【公开课课件】1.1.2余弦定理(第2课时)

1.1.2余弦定理•第2课时余弦定理的应用余弦定理复习情境导入BCA【分析】化为数学问题已知三角形的两边及它们的夹角，求第三边。在△ABC中，已知AB=8，AC=3，∠BAC=60。求：BC222cosBCABACABACA解：7BC隧道工程设计，经常需要测算山脚的长度，工程技术人员先在地面上选一适当位置A，量出A到山脚B、C的距离分别为8km和3km，再利用经纬仪（测角仪）测出A对山脚BC的张角为60°，试求出山脚的长度BC。问题1已知两边和夹角解三角形的类型，可通过什么先求出第三边？在第三边求出后其余边角的求解你选用的哪个定理？通过做例1和你的小组讨论一下各有什么利弊？[例1]在△ABC，已知a＝22，b＝23，C＝15°，解此三角形．题型一：已知三角形的两边及其夹角例题解析法一：由余弦定理的推论得cosA＝b2＋c2－a22bc＝232＋6－22－2222×23×6－2＝22.∵0°＜A＜180°，∴A＝45°，从而B＝120°.[例1]在△ABC，已知a＝22，b＝23，C＝15°，解此三角形．解：c2＝a2＋b2－2abcosC＝(22)2＋(23)2－2×22×23×cos(45°－30°)＝8－43＝(6－2)2∴c＝6－2.例题解析解：c2＝a2＋b2－2abcosC＝(22)2＋(23)2－2×22×23×cos(45°－30°)＝8－43＝(6－2)2∴c＝6－2.法二：由正弦定理得sinA＝asinCc＝22sin1562=22.∵a＜b，∴A＜B，又∵0°＜A＜180°，∴A必为锐角，∴A＝45°，从而得B＝120°.[例1]在△ABC，已知a＝22，b＝23，C＝15°，解此三角形．[类题通法]已知三角形的两边及其夹角解三角形的方法先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路：一是利用余弦定理的推论求出其余角；二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解．若用正弦定理求解，需对角进行取舍，而用余弦定理就不存在这些问题(在(0，π)上，余弦值所对角的值是唯一的)．题型一：已知三角形的两边及其夹角问题2已知三边解三角形的类型，如何求角？通过做例2和你的同学交流一下方法。[例2]在△ABC中，若a∶b∶c＝1∶3∶2，求A，B，C.题型二：已知三角形的三边解三角形题型二：已知三角形的三边解三角形[例2]在△ABC中，若a∶b∶c＝1∶3∶2，求A，B，C.[解]由于a∶b∶c＝1∶3∶2，可设a＝x，b＝3x，c＝2x.由余弦定理的推论，得cosA＝b2＋c2－a22bc＝3x2＋4x2－x22×3x×2x＝32，故A＝30°.同理可求得cosB＝12，cosC＝0，所以B＝60°，C＝90°.题型三：已知三角形的两边及一边对角问题3已知两边及一边对角解三角形的类型，如何求第三边？通过做例3和你的同学交流一下方法，并讨论各有什么利弊？[例3]在△ABC中，已知b＝3，c＝33，B＝30°，求边a.[解]法一：由正弦定理得sinC＝csinBb＝33×123＝32，由b＜c，∴B＜C，∴C＝60°或120°.(1)当C＝60°时，A＝90°，△ABC为直角三角形．由勾股定理得a＝b2＋c2＝32＋332＝6，(2)当C＝120°时，A＝30°，∴a＝b=3.[例3]在△ABC中，已知b＝3，c＝33，B＝30°，求边a.例题解析例题解析[解]法二：由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得32＝a2＋(33)2－2a×33×cos30°，∴a2－9a＋18＝0，得a＝3或6.[变式训练]已知：在△ABC中，cosA＝35，a＝4，b＝3，则c＝________.5[例3]在△ABC中，已知b＝3，c＝33，B＝30°，求边a.例题解析解析：A为b，c的夹角，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，∴16＝9＋c2－6×35c，整理得5c2－18c－35＝0.解得c＝5或c＝－75(舍)．答案：5[例4]在△ABC中，bcosA＝acosB，试确定此三角形的形状．解：法1：由b·cosA＝a·cosB以及余弦定理得b·b2＋c2－a22bc＝a·a2＋c2－b22ac，得b2＋c2－a2＝a2＋c2－b2，∴a2＝b2∴a＝b∴△ABC为等腰三角形．题型四：判断三角形形状[例4]在△ABC中，bcosA＝acosB，试确定此三角形的形状．题型四：判断三角形形状解：法2：由b·cosA＝a·cosB以及正弦定理得2R·sinB·cosA＝2R·sinA·cosB，∴sinB·cosA-sinA·cosB＝0，即sin（B-A）=0又∵A、B∈(0，π)，∴B-A∈(-π,π)，故有B-A＝0，即A＝B.∴△ABC为等腰三角形．练习巩固[变式训练]1．在△ABC中，若cosA＝sinBsinC，则三角形为（）．A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形2.在△ABC中，若b2sin2C+c2sin2B=2bc·cosBcosC，试判断三角形的形状。A练习巩固解：法一由正弦定理，将原式化为4R2sin2Bsin2C+4R2sin2Csin2B=8R2sinBsinCcosBcosC，所以8R2sin2Bsin2C=8R2sinBsinCcosBcosC，2.在△ABC中，若b2sin2C+c2sin2B=2bc·cosBcosC，试判断三角形的形状。因为sinBsinC≠0，所以sinBsinC=cosBcosC，即cos(B+C)=0，从而∠B+∠C=90°，∠A=90°，故△ABC为直角三角形。练习巩固解：法二已知等式变形为b2(1－cos2C)+c2(1－cos2B)=2bccosBcosC，由余弦定理得2.在△ABC中，若b2sin2C+c2sin2B=2bc·cosBcosC，试判断三角形的形状。222222222222()()22abcacbbcbcabac222222222acbabcbcacab即得，2222222222[()()]4abcacbbca得b2+c2=a2，故△ABC是直角三角形。说说这节课你学到了什么？1．已知两边及夹角解三角形：用余弦定理求解出第三边，再用正弦定理或余弦定理求解另外两角；2.已知两边及其一边的对角，可用正弦定理求解，也可用余弦定理求解，但都要注意对解的情况进行讨论．利用余弦定理求解相对简捷；3．判断三角形形状：用正弦定理或余弦定理实现边角互化。课后作业1、导学案2、优化设计题型四：判断三角形形状222sinA=,sinB=cos2R2R2ababcCab由正弦定理和余弦解，，：定理得22222abcabab22bc整理，得0,0bcbcABC为等腰三角形