矩阵光学

矩阵光学魏光辉第一章矩阵及其运算1.1矩阵、矢量和张量矩阵的概念：111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa对角矩阵：ijiiijaa（对角矩阵即为除了对角线的元素外，其它元素阶为零）单位矩阵：ijija标量、矢量和张量：三维空间的m阶张量可以有3m个独立分量，n维空间的m阶张量可以有mn个独立分量。矢量可以视为一阶张量，标量可以视为零阶张量。电场是一个矢量。一个矢量可以用行阵或列阵来表示；一个二阶张量可以用方阵表示；m阶张量可以用n行1mn列矩阵表示。1.2矩阵的加法和乘法矩阵加法：CAB矩阵乘法：A为mp矩阵，B为pn矩阵，C为CAB，C为mn矩阵。其中1,1,2,;1,2,pirikkrkcabimrn。若1anp，则B可以描述P维空间中的n阶张量，若mp，则C为1app矩阵，由此可见，一个张量矩阵可以被列数与其行数相同的方阵左乘，得到另一个具有相同行列数的矩阵。因此，一个用单列矩阵表示的矢量，被列数与其行数相同的方阵左乘，仍得相同行数的矢量。矩阵的减法：1ABAB；由多项式为元素的矩阵可以进行分解，例：42232432132410001100130010200140xxxAxxxxxxx矩阵连乘：A为mp矩阵，B为pq矩阵，C为qn矩阵，则RABC，有11qpijikkhhjhkrabc。（注意：如果矩阵A和B中至少有一个是零矩阵，则它们的乘积C=AB必为零矩阵；但如果C=AB为零矩阵，则A和B不一定为零矩阵。）矩阵乘法性质：1、矩阵乘法满足结合律；2、矩阵乘法不满足交换律；满足交换律的特例：（1）一个常数与矩阵相乘；（2）单位矩阵与任一同阶方阵对易；（3）任意方阵与其自身对易，并与其自身的任意次幂对易；（4）阶数相同的对角矩阵可以对易；3、满足乘法对加法的分配律：A(B+C)=AB+AC4、设A、B是行列数相同的两个矩阵，且K和L是两个常数，则有：K(A+B)=KA+KB;(K+L)A=KA+LA;K(LA)=(KL)A;K(AB)=(KA)B=A(KB).1.3变换的矩阵表示正交变换：认为长度不变的变换即为正交变换。在三维空间中，直角坐标系有一个转动，则有31,1,2,3iijjjxaxi，其长度为31tijxx保持不变，即3311titijjxxxx，所以为正交变换。展开可写为：111121312212223233132333xaaaxxaaaxxaaax，其中111213212223313233aaaAaaaaaa称为正交矩阵。进行两次变换后可写为：222211111112131112131222211122122232122232222211133313233313233xaaaaaaxxaaaaaaxxxaaaaaa进行n次变换后，则有：111212233nnnnnxxxAAAAxxx变换举例：研究ABCD矩阵的n次方，nnnnnTTTTABABCDCD其中221221121211111dAfdBdfdCfffdddDfff1sinsin1sin1sinsin1sinsin1sinsin1sinnnnnTTTTAAnnBBnCCnDDnn其中21112121coscos122dddADffff，这是激光器谐振腔的ABCD方程。对标量、矢量和张量的概念作进一步讨论：（1）标量：在正交变换下，数值不变的量。例如，矢量的长度。（2）矢量：矢量的长度再坐标轴的正交变换下保持不变。如，在一直角坐标系的旋转用123Oxxx表示，其中ijijee，这里省略了矢量符号，变换后为123Oxxx，且ijijee，其中某一矢量B可以表示为3311jjkkjkBBeBe，jB和kB分别为矢量B在旧、新坐标下的分量。用ie点乘方程两侧，则有31ijjjjBeeB。由此可见，正交矩阵的各个分量可以写为：ijjjaee，则BAB。（注：微分算符的变换规则与矢量相同，即31ijjijaxx）（3）张量：定义矢量的一种运算方法，并矢。设U和V为两个矢量，则，1122331122331111121213132121222223233131323233333,1ijijijUVUeUeUeVeVeVeUVeeUVeeUVeeUVeeUVeeUVeeUVeeUVeeUVeeUVee则TUV即为一个二阶张量，3,1ijijijTTee，其中111213212223313233ijTTTTTTTTTT，张量之间再进行并矢可以得到更高阶的张量。为了确定张量的正交变换规则，首先定义两条基本运算法则：（1）张量与矢量点乘：ijkijkeeeeee，则有33,,1,,1ijkijkijjiijkijkTUTUeeeTUe，类似地33,,1,,1ijkkijijijijkijkUTTUeeeTUe，但二者并不相等，即张量与矢量点乘不具有交换律。（2）两个二阶张量的点乘：31212,,,1312,,,1312,,,1312,,,1ijklijklijklijkljkilijklijkljkilijklijjiijklTTTTeeeeTTeeeeTTTT这是一个标量，可以证明1221TTTT，满足交换律。由此可导出张量的正交变换的规则，设新、旧坐标系为123Oxxx和123Oxxx，张量可以表示为33,1,1sisiklklsiklTTeeTee，用jiee点乘方程的后部，则有333,1,1,1klkiljsisiijsisiijijklststTeeeeTeeeeTT，设,kiikljjleeaeea，则有3,1ijikjlklklTaaT，此即为二阶张量在坐标轴进行正交变换时所遵循的变换规律。扩展到高阶张量为，3,,,1ijkirjsktrstrstTaaaT对称张量：,,1,2,3ijjiTTij111213111213212223122223313233132333TTTTTTTTTTTTTTTTTT反对称张量：,,1,2,3ijjiTTij由定义可看出反对称张量对角元为0，即121312231323000TTTTTT可以用一个对称张量T(S)和一个反对称张量T(A)之和组合成一个二阶张量。证明：令，,,,ijSSijAAijTTTTTT并设SATTT，由矩阵加碱法，则有，SAijijijSAjijijiTTTTTT根据矩阵对称性质，可知,SSAAijjiijjiTTTT，则有，SAjiijijTTT两式联立可有，1212SijijjiAijijjiTTTTTT1.4转置矩阵转置矩阵：Tijjiaa特例：行阵的转置为列阵，列阵的转置为行阵；两个矩阵的转置等于它们各自转置并反转乘积的次序，即TTTABBA，推广到n个矩阵相乘的情况，则有1221TTTTnnAAAAAA。对称方阵：若方阵A的转置等于它自身，即TAA。对称方阵性质：（1）其转置仍为对称方阵；（2）数乘对称方阵仍为对称方阵；（3）两对称方阵的和仍为对称方阵；（4）两对称方阵的乘积仍为对称方阵的条件为这两个方阵满足乘法规律，并适合乘法交换律，即TTTABBABAAB；（5）单位方阵与任意同阶对称方阵乘积仍为对称方阵；（6）对称方阵的n次幂仍为对称方阵；（7）两个同阶对角方阵的乘积仍是对角方阵，且是对称方阵，n个同阶对称方阵的乘积仍为对角方阵，其对角元等于各因子相应对角元之积。正交方阵：若方阵A和它的转置为单位矩阵，即TTAAAAE，则称A为正交方阵。单行矩阵为正交的条件是它左乘其转置列阵得到数1，即1TAA（总后面分析可见，正交方阵满足：1TAA）。1.5逆矩阵行列式：方阵A的行列式可表示为111212122212detnnnnnnaaaaaaAaaa二阶行列式展开：1112112212212122aaaaaaaa三阶行列式展开：111213212223112233122331322113132231122133113223313233aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa行列式不为零的矩阵称为“非奇异矩阵”；两个方阵乘积的行列式，等于它们各自行列式的乘积：detdetdetABAB；n个方阵乘积的行列式，等于它们各自行列式的乘积：12123detdetdetdetdetnnAAAAAAA；（注意：相乘矩阵的行列式满足乘法交换律，即detdetABBA）逆矩阵：11AAAAE，称A和1A互为逆矩阵，并且逆矩阵是唯一的。（注：非奇异矩阵才有逆矩阵，这里为了避开矩阵的“伴随阵”和行列式的“代数余子式”等概念，不详细介绍逆矩阵的求法，高阶逆矩阵可以用Matlab的函数求得。）两个方阵乘积的逆矩阵，等于两个方阵之逆按相反次序的乘积：111ABBA（注，若1AB存在，则1A与1B都必然存在；若1A与1B存在，则1AB必然存在，这与1.2节中所述的两矩阵相乘为零的问题有所不同。）1.6厄米矩阵和酉矩阵共轭矩阵：ijAa，**ijAa，则称*A和A互为共轭矩阵共轭矩阵的性质：（1）加法规测：***ABAB；（2）乘法规则：***ABAB，特例：若B为一个常复数，则有***bAbA；共轭转置矩阵：方阵A的共轭转置矩阵记为A共轭转置矩阵的性质：（1）加法规则：ABAB；（2）乘法规则：ABBA；厄米矩阵：如果方阵A的共轭转置矩阵是它自身，则称A为厄米矩阵，即AA，由定义可见其方阵的对角元必为实数*iiiiaa；酉矩阵：如果方阵A的共轭转置矩阵是原矩阵的逆矩阵，则称A为酉矩阵，即1AA；厄米矩阵的典型例子，泡利矩阵：01010,,10001xyzii么正矩阵：么正矩阵S满足如下关系，1SS；么正变换：由么正矩阵S实现的变换为么正变换，即1FSFSSFS；矩阵的迹：方阵的对角元素之和称为方阵的迹，即iiitrAa；注意，在求迹符号下，对只有两个矩阵相乘的顺序可以轮换，因此trABtrBA；由此可以得出一个重要结论，么正变换不改变矩阵的迹。证明：11trFtrSFStrSSFtrF，证毕。若么正矩阵