《金融数学》资产组合管理-文档资料

第五章资产组合管理本章主要讨论风险证券的投资组合问题，也即分散投资问题.主要包括：收益率的期望和方差；两证券、多证券及含无风险证券的资产组合线及有效前沿；CAPM模型、贝塔(Beta)因子、资本市场线(CML)、证券市场线(SML)、证券特征线(SCL);系统风险和非系统风险。5.1两风险证券中的风险度量方法1设风险资产的收益率K为随机变量，参照值取期望，方差作为风险的度量。有时用收益率的标准差测量风险。单个时间段的投资问题，一般采取此收益率。其中方法2利用对数收益率的方差,或者，对多个时间段相关的投资，采用对数收益率比较方便因为对数收益率满足可加性。()K2()k()k2222()()(.[()]())KEEEKKEKK2()K()EK5.1.1期望收益和方差5.1.2两证券情形用表示组合的收益率，用分别表示投资在证券1和2上的权重,则若表示卖空第i支股票。记作ii,w股票i的股价的股数初始资金总额222211221112122,V其中VK12,ww1212,VwwKKK1212))),E(((VKEKEKww1,21212()CovKK1212,Vwwiw例1假设两种股票的每股价格分别为美元，美元，美元，购买第一种股票20股，购买第二种股票10股，求两个股票的资金分配权重。120S240S(0)1000V例2考虑如下资产组合：状况概率收益率收益率0.40.20.4分别求下述情形下资产组合的期望收益和风险。(1)(2)(3)1K2K21300100020000002000200010120.4,0.6;ww120.8,0.2;ww120.5,1.5.ww12120.40.040.60.160.112Vww000010.4(10)0.200.4200.0412120.80.040.20.160.064Vww220.0024,210.0184,120.96309,22220.000736VV21，介于和之间。此时22220.009824VV21，介于和之间。此时120.4,0.6ww00000020.4200.2200.4100.16解：依题意得，(1)当时，(2)当时，120.8,0.2ww(3)当时，由(1)、(2)和(3)发现，高收益通常伴随着高风险；另外，当不允许卖空时，组合的风险介于单个风险之间(如(1)(2)所示)，当允许卖空时，组合的风险则可能比任何单个风险都大(如(3)所示)。命题5.3如果不允许卖空，则有12120.50.041.50.160.22Vww121.5,0.5ww22220.0196VV21，比和都大。此时22212max,.V问题：在两风险证券中，有没有风险最小的组合权重(即找一个权重组合，使得组合的方差最小)？命题5.4(1)如果，当，且时，。(必须有一支股票卖空.）(2)如果，当时，。(不必卖空.）1211221121212,ww0V12121121212,ww0V定理5.5当1211时，资产组合方差2V的最小值在2112122221212122w处取得。如果不允许卖空，则资产组合方差2V的最小值在2min222000111取得.11(,)22(,)1215.2资产组合线及有效前沿资产组合线(白色和红色)、非卖空(红色)及有效前沿(蓝色虚线)，下同。5.2.1含两个风险证券情形11(,)22(,)12111(,)22(,)11(,)22(,)12接近于但大于-112接近于但小于1推论设12，则存在下列3种情况：1.如果11221，那么存在不卖空的资产组合，使得1V；2.如果1122，则1V对每一个资产组合等成立；3.如果11221，那么存在卖空的资产组合，使得1V，但对每一个不卖空的资产组合有1V.例假设210.0041,220.0121，120.9796,确定风险最小的资产组合权重.解显然12，且11221，（推论3），计算2112120221212121.16632s，min0s由此可得，在方差最小的资产组合中，如果允许卖空，证券的权重应该为122.1663,1.1663ww如果不允许卖空，则121,0ww.5.2.2含无风险证券和一个风险证券的情形(0,)Fr11(,)0为方便起见，把权重向量排成列矩阵，即12(,,,),Tn121n记,(1,1,,1)Tu则1Twu，其中，满足式1Twu的以w为权重的资产组合组成的可达集合，称为可达资产组合.假设证券的收益率为12,,,nKKK。期望收益率()iiEK，其中1,2,,in。令12(,,,)Tmn5.2.3含n个风险证券情形命题5.8权重为12(,,,)n的资产组合的收益11...VnnKwKwK的期望收益()VVEK和方差22()VVK为TVwm，2TVwVw两个收益率的协方差用(,)ijijcCovKK表示。构成nn协方差矩阵为111212122212nnnnnnccccccVccc协方差矩阵为正定矩阵，对角线元素是收益率方差2iiic。下面将解决如下两个问题：1.在可行集合中，计算方差最小的资产组合，称其为最小资产组合。2.在可行集合中的所有的资产组合中，计算最小方差资产组合，使其收益为V。由参数V表示的这组资产组合形成最小方差线。命题5.9（最小方差资产组合）在可达集合中，最小方差资产组合的权重11TVuwuVu命题5.10（最小方差线）期望收益为V的可达资产组合中方差最小的资产组合权重为111111111111TTTTVVVTTTTVumVuVuVmmVmVmwuVumVumVumVmuu式中，要求分母中的行列式非零，权重线性地取决于V。例（P95例5.10）（三证券）考虑三个证券，其期望收益、收益的标准差和相关系数为1112210.10,0.28,0.101223320.15,0.24,0.203331130.20,0.25,0.25.试计算最小方差资产组合的权重及最小方差线上的权重。下面给出有效前沿的方程。对指定的期望收益率，方差最小的证券组合应在前沿上，从而求前沿上的点转化为解下列规划问题：记V12,1TTTVVwmumin11,TTAmuuVmV1,TCuuV20.DBCA1,TBmmV则对指定的，方差最小的证券组合为：此即命题5.10的结论。有效前沿：其中如前所述。2221,1)(PPDCACC,ACD和V11,VVVCABAmuDDwVV因此对只含多种风险证券而言，有效前沿为双曲线的右支，最小方差的点为(),称为最小方差证券组合，记作MVP.此点权重对应命题5.9的结论。12,1()ACC5.2.4既含多个风险证券又含无风险证券情形设含有种风险证券(股票)和一种无风险证券(债券)，以为种股票上的投资比例，则就是投资在债券上的比例。对指定的期望收益率，求投资比例，使得方差最小，就是解下列规划问题：min12(1)TTTVVwmuFn12(,,...,)Twnn()1TuwVw解上述规划，得知对指定的期望收益率，方差最小的投资组合为：标准差为：其中如前述。V1()()/,FFVVmuHwVrr,ABC和1(),FVVHr22,FFHBACrre由此可知，含多种风险证券和无风险证券的有效前沿是过点的一条射线。会是什么样的射线呢？假设含有两支股票和及一种债券，由前面讨论知，把全部资金投入股票和，得到双曲线的一支，而如果投资于股票及债券，得到有效前沿为射线;而如果投资于股票及债券，得到有效前沿为射线;如果把资金投资于和债券中，则连接和曲线上任意一点的射线都是可能的投资组合。因此从出发，与曲线相切的射线，为有效前沿(为什么？)记切点为。Fr(0,)FreABFBrABAFrFArFBrFr,ABFrFrAB(0,)FrABB如果投资者选择切点，则表示将资金全部购买股票和；如果选择点，则是把一部分资金用于买债券，余下部分用来买股票和，而资金在和上分配比例与切点一样；如果选择点，则是以借入资金，连同原有资金一起用来买股票和，而资金在和上分配比例仍与切点一样。见下页图示。ABCeDABBAABBAeeFre(0,)FrABCD有效前沿为蓝色虚线部分，红色部分表示不允许卖空的情形。切点证券组合，它决定有效前沿上任意点处的风险投资比例。例一投资者拥有资金10000美元。(1)用4000美元购买股票，其余全部购买股票，则在点处的投资组合为；(2)如果该投资者抽取5000美元作无风险投资，其余仍用于购买股票，则此时购买股票的资金分别是2000美元和3000美元。eAB,ABe(0.4,0.6)A,AB有效前沿为蓝色虚线部分，切点证券组合，决定有效前沿上任意点处的风险投资比例。e(0,)Fre切点处的投资组合权重为例设风险证券和分别有期望收益率，方差分别为和，它们之间的协方差为。又设无风险利率为.求切点证券组合。e11()(),)()FFeFFmumuAACCVVrrwCrrAB008B0012,A210A24B122006Frew52(,))77(ew5.3CAPM模型资本资产定价模型(CapitalAssetPricingModel,CAPM)是在理想的，称之为完善的资本市场中建立的。它的基本假设有：(1)投资者对一个投资组合以一期的期望回报率和方差来评价此组合；(2)投资者具有不满足性(风险相同时，期望越大越好)；(3)投资者都是风险回避者(期望相同时，风险越小越好)；(4)任何一种证券都是无限可分的；(5)存在一个无风险利率，任何投资者都可以依此利率不受限制地存、贷款；(6)不存在税收和交易费用；(7)所有投资者考虑的投资期都是一样的；(8)无风险利率对任何投资者都相同；(9)所有信息对任何投资者都是免费的，且及时提供；(10)所有投资者对每种股票的看法都相同，即不同投资者对每种股票的期望和方差的看法一样，对个证券之间的协方差看法也一样。同时满足以上十个假设的市场就称为完善资本市场。在介绍了完善资本市场之后，我们再介绍市场均衡和市场投资组合的概念。市场均衡：在完善的资本市场上，当证券的价格调整时，对证券的需求和供给也相应变动。如果随着证券价格的调整，对证券的需求和供给相应调整为：每一种证券需求量正好等于其供给量，而且对无风险证券，存贷款数目正好相等的状态，就称之为市场均衡。市场投资组合(MarketPortfolio)是指市场处于均衡时，切点的投资组合，为了区别，我们将市场投资组合记为,坐标为e(,).MMM当市场处于均衡时，包含无风险债券和多种风险证券的有效前沿是在平面上，从点出发，过点的一条射线，称它为资本市场线(CapitalMarketLine,CML).其方程为：其中的斜率称为风险报酬，而的截距称为等待报酬。CMLM(0,)FrMMVVFMFVVMrrVVoMCMLCML注意：并不给出单个风险证券的期望回报率和标准差的线性关系。反例Modigliani﹠Pogue(1974):股票年回报率标