232)1(2nnnnnvu例,2)1(211收敛级数nnnnnu,))1(2(2)1(211nnnnnauu但,61lim2nna,23lim12nna.limlim1不存在nnnnnauu条件是充分的,而非必要.注意:比较判别法与比值判别法常结合使用例8.判定级数21cos32nnnn解：因为2cos32nnnnunn2nv1limnnnvv112lim2nnnnn1lim2nnn121所以1nnv故211cos32nnnnnnu的收敛性收敛，收敛。比值审敛法的优点：无须寻找比较对象，直接利用级数自身的一般项，因此使用直观方便。例9.判定级数12)12(1nnn解：nnuu1)1(2)12(2)12(nnnn)11()12()12(nnnnnnuu1lim)11()12()12(limnnnn1122比值判别法失效，需改用其它方法来判别。的收敛性。1(21)2nunn例9.判定级数12)12(1nnn,122nnn由于212)12(1nnn有所以的收敛性。1,(21)2nunn解：121nn而级数由比较判别法知12)12(1nnn也是收敛的。是p=2的p级数，是收敛的，注意：当某个判别法失效时，不要盲目下结论，此时要改用其它方法进一步判别。limn例10.讨论级数的敛散性.解:nnnuu1limnxn)1(1nxnx根据定理4可知:,10时当x级数收敛;,1时当x级数发散;,1时当x1nnu(2)当1(或为)时，级数发散；(3)当=1时,不能用此法判定级数的收敛性。•同比值审敛法一样，根值审敛法也有使用直观方便的优点；•比值审敛法与根值审敛法均要求所用到的极限存在，且不等于1。定理5.根值审敛法(Cauchy判别法)设为正项级,limnnnu则数,且•根值审敛法适用于通项含有n次幂；例11.判定下列级数的收敛性。12)1(2)1(nnn解：因为,2)1(2nnnunnnulim2)1(2limnnn所以由根值判别法知，级数收敛nnn13)1(21133lim01nn由两边夹法则1)1(2limnnn2112)1(2nnn1)1(3)2(nnnnn解：因为,)1(3nnnnnunnnulim)1(3limnnnn所以根值判别法失效1nnulimnnnnn)1(3limnnn)11(1lim3e30所以所给级数发散。例11.判定下列级数的收敛性。比值判别法与根值判别法的比较：（1）适用对象若一般项nu中含有因子,!n则一般考虑用比值法，若一般项nu中含有因子,nn则一般考虑用根值法，（2）适用范围若用根值法失效，即,1limnnnu则用比值法也一定失效，即此时必有,1lim1nnnuu反之不成立。（3）一般来说，比值法运算简单，根值法适用范围大。例12：判定级数)0(!1annannn解：因为,0!nnnnnaunnnuu1lim11)1(!)1(limnnnnna且含有因子,!n!nannn1)1()1(limnnnnnnannnna)1(limnnna)11(1limea（1）当0ae，时，所给级数收敛；的收敛性。（2）当ae，时，所给级数发散；例12：判定级数)0(!1annannn解：因为,0!nnnnnau且含有因子,!nnnnuu1limnnna)11(1limea的收敛性。（3）当a=e，时，nnuu1nne)11(,1,1nnuu,0limnnu所以所给级数发散。))11((enn例13.证明0!limnnnn证明