函数的极值与导数课件公开课

一、复习导入1.解2463)(2xxxf，令0)(xf)2)(4(3xx32()32420fxxxx求出函数的单调区间124,2xx得临界点区间(-∞，-4)-4(-4，2)2(2，+∞)f’(x)00f(x)f(x)在(-∞，-4)、(2，＋∞)内单调递增，你记住了吗？有没搞错，怎么这里没有填上？求导数—求临界点—列表—写出单调性++-f’(x)0,(x+4)(x-2)0,x-4或x2f(x)在(-4，2)内单调递减。f’(x)0,(x+4)(x-2)0,-4x23.3.2函数的极值与导数学习目标1.理解极大值，极小值的概念2.会用导数求最高次幂不超过三次的多项式函数的极大值、极小值并掌握求极值的步骤．阅读教材P93---P96回答下列问题：1，什么是极小值，什么是极大值？各有什么特点2，函数的极大值一定大于极小值吗？在区间内可导函数的极大值和极小值是惟一的吗？3，导数为0的点都是极值点吗？知识建构1．极小值点与极小值如图，函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值_____，且______；而且在点x＝a的左侧_________，右侧________，则把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．f′(x)0f′(x)0xyoaby=f(x)()fx0()fx0f’(a)=0都小f′(a)＝02．极大值点与极大值如图，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值____，且_______；而且在点x＝b的左侧________，右侧________，则把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．_________、_________统称为极值点，_______和_______统称为极值．f′(x)0f′(x)0极大值点极小值点极大值极小值()fx()fx00xyoaby=f(x)f’(b)=0都大f′(b)＝0yabx1x2x3x4)(1xf)(4xfOx)(2xf)(3xf问题1：你能找出函数的极小值点和极大值点吗？为什么？观察上述图象,试指出该函数的极值点与极值,并说出哪些是极大值点,哪些问题2：极小值一定比极大值小吗？上述图象,试指出该函数的极值点与极值,并说出哪些是极大值点,哪些观察图像回答下面问题：不一定？【解】(1)f′(x)＝3x2－6x－9.解方程3x2－6x－9＝0，得x1＝－1，x2＝3.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－1)－1(－1,3)3(3，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)单调递增10单调递减－22单调递增因此，当x＝－1时函数取得极大值，且极大值为f(－1)＝10；当x＝3时函数取得极小值，且极小值为f(3)＝－22..593)(:23xxxxf求下列函数的极值。例求函数极值（极大值，极小值）的一般步骤：（1）确定函数的定义域（2）求方程f’(x)=0的根（3）用方程f’(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格（4）由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况若f’(x０)左正右负，则f(x０)为极大值；若f’(x０)左负右正，则f(x０)为极小值求导—求极点—列表—求极值练习:求下列函数的极值:;27)()1(3xxxf解:,0273)()1(2xxf令解得列表:.3,321xxx(–∞,–3)–3(–3,3)3(3,+∞)00f(x)–()fx++单调递增单调递减单调递增5454所以,当x=–3时,f(x)有极大值54;当x=3时,f(x)有极小值–54.;1ln)()3(xxxf33)()2(xxxf思考(1)导数为0的点一定是函数的极值点吗？例如：f(x)=x3f’(x)=3x2≥0f’(0)=3×02=0xx0x=0x0f’(x)+0+f(x)oxyy=x3++若f(x0)是极值，则f’(x0)=0。反之，f’(x0)=0，f(x0)不一定是极值y=f(x)在一点的导数为0是函数y=f(x)在这点取得极值的必要条件。函数的性质单调性单调性的判别法单调区间的求法函数极值函数极值的定义函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.函数极值的求法oxy0xoxy0x必要条件设)(xf在点0x处具有导数,且在0x处取得极值,那末必定0)(0'xf.xyoxyo0x0x求极值的步骤:1.求导，2.求极点，3.列表，4.求极值xyo)(xfyabABxyo)(xfyabBAf’(x)0单调弟增f’(x)0单调递减1.求导，2.求临界点3.列表，4.单调性小结已知f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝1与x＝－23时都取得极值．(1)求a，b的值；(2)若f(－1)＝32，求f(x)的单调区间和极值．例2【思路点拨】先求导数f′(x)，再令f′(x)＝0得到关于x的一元二次方程，其两根为x1＝1与x2＝－23，最后由一元二次方程根与系数的关系求a，b的值．【解】(1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b，令f′(x)＝0.由题设，知x1＝1与x2＝－23为f′(x)＝0的解．∴－23a＝1－23，b3＝1×(－23)．∴a＝－12，b＝－2.(2)由(1)知f(x)＝x3－12x2－2x＋c，由f(－1)＝－1－12＋2＋c＝32，得c＝1.∴f(x)＝x3－12x2－2x＋1.∴f′(x)＝3x2－x－2.当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－23)－23(－23，1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递减∴f(x)的递增区间为(－∞，－23)和(1，＋∞)，递减区间为(－23，1)．当x＝－23时，f(x)有极大值，f(－23)＝4927；当x＝1时，f(x)有极小值，f(1)＝－12.1．极值的概念理解在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值．请注意以下几点：(1)极值是一个局部概念．由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小．方法感悟已知函数极值情况，逆向应用确定函数的解析式,进而研究函数性质时，注意两点：(1)常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解．(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．已知极值求参数极值问题的综合应用主要涉及到极值的正用和逆用，以及与单调性问题的综合，题目着重考查已知与未知的转化，以及函数与方程的思想、分类讨论的思想在解题中的应用，在解题过程中，熟练掌握单调区间问题以及极值问题的基本解题策略是解决综合问题的关键．函数极值的综合应用例3设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同的实根，求实数a的取值范围．【思路点拨】(1)利用导数求单调区间和极值.(2)由(1)的结论，问题转化为y＝f(x)和y＝a的图象有3个不同的交点，利用数形结合的方法求解.【解】(1)f′(x)＝3x2－6，令f′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝2.因为当x＞2或x＜－2时，f′(x)＞0；当－2＜x＜2时，f′(x)＜0.所以f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)和(2，＋∞)；单调递减区间为(－2，2)．当x＝－2时，f(x)有极大值5＋42；当x＝2时，f(x)有极小值5－42.(2)由(1)的分析知y＝f(x)的图象的大致形状及走向如图所示．所以，当5－42＜a＜5＋42时，直线y＝a与y＝f(x)的图象有三个不同交点，即方程f(x)＝a有三个不同的解．【名师点评】用求导的方法确定方程根的个数,是一种很有效的方法．它通过函数的变化情况，运用数形结合思想来确定函数图象与x轴的交点个数，从而判断方程根的个数．(2)函数的极值不一定是惟一的，即一个函数在某个区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个．(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，x1是极大值点，x4是极小值点，而f(x4)＞f(x1)．2．极值点与导数为零的点(1)可导函数的极值点是导数为零的点，但是导数为零的点不一定是极值点，即“点x0是可导函数f(x)的极值点”是“f′(x0)＝0”的充分但不必要条件；(2)可导函数f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧和右侧f′(x)的符号不同.如果在x0的两侧f′(x)的符号相同，则x0不是极值点．