沪科版七年级数学下册_8.4_因式分解--提公因式法

小学学过整数的因数分解6=3×230=2×3×5分解质因数就是为了进行分数的运算类似，在整式中也可以把一个多项式化成几个因式乘积的形式，例如a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2a2-b2=(a+b)(a-b)na+nb+nc=n(a+b+c)回忆运用前面所学的知识填空：把下列多项式写成乘积的形式都是多项式化为几个整式的积的形式(1)ma+mb+mc=()()(2)x2-1=()()(3)a2+2ab+b2=()2(1)m(a+b+c)=(2)(x+1)(x-1)=(3)(a+b)2=ma+mb+mcx2-1a2+2ab+b2ma+b+cx+1x-1a+b探究观察“回忆”与“探究”，你能发现它们之间的联系与区别吗？把一个多项式化为几个整式的乘积的形式,像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.定义X2-1(x+1)(x-1)因式分解整式乘法X2-1=(x+1)(x-1)等式的特征：左边是多项式，右边是几个整式的乘积否否是A层练习下列代数式的变形当中哪些是因式分解，哪些不是？(4′×3=12′)(1)3a2+6a=3a(a+2)(2)(2y+1)(2y-1)=4y2-1(3)18a3bc=3a2b·6acsure?sure?sure?基本概念初步应用巩固新知144)12(22xxx在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有（）①cbamcbmam)(②xyxyx83242③)1)(1(12xxx④⑤)11(22xxxx⑥2)32(264zyxzyx③⑥1.提公因式法它的各项都有一个公共的因式m,我们把因式m叫做这个多项式的ma+mb+mc公因式提公因式法mambmcmambmcm由m(a+b+c)=ma+mb+mc可得:ma+mb+mc=m(a+b+c)这样就把ma+mb+mc分解成两个因式乘积的形式,其中一个因式是各项的公因式m,另一个因式(a+b+c)是ma+mb+mc除以m所得的商,像这种分解因式的方法叫做.多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的公因式.mcmbma相同因式m这个多项式有什么特点？例1:找3x2–6xy的公因式.系数：最大公约数.3字母：相同的字母x所以，公因式是.指数：相同字母的最低次幂1x31正确找出多项式各项公因式的关键是：你知道吗？1、定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数.2、定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母.3、定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂.找一找:下列各多项式的公因式是什么？（3）（a）（a2）（2(m+n)）（3mn）（-2xy）(1)3x+6y(2)ab-2ac(3)a2-a3(4)4(m+n)2+2(m+n)(5)9m2n-6mn(6)-6x2y-8xy2如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.(a+b+c)ma+mb+mcm=(1)8a3b2+12ab3c例2:把下列各式分解因式分析：提公因式法步骤（分两步）第一步:找出公因式；第二步:提取公因式，即将多项式化为两个因式的乘积.(2)2a(b+c)-3(b+c)注意：公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法.(1)8a3b2+12ab3c8a3b2分析：+12ab3c两项系数最大公约数是4相同字母为a相同字母b取b2所以公因式为4ab2解：8a3b2+12ab3c4ab2=﹒2a2+4ab23bc﹒=4ab2(2a2+3bc)(2)2a(b+c)-3(b+c)分析：2a(b+c)-3(b+c)两项把(a+b)看成一个整体作为公因式解：2a(b+c)-3(b+c)=(b+c)2a﹒-(b+c)3﹒=(b+c)()2a-3例1:把下列各式分解因式(1)4m2-8mn(2)3ax2-6axy+3a分析：(1)4m2-8mn4m2中由两项：-8mn公因式；(1)系数为4(2)字母为m公因式；4m解：(1)4m2-8mn==4m﹒m-4m﹒nn-m4m()(2)3ax2-6axy+3a分析：(2)3ax2-6axy+3a中由三项：3ax2-6axy+3a公因式；(1)系数为3(2)字母为a公因式；3a解：(2)3ax2-6axy+3a=3a3a3ax2﹒-2xy﹒+﹒1=3a()x22xy1+-例3:把下列各式分解因式(1)2x(b+c)-3y(b+c)(2)3n(x-2)+(2-x)解：(1)2x(b+c)-3y(b+c)=2x-3y(b+c)(b+c)()(2)3n(x-2)+(2-x)解：=3n(x-2)-(x-2)+(2-x)(x-2)(x-2)=3n(-1)(b-a)2=(a-b)2(b-a)=-(a-b)(b-a)3=-(a-b)3(b-a)4=(a-b)4例:把下列各式分解因式(1)-x3y-x2y2+xy分解因式时如果第一项是负号应该先提符号-xy公因式是；解：-x3y-x2y2+xy=-xy-xy-xyx2xy(-1)﹒﹒﹒=-xy-xy-xy()x2+xy-1小明解的有误吗？把12x2y+18xy2分解因式解：原式=3xy(4x+6y)错误公因式没有提尽，还可以提出公因式2注意：公因式要提尽.诊断正确解：原式=6xy(2x+3y)小亮解的有误吗？当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是1.错误注意：某项提出莫漏1.解：原式=x(3x-6y)把3x2-6xy+x分解因式正确解：原式=3x▪x-6y▪x+1▪x=x(3x-6y+1)小华解的有误吗？提出负号时括号里的项没变号错误诊断把-x2+xy-xz分解因式解：原式=-x(x+y-z)注意：首项有负常提负.正确解：原式=-(x2-xy+xz)=-x(x-y+z)A层练习将下列各式分解因式：(4′×5=20′)⑴-a²-ab；⑵m²-n²；⑶x²+2xy+y²(4)3am²-3an²；(5)3x³+6x²y+3xy²基本方法=-a(a+b)=(m+n)(m-n)=(x+y)²=3a(m+n)(m-n)=3x(x+y)²例3:把12b(a-b)2–18(b-a)2分解因式解：12b(a-b)2–18(b-a)3=12b(a-b)2+18(a-b)3=6(a-b)2[2b+3(a-b)]=6(a-b)2(2b+3a-3b)=6(a-b)2(3a-b)练习：(x-y)2+y(y-x)(1)13.8×0.125+86.2×1/8(2)已知a+b=5,ab=3,求a2b+ab2的值.解：原式=13.8×0.125+86.2×0.125=0.125×(13.8+86.2)=0.125×100=12.5解:a2b+ab2=ab(a+b)=3×5=15巧妙计算看你能否过关？把下列各式分解因式：(1)8m2n+2mn(2)12xyz-9x2y2(3)p(a2+b2)-q(a2+b2)(4)-x3y3-x2y2-xy1、计算（-2）101+（-2）1002、已知,,求代数式的值.42yx3xy222xyyx