3[1].4非周期信号的频谱

3.4非周期信号的频谱3.4非周期信号的频谱•3.4.1傅立叶变换•3.4.2常用非周期信号的傅立叶变换–门函数–冲激函数–直流信号–指数信号–阶跃函数–符号函数–冲激偶函数3.4.1傅立叶变换•周期信号有：221)(1TTtjnndtetfTFntjnneFtf1)(221)(TTtjnndtetfTF•当时：T谱线无限密集，幅度Fn趋于无穷小，周期信号趋于非周期信号。d11nTFjFnTlim)(令：dtetftj)(3.4.1傅立叶变换•又因为：12limlim)(nTnTFTFjFdFn211()lim2jntTnFje相当于单位频率占有的幅度，具有密度的意义，所以将其称为频谱密度函数，简称频谱函数，为连续谱。dejFtj)(21ntjnneFtf1)(djFFn2)(d11n3.4.1傅立叶变换•傅立叶变换对•正变换•逆变换dejFtftj)(21)(dtetfjFtj)()(一般来说，傅里叶变换存在的充分条件为f(t)应满足绝对可积，即要求dttf)(记为：)()(jFtf或：3.4.1傅立叶变换•傅立叶变换的存在)(jF存在的充分条件：dttfdttf)(|)(|dtetfdtetfjFtjtj|||)(||)(||)(|1||tje由知而dttfF|)(||)(|3.4.1傅立叶变换•频谱频谱函数F(jω)一般是复函数，可记为)()()(jejFjF幅度频谱)(jF)(je相位频谱，它们都是ω的连续函数f(t)为实函数时，根据频谱函数的定义式不难导出：dtetfjFtj)()(tdttfjdtttfsin)(cos)()()(jba3.4.1傅立叶变换•其中：两种表达形式：tdttfacos)()()()()()()(jbaejFjFjtdttfbsin)()(是ω的偶函数是ω的奇函数)()(|)(|22bajF)()()(abarctg是ω的偶函数是ω的奇函数)()()()(jFjF)()()()(bbjaja3.4.1傅立叶变换•关于连续谱的说明具有离散频谱的信号，其能量集中在一些谐波分量中。具有连续频谱的信号，其能量分布在所有的频率中，每一频率分量包含的能量则为无穷小量。3.4.1傅立叶变换•几个重要结论：当f(t)是实函数时：(1)若f(t)为t的偶函数，即f(t)=f(-t)，(2)若f(t)为t的奇函数，即f(-t)=-f(t)，则f(t)的频谱函数F(jω)为ω的实函数，且为ω的偶函数。则f(t)的频谱函数F(jω)为ω的虚函数，且为ω的奇函数。3.4.2常用非周期信号的傅立叶变换•门函数矩形脉冲一般称为门函数。其宽度为τ，高度为1，通常用符号gτ(t)来表示。)2(0)2(1)(tttg3.4.2常用非周期信号的傅立叶变换•门函数gτ(t)的傅里叶变换为：dtetgjFtj)()()2()(SajF2)2sin(dtetj2/2/jeejj22)2sin(2)2(Sa则：),3,2,1(2kk：0：k2)(jF0)(jF3.4.2常用非周期信号的傅立叶变换•门函数频带宽度：2~0)/(2srad)(1Hzf3.4.2常用非周期信号的傅立叶变换•周期和非周期矩形脉冲信号频谱的对比1.它们都具有抽样函数的形式。)(xSa2.)2(1nSaTAFn和)2()(SaAjFA.值较)(jF值多乘了T1这是由于两者的定义规定的。B.nF中的不连续变量1n在中变成了连续变量nF)(jF3.4.2常用非周期信号的傅立叶变换•周期和非周期矩形脉冲信号频谱的对比C.由非周期脉冲按一定的周期T重复后构成的周期信号)(jF和nF之间可以互求。3.非周期信号的频谱也具有收敛性。脉宽的定义方法与周期信号相同。3.4.2常用非周期信号的傅立叶变换•分析：2.周期信号的离散频谱可以通过对非周期信号的连续频谱等间隔取样求得。3.信号在时域有限，则在频域将无限延续。4.信号的频谱分量主要集中在零频到第一个过零点之间，即有效带宽。5.脉冲宽度越窄，有限带宽越宽，高频分量越多。即信号信息量大、传输速度快，传送信号所占用的频带越宽。1.非周期矩形脉冲信号的频谱是连续频谱，其形状与周期矩形脉冲信号离散频谱的包络线相似。3.4.2常用非周期信号的傅立叶变换•冲激函数由傅立叶变换的定义式有：1)()(dtetjFtj冲激信号的频谱是均匀谱取样性质1)(t10)(jFt)(t0也就是说，δ(t)中包含了所有的频率分量，而各频率分量的频谱密度都相等。显然，信号δ(t)实际上是无法实现的。3.4.2常用非周期信号的傅立叶变换•直流信号1可表示为：1)(tftdtejFtj1)()(t由傅立叶逆变换的定义式有：（直接积分无法进行）)(detj121t令：dtejt121)(dtetj1)(2冲激信号是偶函数：)(dtetj121)(2)(jF则：)(213.4.2常用非周期信号的傅立叶变换•直流信号1)(tf10t)(2203.4.2常用非周期信号的傅立叶变换•单边指数信号一dtetfjFtj)()(0)(atetf00tt)0(时域表达式：其傅立叶变换：0dteetjtj10)()(jetjarctan221je)(tet3.4.2常用非周期信号的傅立叶变换•单边指数信号一)(022221)(jF)arctan()(其振幅频谱为：相位频谱为：jjF1)(3.4.2常用非周期信号的傅立叶变换•单边指数信号二dtetfjFtj)()(0)(atetf00tt)0(时域表达式：其傅立叶变换：0dteetjtj10)(jetjarctan221je)(tet3.4.2常用非周期信号的傅立叶变换•单边指数信号二221)(jF)arctan()(其振幅频谱为：相位频谱为：jjF1)()(0223.4.2常用非周期信号的傅立叶变换•双边指数信号一atateetf)(00tt(a0)时域表达式：其傅立叶变换：te222dtetfjFtj)()(0dteetjt0dteetjtj1j13.4.2常用非周期信号的傅立叶变换•双边指数信号一222)(jF0)(其振幅频谱为：相位频谱为：222)(jFf(t)为偶函数，)(jF为的实函数，且为的偶函数。3.4.2常用非周期信号的傅立叶变换•利用双边指数信号求直流信号的傅立叶变换)(lim]1[0jFFT(a0)tetf)(te0lim10002202limd2202lim)()(12lim20d)arctan(2lim0)]2(2[22)(23.4.2常用非周期信号的傅立叶变换•双边指数信号二(a0)时域表达式：其傅立叶变换：)()(tetett222jdtetfjFtj)()(0dteetjt0dteetjtj1j1atateetf)(00tt3.4.2常用非周期信号的傅立叶变换•双边指数信号二222)(jjFf(t)为奇函数，)(jF为的纯虚函数，且为的奇函数。)(jb)0(2)0(2)(22|2|()Fj振幅频谱为：相位频谱为：3.4.2常用非周期信号的傅立叶变换•符号函数11)(tSgn00tt时域表达式：考察双边指数信号二(a0)atateetf)(00tt时：当0)()(tSgntf222)(jjF2j)0()0(03.4.2常用非周期信号的傅立叶变换•符号函数02)(jtSgn)0()0()(jb2)(jF)0(2)0(2)(振幅频谱为：相位频谱为：3.4.2常用非周期信号的傅立叶变换•阶跃函数)(2121)(tSgnt)()(jF时域表达式：其傅立叶变换：01)(t00ttj13.4.2常用非周期信号的傅立叶变换•阶跃函数jt1)()()()(jba)()(a1)(b3.4.2常用非周期信号的傅立叶变换•冲激偶函数dettj21)()(tjt)(nnnjtdtd)()(1)(tdejtj)(21dejFtftj)(21)(小结•傅立叶变换的特点•幅频特性的偶函数对称性•相频特性的奇函数对称性•负频率的理解，与傅立叶级数的指数形式展开的对比•问题：•1）如果时间信号为非奇非偶函数，请问其傅立叶变换幅度谱是否为偶对称？•2）如何理解门函数相位谱中的+л，-л？常用傅里叶变换对常用傅里叶变换对