函数的零点一轮复习微专题(黄冈中学)

微专题“函数的零点”教学环节第一环节：一题多变数形结合探零点高考中，大多数的零点问题基本都要用到数形结合的思想来求解，而直接运用数形结合的思想来探究零点问题多以小题的形式呈现，而且以分段函数的形式居多，为了贴近高考，此环节设置的例题和变式题的函数形式都为分段函数．例题1（解析式与分段点均确定的零点问题）：设函数211()4(1)(2)1xxfxxxx‚≤‚，则函数()fx的零点为_____．变式1：【2014福建，文15】函数21,1()26ln,1xxfxxxx≤的零点个数是_________．设计意图：此问题由学生课前预习完成，帮助学生回顾函数零点问题的处理方法：一个原理、两种方法、三种转换．让学生意识到对于分段函数来说，还得根据每一段的定义域来求零点．为后面变式探究打下基础．小结：在师生的共同探讨下，收获如下：解析式确定的零点问题，不管是不是分段函数，零点问题概括起来就是一个原理——零点存在性定理，两种方法——解出来或画出来；三种转化——转化为()0fx型，()fxc型或者()()fxgx型．而分段函数的零点在此基础上还要结合各段的定义域去确定零点．所蕴含的思想方法有：函数与方程、数形结合、转化与化归．变式2（解析式确定，分段点不定的零点问题）：设函数21()4(1)(2)xxafxxxxa‚≤‚，若函数()fx有两个零点，则a的取值范围是_________．设计意图：在例题1解析式的基础上将分段点改为不确定的情况去探求零点．该题由学生先思考后展示，经教师补充后共同提炼出两种解法：一是先分别作出两段函数在R上的图象，再通过分段点的左、右移动来取舍左、右两段函数的图象，进而确定满足条件的分段点的位置．二是通过解方程计算两段函数零点的取值为0,1,2，找到讨论的标准，对a分类讨论来求解．变式3（解析式不定，分段点确定的零点问题）：【2015北京，文14】设函数21()4()(2)1xaxfxxaxax‚‚≥．若()fx恰有2个零点，则实数a的取值范围是______．设计意图：在例题1的基础上将解析式改为不确定的情况，图象不定，难度较大．可让学生先思考然后说出自己的解题方法再计算，最后请代表展示，教师点评．师生共同整理出对于含参的分段函数零点的最优解法：首先在每段中求零点，分析零点与分段点的位置关系找到参数的分类标准，然后将零点进行等价转化，再运用分类讨论的思想，结合图象找限制条件．通过此变式让学生体会如何从复杂的情境中准确的找到问题的切入点，同时复习数形结合、分类讨论、等价转化的数学思想．在例1以及3道变式题的基础上，挑选练习题，进一步巩固如何运用数形结合的思想来求解零点问题．练习1：【2015天津，文8】已知函数22||,2()(2),2xxfxxx≤，函数()3(2)gxfx，则函数()()yfxgx的零点个数为（）A．2B．3C．4D．5设计意图：分段函数中加绝对值，目标函数也变得复杂，但是求解的方法却更加灵活、多样．通过此题进一步巩固变1知识，同时训练学生的解题思维．具体有三种做法：一是利用图象的对称变换、平移变换等知识，分别作出()fx与()gx的草图，从图象中发现两个函数的图象有两个交点；二是求出函数()()yfxgx的解析式，在每一段中按照例1或变1的方法求零点；三是构造函数()()(2)hxfxfx，将此问题转化为求()hx与3y的交点个数．练习2：【2016天津，文14】已知函数2(43)3,0()(01)log(1)1,0axaxaxfxaaxx且≥在R上单调递减，且关于x的方程|()|23xfx恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是_________．设计意图：设置练习2的目的为：巩固分段点不定零点问题的求法，让学生感受获得知识的喜悦，考查学生对此类问题的掌握和理解情况．练习2难度较大，命制中增加了2个限制条件，一是由函数的单调性限制了参数的范围，二是目标函数中增加了绝对值符号，即解题中需结合函数的翻折变换，利用数形结合的思想找限制条件．通过此题让学生体会解决此类零点问题的难点并不是零点问题的转化，而是如何通过画图、通过图象的变换，找到a的限制条件．同时还要注意解题细节，直线2yx与曲线2(43)3yxaxa相切也符合题意．第二环节：拾级而上借用导数探零点函数的图象有时并不能直接画出，或分情况画出，必须通过求导讨论单调性才能画出，进而探究零点．所以导数在探究零点问题中的工具作用不容小觑，而且这是新课标文科卷近年来考查的热点，通常以解答题的形式呈现，考查的都是非分段函数的零点，并未涉及到分段函数．例题2：（必修1，88页例1改编）判断函数()ln2fxxx的零点个数．方法一：因为()ln2fxxx，所以11()1xfxxx，所以()fx在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增，所以min()(1)1fxf，又因为当x接近0时函数值为正数，同时2(e)0f，结合()fx的图象（图1）可知()fx的零点有2个．方法二：判断函数()ln2fxxx的零点个数，即判断方程ln20xx根的个数，即判断函数2yx与函数lnyx的交点个数，由图2可知，它们的交点有两个，所以()fx的零点有2个．设计意图：通过例题2进一步巩固第一环节中解决零点问题的方法，即一个原理，两种方法，三种转化．同时指出不同之处为：不再是分段函数，函数的单调性必须借助于求导才能判断．由学生课前完成．变式1：判断函数()ln2fxxxa的零点个数．方法一：因为参数在常数项的位置，它是例2中的函数经过上下平移得到的，由图象易得：当1a时，无零点；当1a时，有一个零点；当1a时，有两个零点．方法二：由题意，原问题即判断函数2yxa与函数lnyx的交点个数，在例2的方法二的基础上，求出函数lnyx的斜率为1的切线方程为1yx，通过平移函数2yx易得同样结论．方法三：运用分离参数法．转化为判断函数ln2yxx与ya的交点个数问题．由例2中方法一的图象易得同样结论．设计意图：添加参数，参数在常数项的位置．变式2：若函数()ln2fxxxa在区间21[,e]e上有一个零点，求a的取值范围．设计意图：添加区间后，变式1下的三种方法均可行，帮助学生实现方法的自然迁移．变式3：若函数()ln2fxaxx有一个零点，求a的取值范围．设计意图：改变参数位置，将参数置于一次项系数位置，增加问题难度，让学生面对新目标．方法一：因为()ln2fxaxx，所以11()axfxaxx，所以当0a≤时，()fx在(0,)上单调递减，又因为当x接近0时函数值为正数，同时(1)20fa，所以函数必定有一个零点．当0a时，易知()fx在1(0,)a上单调递减，在1(,)a上单调递增，所以min1()()fxfa0即可，解得ea．综上所述：0a≤或ea．方法二：由题意可知，函数2yax与函数lnyx有一个交点，而函数2yax是过定点(0,2)的直线，由图3，当0a≤或直线与lnyx相切时满足题意，相切时可设切点为00(,)Pxy，由01ax可知切点坐标为11(,ln)Paa，又因为P点在直线2yax上，解得ea．综上所述：0a≤或ea．方法三：分离参数可得．即函数ya与ln2()(0)xqxxx有一个交点．因为2ln1()xqxx，所以()qx在1(0,)e上单调递增，在1(,)e上单调递减，所以min1()()eeqxq，又因为当x接近0时函数值是负的，当x趋向正无穷时函数值是正的，由图4可知，a的取值范围是0a≤或ea．变式4：当0a时，若函数()lnfxxax有两个零点，求a的取值范围．答案为：ea．练习：【2015新课标1，文21】设函数2()elnxfxax．讨论()fx的导函数()fx的零点的个数．第三环节：顺藤摸瓜解题规律及时找解题规律：零点问题概括起来就是一个原理——零点存在性定理，两种方法——解出来或画出来；三种转化——转化为()0fx型，()fxc型或者()()fxgx型．数形结合探究含参的分段函数零点具体做法为：首先在每段中求零点，分析零点与分段点的位置关系找到参数的分类标准，然后将零点进行等价转化，再运用分类讨论的思想，结合图象找限制条件．不仅要用到等价转化的数学思想、还需用到分类讨论和数形结合的思想．借用导数探究一般函数零点具体做法为：1、()0fx型．求导，对参数分类讨论进而讨论函数的单调性，确定函数图象的特征，找参数的限制条件；2、()fxc型．将函数变形，把参数置于一边，对新构造的确定函数求导，讨论函数单调性，确定图象的特征，最后平移直线yc，找到参数c的限制条件；3、()()fxgx型．将函数变形，把函数零点问题转化为一条直线和一个一般曲线的交点问题，利用导数求曲线的切线，通过图象找到参数的限制条件．我们应将具体问题转化为三种类型的某一类，有时还要通过分析、比较找出最优解，也即最佳策略．设计意图：让学生对所学的知识有比较全面的认识，引导学生归纳总结解决不同零点问题的处理方法、思想方法和解题步骤，从解决问题的方法、规律、思维策略等方面反思自己的做法，总结解题的经验教训，提高解题能力．及时反馈课堂的教学效果，让复习课更加深刻、细致和精准，从而实现微专题复习课的终极目标．第四环节：回归梳理，下一轮会更精彩布置学生课后在函数零点的课本习题中，在以前做过和考过的题目中，把与本课相类似的零点问题找出来再做，总结和归纳解题的经验、感悟、困惑和教训．同时布置课后练习，为二轮复习打下扎实的基础．课后练习：1．【2016山东，文15】已知函数2||,()24,xxmfxxmxmxm≤，其中0m．若存在实数b，使得关于x的方程()fxb有三个不同的根，则m的取值范围是_______．(3,)2．【2015江苏，13】已知函数()|ln|fxx，20,01()|4|2,1xgxxx≤，则方程|()()|1fxgx，实根的个数为．3．已知函数,0()21,0xeaxfxxx≤（aR），若函数()fx在R上有两个零点，则a的取值范围是．4．已知实数2122,10,()log,1xaxxafxxx≤若方程23()4fxa有且仅有两个不等实根，且较大实根大于2，则实数a的取值范围是________．5．【2016新课标1，文21】已知函数2()(2)(1)xfxxeax．（I）讨论()fx的单调性；（II）若()fx有两个零点，求a的取值范围．6．【2014新课标1，文12】已知函数32()31fxaxx，若()fx存在唯一的零点0x，且00x，则a的取值范围是________．7．【2014陕西，文21】设函数()ln,mfxxmxR．（Ⅱ）讨论函数()()3xgxfx零点的个数．设计意图：进一步巩固所学，让学生学会独立识别题目的类型、联想方法、选择思路，在不同的复合情境中抓住题目的本质，寻找解题的规律，“以不变应万变”．体会函数与方程思想，数形结合思想，转化与化归思想．教学反思：本课复习了解决与零点相关问题的两种基本思路：①数形结合；②导数法．两类题型：①求零点的个数；②已知零点的个数求参数．内容设计层层深入，分段进行，又环环相扣，使学生在接受知识、探究问题的过程中能有一个逐步积累深入、螺旋上升的发展．但本课主要涉及的是数形结合解决分段函数中的零点问题，以及借用导数画图象来解决非分段函数的零点问题，对于非分段函数直接画图或者通过图象的变换再画图去求解零点的问题，限于课时不能展开．直接解方程求解函数的零点，因为考得较少故而直接忽略掉了．近五年与零点有关的真题搜集如下：1、【2016山