创新设计江苏专用2018版高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I2.5指数与指数函数课件理

第5讲指数与指数函数考试要求1.有理指数幂的含义及运算，B级要求；2.实数指数幂的意义，指数函数模型的实际背景，A级要求；3.指数函数的概念、图象与性质，B级要求．知识梳理1．根式(1)概念：式子na叫作，其中n叫作根指数，a叫作被开方数．(2)性质：(na)n＝a(a使na有意义)；当n为奇数时，nan＝a，当n为偶数时，nan＝|a|＝a，a≥0，－a，a0.根式2．分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是＝nam(a0，m，n∈N＋，且n1)；正数的负分数指数幂的意义是＝1nam(a0，m，n∈N＋，且n1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂．(2)有理指数幂的运算性质：aras＝；(ar)s＝；(ab)r＝，其中a0，b0，r，s∈Q.没有意义ar＋sarsarbr3．指数函数及其性质(1)概念：函数y＝ax(a0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是变量，函数的定义域是R，a是底数．(2)指数函数的图象与性质a10a1图像定义域R值域(0，＋∞)性质过定点，即x＝0时，y＝1当x0时，；当x0时，当x0时，；当x0时，在(－∞，＋∞)上是在(－∞，＋∞)上是(0,1)y10y1y10y1增函数减函数诊断自测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)4－44＝－4.()(2)(－1)＝(－1)＝－1.()(3)函数y＝2x－1是指数函数．()(4)函数y＝ax2＋1(a1)的值域是(0，＋∞)．()解析(1)由于4－44＝444＝4，故(1)错．(2)(－1)＝4－12＝1，故(2)错．(3)由于指数函数解析式为y＝ax(a＞0，且a≠1)，故y＝2x－1不是指数函数，故(3)错．(4)由于x2＋1≥1，又a＞1，∴ax2＋1≥a.故y＝ax2＋1(a＞1)的值域是[a，＋∞)，故(4)错．答案(1)×(2)×(3)×(4)×2．(必修1P61例2改编)化简[(－2)6]－(－1)0的结果为________．解析原式＝(26)－1＝8－1＝7.答案73．已知函数f(x)＝ax(0a1)，对于下列命题：①若x0，则0f(x)1；②若x0，则f(x)1；③若f(x1)f(x2)，则x1x2.其中正确命题的个数为________．解析结合指数函数图象可知①②③正确．答案34．(2015·江苏卷)不等式2x2－x＜4的解集为________．解析∵2x2－x＜4＝22，∴x2－x＜2，即x2－x－2＜0，解得－1x2.∴原不等式的解集为(－1,2)．答案(－1,2)5．指数函数y＝(2－a)x在定义域内是减函数，则a的取值范围是________．解析由题意知02－a1，解得1a2.答案(1,2)考点一指数幂的运算【例1】化简：(1)(a0，b0)；(2)＋－10(5－2)－1＋(2－3)0.解(1)原式＝＝ab－1.(2)原式＝－105－2＋1＝－10(5＋2)＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679.规律方法(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序．(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．【训练1】化简求值：(1)2350＋2－2·214－(0.01)0.5；解(1)原式＝1＋14×49－1100＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1615.(2)原式＝考点二指数函数的图象及应用【例2】(1)函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是________(填序号)．(2)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．解析(1)f(x)＝1－e|x|是偶函数，图象关于y轴对称，又e|x|≥1，∴f(x)的值域为(－∞，0]，因此排除②，③，④，只有①满足．(2)曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示，由图象可知：如果|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1,1]．答案(1)①(2)[－1,1]规律方法(1)画(判断)指数函数y＝ax(a0，a≠1)的图象，三个关键点：(1，a)，(0,1)，－1，1a.(2)①对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．②有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．【训练2】(1)(2017·福建五校联考改编)定义运算a⊕b＝a，a≤b，b，ab，则函数f(x)＝1⊕2x的图象如图：其中正确的是________(填序号)．(2)方程2x＝2－x的解的个数是________．解析(1)因为当x≤0时，2x≤1；当x0时，2x1.则f(x)＝1⊕2x＝2x，x≤0，1，x0，图象①满足．(2)方程的解可看作函数y＝2x和y＝2－x的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数图象(如图)．由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解．答案(1)①(2)1考点三指数函数的性质及应用(易错警示)【例3】(1)下列各式：①1.72.51.73；②0.6－10.62；③0.8－0.11.250.2；④1.70.30.93.1.其中比较大小正确的是________(填序号)．(2)已知函数f(x)＝13ax2－4x＋3.①若a＝－1，求f(x)的单调区间；②若f(x)有最大值3，求a的值；③若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值．(1)解析①中，∵函数y＝1.7x在R上是增函数，2.53，∴1.72.51.73，错误；②中，∵y＝0.6x在R上是减函数，－12，∴0.6－10.62，正确；③中，∵(0.8)－1＝1.25，∴问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小．∵y＝1.25x在R上是增函数，0.10.2，∴1.250.11.250.2，即0.8－0.11.250.2，错误；④中，∵1.70.31,00.93.11，∴1.70.30.93.1，错误．答案②(2)解①当a＝－1时，f(x)＝13－x2－4x＋3，令u＝－x2－4x＋3＝－(x＋2)2＋7.在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y＝13u在R上单调递减，所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x)的递增区间是(－2，＋∞)，递减区间是(－∞，－2)．②令h(x)＝ax2－4x＋3，y＝13h(x)，由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1，因此必有a0，12a－164a＝－1，解得a＝1，即当f(x)有最大值3时，a的值等于1.③由f(x)的值域是(0，＋∞)知，ax2－4x＋3的值域为R，则必有a＝0.规律方法(1)比较指数式的大小的方法是：①能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；②不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小．(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．易错警示在研究指数型函数的单调性时，当底数a与“1”的大小关系不确定时，要分类讨论．【训练3】(1)(2015·天津卷改编)已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m为实数)为偶函数，记a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为________．(2)设函数f(x)＝则使得f(x)≤3成立的x的取值范围是________．解析(1)由函数f(x)＝2|x－m|－1为偶函数，得m＝0，所以f(x)＝2|x|－1，当x0时，f(x)为增函数，log0.53＝－log23，所以log25|－log23|0，所以b＝f(log25)a＝f(log0.53)c＝f(2m)＝f(0)，即b＞a＞c.(2)当x≥8时，f(x)＝≤3，∴x≤27，即8≤x≤27；当x8时，f(x)＝2ex－8≤3恒成立，故x8.综上，x∈(－∞，27]．答案(1)cab(2)(－∞，27][思想方法]1．根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算．2．判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值再进行比较．3．指数函数的单调性取决于底数a的大小，当底数a与1的大小关系不确定时应分0a1和a1两种情况分类讨论．[易错防范]1．对与复合函数有关的问题，要弄清楚复合函数由哪些基本初等函数复合而成，并且一定要注意函数的定义域．2．对可化为a2x＋b·ax＋c＝0或a2x＋b·ax＋c≥0(≤0)形式的方程或不等式，常借助换元法解题，但应注意换元后“新元”的范围.