2015年中考特殊平行四边形证明及计算习题及答案

2015年初中数学中考特殊四边形证明及计算组卷参考答案与试题解析姓名______________学号_____________一．解答题（共30小题）1．（2012•威海）（1）如图①，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，直线EF过点O，分别交AD，BC于点E，F．求证：AE=CF．（2）如图②，将▱ABCD（纸片）沿过对角线交点O的直线EF折叠，点A落在点A1处，点B落在点B1处，设FB1交CD于点G，A1B1分别交CD，DE于点H，I．求证：EI=FG．考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）．718351分析：（1）由四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，OA=OC，又由平行线的性质，可得∠1=∠2，继而利用ASA，即可证得△AOE≌△COF，则可证得AE=CF．（2）根据平行四边形的性质与折叠性质，易得A1E=CF，∠A1=∠A=∠C，∠B1=∠B=∠D，继而可证得△A1IE≌△CGF，即可证得EI=FG．解答：证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，OA=OC，∴∠1=∠2，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE=CF；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，∠B=∠D，由（1）得AE=CF，由折叠的性质可得：AE=A1E，∠A1=∠A，∠B1=∠B，∴A1E=CF，∠A1=∠A=∠C，∠B1=∠B=∠D，又∵∠1=∠2，∴∠3=∠4，∵∠5=∠3，∠4=∠6，∴∠5=∠6，在△A1IE与△CGF中，，∴△A1IE≌△CGF（AAS），∴EI=FG．点评：此题考查了平行四边形的性质、折叠的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．2．（2011•贵阳）[阅读]在平面直角坐标系中，以任意两点P（x1，y1）、Q（x2，y2）为端点的线段中点坐标为．[运用]（1）如图，矩形ONEF的对角线相交于点M，ON、OF分别在x轴和y轴上，O为坐标原点，点E的坐标为（4，3），则点M的坐标为（2，1.5）．（2）在直角坐标系中，有A（﹣1，2），B（3，1），C（1，4）三点，另有一点D与点A、B、C构成平行四边形的顶点，求点D的坐标．考点：平行四边形的性质；坐标与图形性质；矩形的性质．718351专题：几何综合题．分析：（1）根据矩形的对角线互相平分及点E的坐标即可得出答案．（2）根据题意画出图形，然后可找到点D的坐标．解答：解：（1）M（，），即M（2，1.5）．（2）如图所示：根据平行四边形的对角线互相平分可得：设D点的坐标为（x，y），∵以点A、B、C、D构成的四边形是平行四边形，①当AB为对角线时，∵A（﹣1，2），B（3，1），C（1，4），∴BC=，∴AD=，∵﹣1+3﹣1=1，2+1﹣4=﹣1，∴D点坐标为（1，﹣1），②当BC为对角线时，∵A（﹣1，2），B（3，1），C（1，4），∴AC=2，BD=2，D点坐标为（5，3）．③当AC为对角线时，∵A（﹣1，2），B（3，1），C（1，4），∴AB=，CD=，D点坐标为：（﹣3，5），综上所述，符合要求的点有：D'（1，﹣1），D″（﹣3，5），D″′（5，3）．点评：本题考查了平行四边形的性质及矩形的性质，关键是掌握已知两点求其中点坐标的方法．3．（2007•黑龙江）在△ABC中，AB=AC，点P为△ABC所在平面内一点，过点P分别作PE∥AC交AB于点E，PF∥AB交BC于点D，交AC于点F．若点P在BC边上（如图1），此时PD=0，可得结论：PD+PE+PF=AB．请直接应用上述信息解决下列问题：当点P分别在△ABC内（如图2），△ABC外（如图3）时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，PD，PE，PF与AB之间又有怎样的数量关系，请写出你的猜想，不需要证明．考点：平行四边形的性质．718351专题：探究型．分析：在图2中，因为四边形PEAF为平行四边形，所以PE=AF，又三角形FDC为等腰三角形，所以FD=PF+PD=FC，即PE+PD+PF=AC=AB，在图3中，PE=AF可证，FD=PF﹣PD=CF，即PF﹣PD+PE=AC=AB．解答：解：图2结论：PD+PE+PF=AB．证明：过点P作MN∥BC分别交AB，AC于M，N两点，∵PE∥AC，PF∥AB，∴四边形AEPF是平行四边形，∵MN∥BC，PF∥AB∴四边形BDPM是平行四边形，∴AE=PF，∠EPM=∠ANM=∠C，∵AB=AC，∴∠EMP=∠B，∴∠EMP=∠EPM，∴PE=EM，∴PE+PF=AE+EM=AM．∵四边形BDPM是平行四边形，∴MB=PD．∴PD+PE+PF=MB+AM=AB，即PD+PE+PF=AB．图3结论：PE+PF﹣PD=AB．点评：此题主要考查了平行四边形的性质，难易程度适中，读懂信息，把握规律是解题的关键．4．（2006•泰安）如图，矩形ABCD的对角线交于点O，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，连接AF，CE．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）若∠BAD的平分线与FC的延长线交于点G，则△ACG是等腰三角形吗？并说明理由．考点：平行四边形的判定；全等三角形的判定；等腰三角形的判定；矩形的性质．718351专题：证明题；几何综合题；探究型．分析：（1）根据矩形的性质可知：AB=CD，∠ABE=∠CDF，∠AEB=∠CFD=90°，得到△ABE≌△CDF，所以AE∥CF，AE=CF，可证四边形AECF为平行四边形；（2）因为AE∥FG，得到∠G=∠GAE．利用AG平分∠BAD，得到∠BAG=∠DAG，从而求得∠ODA=∠DAO．所以∠CAG=∠G，可得△CAG是等腰三角形．解答：（1）证明：∵矩形ABCD，∴AB∥CD，AB=CD．∴∠ABE=∠CDF，又∠AEB=∠CFD=90°，∴AE∥CF，∴△ABE≌△CDF，∴AE=CF．∴四边形AECF为平行四边形．（2）解：△ACG是等腰三角形．理由如下：∵AE∥FG，∴∠G=∠GAE．∵AG平分∠BAD，∴∠BAG=∠DAG．又OA=AC=BD=OD，∴∠ODA=∠DAO．∵∠BAE与∠ABE互余，∠ADB与∠ABD互余，∴∠BAE=∠ADE．∴∠BAE=∠DAO，∴∠EAG=∠CAG，∴∠CAG=∠G，∴△CAG是等腰三角形．点评：本题考查三角形全等的性质和判定方法以及等腰三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．5．（2006•陕西）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，E，F分别是BC，AC的中点，延长BA到点D，使AD=AB．连接DE，DF．（1）求证：AF与DE互相平分；（2）若BC=4，求DF的长．考点：平行四边形的判定．718351专题：计算题；证明题．分析：（1）连接EF、AE，证四边形AEFD是平行四边形即可．（2）注意应用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和平行四边形的性质：平行四边形的对边相等，求得AE长即可．解答：（1）证明：连接EF，AE．∵点E，F分别为BC，AC的中点，∴EF∥AB，EF=AB．又∵AD=AB，∴EF=AD．又∵EF∥AD，∴四边形AEFD是平行四边形．∴AF与DE互相平分．（2）解：在Rt△ABC中，∵E为BC的中点，BC=4，∴AE=BC=2．又∵四边形AEFD是平行四边形，∴DF=AE=2．点评：本题考查了平行四边形的判定，有中点时需考虑运用三角形的中位线定理或者直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．6．如图，以△ABC三边为边在BC同侧作三个等边△ABD、△BCE、△ACF．请回答下列问题：（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形．考点：平行四边形的判定；等边三角形的性质；矩形的判定．718351专题：证明题；探究型．分析：1、本题可根据三角形全等证得DE=AF，AD=EF，即可知四边形ADEF是平行四边形2、要使四边形ADEF是矩形，必须让∠FAD=90°，则∠BAC=360°﹣90°﹣60°﹣60°=150°解答：证明：（1）∵等边△ABD、△BCE、△ACF，∴DB=AB，BE=BC．又∠DBE=60°﹣∠EBA，∠ABC=60°﹣∠EBA，∴∠DBE=∠ABC．∴△DBE≌△CBA．∴DE=AC．又∵AC=AF，∴AF=DE．同理可证：△ABC≌△FCE，证得EF=AD．∴四边形ADEF是平行四边形．（2）假设四边形ABCD是矩形，∵四边形ADEF是矩形，∴∠DAF=90°．又∵等边△ABD、△BCE、△ACF，∴∠DAB=∠FAC=60°．∴∠BAC=360﹣∠DAF﹣∠FAC﹣∠DAB=150°．当△ABC满足∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形．点评：此题主要考查了等边三角形的性质和平行四边形的判定．7．（2010•盘锦）如图，△ABC是等边三角形，点D是边BC上的一点，以AD为边作等边△ADE，过点C作CF∥DE交AB于点F．（1）若点D是BC边的中点（如图①），求证：EF=CD；（2）在（1）的条件下直接写出△AEF和△ABC的面积比；（3）若点D是BC边上的任意一点（除B、C外如图②），那么（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．718351专题：证明题．分析：（1）根据△ABC和△AED是等边三角形，D是BC的中点，ED∥CF，求证△ABD≌△CAF，进而求证四边形EDCF是平行四边形即可；（2）在（1）的条件下可直接写出△AEF和△ABC的面积比；（3）根据ED∥FC，结合∠ACB=60°，得出∠ACF=∠BAD，求证△ABD≌△CAF，得出ED=CF，进而求证四边形EDCF是平行四边形，即可证明EF=DC．解答：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，D是BC的中点，∴AD⊥BC，且∠BAD=∠BAC=30°，∵△AED是等边三角形，∴AD=AE，∠ADE=60°，∴∠EDB=90°﹣∠ADE=90°﹣60°=30°，∵ED∥CF，∴∠FCB=∠EDB=30°，∵∠ACB=60°，∴∠ACF=∠ACB﹣∠FCB=30°，∴∠ACF=∠BAD=30°，在△ABD和△CAF中，，∴△ABD≌△CAF（ASA），∴AD=CF，∵AD=ED，∴ED=CF，又∵ED∥CF，∴四边形EDCF是平行四边形，∴EF=CD．（2）解：△AEF和△ABC的面积比为：1：4；（3）解：成立．理由如下：∵ED∥FC，∴∠EDB=∠FCB，∵∠AFC=∠B+∠BCF=60°+∠BCF，∠BDA=∠ADE+∠EDB=60°+∠EDB∴∠AFC=∠BDA，在△ABD和△CAF中，∴△ABD≌△CAF（AAS），∴AD=FC，∵AD=ED，∴ED=CF，又∵ED∥CF，∴四边形EDCF是平行四边形，∴EF=DC．点评：此题主要考查学生对平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质的理解和掌握．此题涉及到的知识点较多，综合性较强，难度较大．8．（2011•海南）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，点P、Q分别在边AB、BC上，且AP=BQ．（1）求证：△BDQ≌△ADP；（2）已知AD=3，AP=2，求cos∠BPQ的值（结果保留根号）．考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质；解直角三角形．718351专题：几何综合题．分析：（1）由四边形ABCD是菱形，可证得AD=AB，∠ABD=∠CBD=∠ABC，AD∥BC，又由∠A=60°，易得△ABD是等边三角形，然后由SAS即可证得△BDQ≌△ADP；（2）首先过点Q作QE⊥AB，交AB的延长线于E，然后由三角函数的性质，即可求得PE与QE的长，又由勾股定理，即可求得PQ的长，则可求得cos∠BP