离散型随机变量及其分布列,高考历年真题

温馨提示：高考题库为Word版，请按住Ctrl，滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，点击右上角的关闭按钮可返回目录。【考点34】离散型随机变量及其分布列2009年考题1、（2009广东高考）已知离散型随机变量X的分布列如右表．若0EX，1DX，则a，b．【解析】由题知1211cba，061ca，1121211222ca，解得125a，41b.答案：125a，41b.2、（2009上海高考）某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望E_____（结果用最简分数表示）.【解析】可取0，1，2，因此P（＝0）＝21102725CC，P（＝1）＝2110271215CCC，P（＝2）＝2112722CC，E＝0×2112211012110＝47.答案：473、（2009山东高考）在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次，某同学在A处的命中率q1为0.25，在B处的命中率为q2，该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为02345w.w.p0.03P1P2P3P4（1）求q2的值；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（2）求随机变量的数学期望E;（3）试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小。X-1012Pabc112【解析】（1）设该同学在A处投中为事件A,在B处投中为事件B,则事件A,B相互独立,且P(A)=0.25,()0.75PA,P(B)=q2,2()1PBq.根据分布列知:=0时22()()()()0.75(1)PABBPAPBPBq=0.03,所以210.2q，q2=0.8.（2）当=2时,P1=)()()(BBAPBBAPBBABBAPw.w.w.k.s.5.u.c.o.m)()()()()()(BPBPAPBPBPAP=0.75q2(21q)×2=1.5q2(21q)=0.24当=3时,P2=22()()()()0.25(1)PABBPAPBPBq=0.01,当=4时,P3=22()()()()0.75PABBPAPBPBq=0.48,当=5时,P4=()()()PABBABPABBPAB222()()()()()0.25(1)0.25PAPBPBPAPBqqq=0.24所以随机变量的分布列为02345p0.030.240.010.480.24随机变量的数学期望00.0320.2430.0140.4850.243.63E（3）该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率为()PBBBBBBBB()()()PBBBPBBBPBB222222(1)0.896qqq;该同学选择（1）中方式投篮得分超过3分的概率为0.48+0.24=0.72.由此看来该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率大.4、（2009天津高考）在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品。从这10件产品中任取3件，求：（I）取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（II）取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m【解析】（Ⅰ）由于从10件产品中任取3件的结果为310C，从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的结果数为CCkk373，那么从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的概率为P(X=k)=CCCkk310373,k=0,1,2,3.所以随机变量X的分布列是X0123P24740214071120X的数学期望EX=109120134072402112470（Ⅱ）设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A1“恰好取出2件一等品“为事件A2，”恰好取出3件一等品”为事件A3由于事件A1，A2，A3彼此互斥，且A=A1∪A2∪A3而,403)(31023131CCCAPP(A2)=P(X=2)=407,P(A3)=P(X=3)=1201,所以取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=403+407+1201=120315、（2009浙江高考）在1,2,3,,9这9个自然数中，任取3个数．（I）求这3个数中恰有1个是偶数的概率；（II）设为这3个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为1,2,3，则有两组相邻的数1,2和2,3，此时的值是2）．求随机变量的分布列及其数学期望E．【解析】（I）记“这3个数恰有一个是偶数”为事件A，则12453910()21CCPAC；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（II）随机变量的取值为0,1,2,的分布列为012P51212112所以的数学期望为5112012122123Ew.w.w.k.s.5.u.c.o.m6、（2009辽宁高考）某人向一目射击4次，每次击中目标的概率为13。该目标分为3个不同的部分，第一、二、三部分面积之比为1：3：6。击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比。（Ⅰ）设X表示目标被击中的次数，求X的分布列；（Ⅱ）若目标被击中2次，A表示事件“第一部分至少被击中1次或第二部分被击中2次”，求P（A）【解析】（Ⅰ）依题意X的分列为X………………6分（Ⅱ）设A1表示事件“第一次击中目标时，击中第i部分”，i=1，2.B1表示事件“第二次击中目标时，击中第i部分”，i=1，2.依题意知P（A1）=P(B1)=0.1，P（A2）=P(B2)=0.3，11111122AABABABAB,所求的概率为11111122()()()()PAPABPABPABPAB（）11111122()()())()()()PABPAPBPAPBPAPB（0.10.90.90.10.10.10.30.30.28………12分7、（2009福建高考）从集合1,2,3,4,5的所有非空子集．．．．中，等可能地取出一个。（1）记性质r：集合中的所有元素之和为10，求所取出的非空子集满足性质r的概率；（2）记所取出的非空子集的元素个数为，求的分布列和数学期望E【解析】（1）记”所取出的非空子集满足性质r”为事件A基本事件总数n=123555CCC4555CC=31事件A包含的基本事件是{1,4,5}、{2，3，5}、{1，2，3，4}事件A包含的基本事件数m=3所以3()31mpAn（II）依题意，的所有可能取值为1，2，3，4，5又155(1)3131Cp，2510(2)3131Cp，3510(3)3131Cp455(4)3131Cp，551(5)3131Cp故的分布列为：12345P53110311031531131从而E1531+21031+31031+4531[phone]8、（2009安徽高考）某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A到过疫区.B肯定是受A感染的.对于C，因为难以断定他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是12.同样也假定D受A、B和C感染的概率都是13.在这种假定之下，B、C、D中直接．．受A感染的人数X就是一个随机变量.写出X的分布列(不要求写出计算过程),并求X的均值（即数学期望）.【解析】随机变量X的分布列是X123P131216X的均值为111111233266EX附：X的分布列的一种求法共有如下6种不同的可能情形，每种情形发生的概率都是16：①②③④⑤⑥A—B—C—DA—B—C└DA—B—C└DA—B—D└CA—C—D└B在情形①和②之下，A直接感染了一个人；在情形③、④、⑤之下，A直接感染了两个人；在情形⑥之下，A直接感染了三个人。9、（2009全国Ⅰ）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立，已知前2局中，甲、乙各胜1局。（I）求甲获得这次比赛胜利的概率；（II）设表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求得分布列及数学期望。【解析】（1）记iA表示事件：第i局甲获胜，3,4,5i；jB表示事件：第j局乙获胜，3,4jB表示事件：甲获胜，因前两局中，甲、乙各胜一局，故甲获得这次比赛胜利当且仅当在后面的比赛中，甲获胜2局，从而34345345BAABAAABA，由于各局比赛结果相互独立，故34345345()()()()PBPAAPBAAPABA34345345()()()()()()()()PAPAPBPAPAPAPBPA0.60.60.40.60.60.60.40.60.648（2）的取值可以为2，3，由于各局比赛结果相互独立，故343434343434(2)()()()()()()()PPAABBPAAPBBPAPAPBPB0.60.60.40.40.52(3)1(2)10.520.48PP所以随机变量的分布列为23P0.520.48随机变量的数学期望2(2)3(3)20.5230.482.48EPP10、（2009北京高考）某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，遇到红灯时停留的时间都是2min.（Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（Ⅱ）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望.【解析】（Ⅰ）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A，因为事件A等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A的概率为11141133327PA.（Ⅱ）由题意，可得可能取的值为0，2，4，6，8（单位：min）.事件“2k”等价于事件“该学生在路上遇到k次红灯”（k0，1，2，3，4），∴441220,1,2,3,433kkkPkCk，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m∴即的分布列是02468P16813281827881181∴的期望是163288810246881812781813E.11、（2009湖北高考）一个盒子里装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数2，3，4，5；另一个盒子也装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数3，4，5，6。现从一个盒子中任取一张卡片，其上面的数记为x；再从另一盒子里任取一张卡片，其上面的数记为y，记随机变量＝x＋y，求的分布列和数学期望。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m【解析】依题意，可分别取5、6、11取，则有1123(5),(6),(7)441616164321(8),(9),(10),(11)16161616ppppppp的分布列为567891011p1162163164163162161161234321567891011816161616161616E.12、（2009湖南高考）为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的.12