(整理)清华大学微积分A笔记(上)

精品文档精品文档多元函数、多元向量值函数f(X)F(X)多元函数的切平面、全微分、偏导有多元函数f(X)，若存在向量A=(a1,a2,…,an)使得f(X)-f(X0)-A(X-X0)=o(||X-X0||)，则称g(X)=A(X-X0)是f在X0处的切平面df=AdX=a1dx1+a2dx2+…+andxn是f的全微分bk=∂(f)/∂(xk)是将X的其他分量视为常数时f的导数，称为f的偏微分可以证明若A存在，ak=bk=∂f/∂xkNabla算子∇=(∂/∂x1,…,∂/∂xn)∇A=Grad(f)=A称为f的梯度，∇(f○g)=g∇f+f∇g若有单位向量e=(cosθ1,cosθ2,…,cosθn)，则称A.e是f沿e方向的方向导数，A.e=∂f/∂l其中l与e平行若f在X0可微：X0处f各一阶偏导存在X0处f有梯度X0处f连续X0处f的各方向导数均存在若f在X0处各一阶偏导函数连续，则f在X0可微精品文档精品文档A=∇f是向量值函数，可以观察，e与A平行时，f的方向导数最大，且大小A.e=||A||，称A是f的梯度场向量值函数的切平面、微分、偏导F(X)=(f1(X),f2(X),…,fm(X))，若所有fi在X0处可微，则称F在X0处可微，即F(X)=F(X0)+A(X-X0)+o(||X-X0||)，其中A=(aij)m*n=∂F/∂X=∂(f1,f2,…,fm)/∂(x1,x2,…,xn)=J(F(X0)))称为F在X0处的Jacobian(F的Jacobian的第i行是F的Fi分量的梯度，aij:=∂Fi/∂xj)F的全微分dF=AdX当m=n时，F有散度Div(F)和旋度Curl(F)Div(F)=∇.F=∂f1/∂x1+…+∂fm/∂xmCurl(F)=∇×F复合函数求导一阶偏导：若G=G(X)在X0可微，F=F(U)(U=G(X))在G(X0)可微，则F○G在X0处可微，J(F○G)=J(F(U))J(G(X))具体地，对于多元函数f(U)=f(u1,…,um)，其中U=G(X)即ui=g(x1,…,xn)∂f/∂xj=∂f/∂U*∂U/∂xj=Sum[∂f/∂ui*∂ui/∂xj]{foreachuiinU}高阶偏导：不要忘记偏导数还是复合函数例：f(U):=f(u1,u2),U(X):=(u1(x1,x2),u2(x1,x2))精品文档精品文档∂2f/(∂x1)2=数学分析教程P151隐函数、隐向量值函数由F(X,Y)=0确定的函数Y=f(X)称为隐函数隐函数：1.存在定理：若n+1元函数F(X,y)在零点(X0,y0)处导数连续，且∂(F)/∂(y)(X0,y0)0，则存在(X0,y0)附近的超圆柱体B=B(X0)*B(y0)，使得B(X0)上的任意一点X可以确定一个y使得F(X,y)=0，即函数F在B内确定了一个隐函数y=f(X)，而且这个隐函数的一阶偏导数也连续注：如果∂(F)/∂(y)=0，那么在X=X0超平面上，y在X0处取得了极值，那么沿曲面被X=X0截的曲线从X0处向任意方向走，y都会减小，所以y是双值函数，不是函数2.偏导公式：在B内的(𝑋⃗,𝑦)处，𝜕𝑦𝜕𝑥𝑖=−𝜕𝐹/𝜕𝑥𝑖𝜕𝐹/𝜕𝑦或者说𝜕𝑦𝜕𝑋⃗=−𝜕𝐹/𝜕𝑋⃗𝜕𝐹/𝜕𝑦不正式的证明：F(X,y)≡0,所以∂F/∂xi=0,即Sum[∂F/∂xj*∂xj/∂xi]=0(把y记做xn+1)由于X的各分量都是自变量，∂xj/∂xi=0(ij)所以∂F/∂xi+∂F/∂y*∂y/∂xi=0精品文档精品文档于是立即可得上述公式隐向量值函数：1.存在定理：若X∈Rn,Y∈Rm，m维n+m元向量值函数F(X,Y)=0，在P0=(X0,Y0)点的某个邻域B(P0,r)内是C(1)类函数，F(P0)=0，且∂F/∂Y可逆，则存在P0的邻域B(X0)*B(Y0)，使得对于在B(X0)内的任意X，存在唯一Y∈B(Y0)满足F(X,Y)=0，即F在B内确定了一个连续可微隐函数Y=f(X)2.偏导公式：J(f):=∂(y1,…,ym)/∂(x1,…,xn):=∂Y/∂X=-[∂F/∂Y]-1*∂F/∂X注：1.求逆矩阵用伴随矩阵的方法，A-1=A*/|A|，A*是A的余子矩阵的转置2.如果只求J(f)中的一列，∂(Y)/∂(xi)=-[∂(F)/∂(Y)]-1*[∂(F)/∂(xi)]3.如果只求J(f)中的一行或者一个元素，问题退化成隐函数偏导的问题4.计算∂F/∂X时，忽略Y是X的函数，将Y当作自变量计算（从证明中可以看出原因，因为∂y/∂x的成分被移到了等式左侧J(f)里面)，而不用偏导公式，采取对F(X,Y)=0左右同时对xi求偏导的方法时，Y要看做xi的函数）3.隐向量值函数的反函数：函数Y=f(X)将Rn映射至Rm，如果J(f)=∂f/∂X可逆，那么存在f的反函数X=f-1(Y)，且J(f-1)=[J(f)]-1注：1.求逆矩阵用伴随矩阵的方法，A-1=A*/|A|，A*是A的余子矩阵的转置2.|J(f-1)|=|J(f)|-1精品文档精品文档用参数形式给出的隐函数若有x=x(u,v)，y=y(u,v)，z=z(u,v)，则需要列方程求曲面和曲线的切平面、法线、法向量三维空间下，函数F(x,y,z)=0确定了一个曲面。如果F在点P处满足(1)F在P处连续可微(2)∇F在P处不为0则称P是曲面上的正则点如果曲面在正则点P0(x0,y0,z0)处有法向量n(nx,ny,nz)，A=(x-x0,y-y0,z-z0)，则S在P点的切平面方程为n.A=0,法线方程(x-x0)/nx=(y-y0)/ny=(z-z0)/nz(约定分母为0时分子也为0)过P0(x0,y0,z0)与n1=(x1,y1,z1)和n2=(x2,y2,z2)都垂直的直线有标准方程：(X-X0).n1=(X-X0).n2=0，具体地:x1(x-x0)+y1(y-y0)+z1(z-z0)=0x2(x-x0)+y2(y-y0)+z2(z-z0)=0I.曲面的显式表示法z=f(x,y)是曲面S的显式表示正则点P0(x0,y0,z0)处，S的法向量n=(∂f/∂x,∂f/∂y,-1)II.曲面的隐式表示法F(x,y,z)=0是曲面的隐式表示法精品文档精品文档正则点P0处，n=(∂z/∂x,∂z/∂y,-1)=(-(∂F/∂x)/(∂F/∂z),-(∂F/∂y)/(∂F/∂z),-1)=(∂F/∂x,∂F/∂y,∂F/∂z)III.曲线的参数表示法L={x=x(t),y=y(t),z=z(t)}是曲线的参数方程正则点P处，t=(x’,y’,z’)是L在P处的切向量，以t为法线的平面称为L在P处的切平面IV.曲面的参数表示法S={x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v)}是曲面的参数表示法取通过正则点P的v-曲线S{u=u0}和u-曲线S{v=v0}，在正则点处取切向量，t1=(xu,yu,zu)，t2=(xv,yv,zv)，正则点处的法向量必与t1、t2垂直，可以取n=t1×t2P点处的切平面T可以直接用u、v的参数表示T:X-X0=J(X).(u-u0,v-v0)，具体就是x-x0=xu(u-u0)+xv(v-v0)y-y0=yu(u-u0)+yv(v-v0)z-z0=zu(u-u0)+zv(v-v0)V.曲线的标准表示法两个曲面F(x,y,z)=0与G(x,y,z)=0的公共解可以确定它们的交线L。正则点P处，L的切向量应该与F的法向量n1、G的法向量n2都垂直，可以取t=n1×n2Taylor公式、函数的极值与最值、Lagrange乘子法定义函数f(X)在X0点的Hessian：H(f)|X0:=H(f(X0)):=H(X0)=(∂2f/∂xi∂xj)n*n精品文档精品文档Taylor定理：f(X0+ΔX)=f(X0)+∇f(X0).ΔX+1/2(ΔX)T.H(X0+θΔX).(ΔX)(0=θ=1)f(X0+ΔX)=f(X0)+∇f(X0).ΔX+1/2(ΔX)T.H(X0).(ΔX)+o(||ΔX||2)Sketchofproof:f在B(X0)内二阶可微，在B(X0)内任取X=X0+ΔX，令g(t)=f(X0+θΔX)，g’(t)=∇f(X0).ΔX，g’’(t)=(ΔX)T.H(X0+θΔX).(ΔX)，直接应用一元Taylor公式即可。极值若X0处有∇f(X0)=0，则称X0是f的一个驻点在驻点X0处，如果有H(X0)正定，则X0是f的极小值；如果H(X0)负定，X0是f的极大值，否则X0是f的鞍点Sketchofproof:X0附近，f(X0+ΔX)-f(X0)=∇f(X0).ΔX+1/2(ΔX)T.H(X0).(ΔX)+o(||ΔX||2)，而由驻点条件∇f(X0).ΔX=0，o(||ΔX||2)是无穷小，在足够小的区域内(ΔX)T.H(X0).(ΔX)决定了函数值变化的符号，如果它恒正，那么H(X0)是正定矩阵；恒负，H(X0)是负定矩阵。说明：(1)由线性代数的知识，如果A的所有特征值均为正，A正定；A的特征值均为负，A负定，而且设A的最小、最大特征值为λ、Λ，那么λX.X=XTAX=ΛX.X(2)特殊地，如果H(X0)是二阶方阵，那么|H|0时H可定，其中∂2f/∂x1∂x10时H正定，∂2f/∂x1∂x10时H负定，∂2f/∂x1∂x1=0，H不定Lagrange乘子法若f在Ω内连续可微，则f的最值点一定在驻点或者∂Ω处取得。单独的点处f的值易求，精品文档精品文档连续边集内f的最值可由下述Lagrange乘子法求得：对于函数z=f(X)在限制条件Φ(X):=(φ1(X),…,φm(X))=0下的极值，若∂Φ/∂X满秩，定义Lagrange乘子函数L(X,Λ):=L(X,λ1,…,λm)=f(X)+Λ.Φ(X)=f(X)+∑λiφi(X)(i=1,…,m)，f的极值点一定取在L的驻点处。注意：1.限制条件是Φ(X)=0，如果右侧不是零向量，不要忘记移项2.如果限制条件Φ(X)=0构成了“流形”（有界无边），那么f的最值点一定取在L的驻点处含参积分多元函数的连续性：对于Ω上的函数f，∀ε0,X0∊Ω,∃δ=δ(ε,X0)0s.t.|f(X)-f(X0)|ε∀X∊B(δ,X0)若δ与X0无关，则称f在Ω上一致连续多元函数的一致连续性：∀ε0,∃δ=δ(ε)0s.t.∀X,X’∊Ω,若|X-X’|δ则|f(X)-f(X’)|ε说明：1.与一元微积分相似，若Ω是有界闭集且f在Ω上连续，则f在Ω上一致连续2.连续性条件中的δ与X无关，或者说对于∀X∊Ω都有同一个δ，则f一致连续精品文档精品文档设f(x,y)在Q=[a,b]×[c,d]上有定义，则称∫c,df(x,y)dy为含参积分，x是参变量，y是积分变量定义三维几何体∑={(x,y,z)|(x,y)∊Q,z=f(x,y)}，∑的体积V=∫a,bSdx,S(x)=∫c,df(x,y)dy,那么V=∫a,b(dx∫c,df(x,y)dy)是积分的几何意义常用含参积分：Γ(x)=∫0,+∞e-ttx-1dtΒ(x,y)=∫0,1tx-1(1-t)y-1dt广义含参积分：含参积分的性质：令I(x)=∫c,df(x,y)dy，x∊[a,b]，D=[a,b]×[c,d]1.若f(x,y)在D上连续，则I(x)在D上连续2.若f(x,y)和∂f/∂x在D上都连续，则I(x)在[a,b]上可微，且I’(x)=∫c,d(∂f/∂x)dy2’.(推广形式)若f(x,y)和∂f/∂x在D上都连续，则ι=∫α(x),β(x)f(x,y)dy可微，且ι’(x)=f(x,β(x))β’(x)–f(x,α(x))α’(x)+∫α(x),β(x)(∂f(x,y)/∂x)dy3.∫a,b(dx∫c,df(x,y)dy)=∫c,d(dy∫a,bf(x,y)dx)常用广义含参积分：精品