清华大学微积分A笔记(下)

二重积分换元：𝑑𝑥𝑑𝑦=‖𝜕(𝑥,𝑦)𝜕(𝑢,𝑣)‖𝑑𝑢𝑑𝑣常用：极坐标变换{𝑥=𝑟cos𝜃𝑦=𝑟sin𝜃,dxdy=rdrdθ,θ∈[0,2π]椭圆极坐标变换{x=𝑎𝑡cos𝜃𝑦=𝑏𝑡cos𝜃,dxdy=𝑎𝑏𝑡dtdθ,θ∈[0,2π]三重积分换元：𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧=‖𝜕(𝑥,𝑦,𝑧)𝜕(𝑢,𝑣,𝑤)‖𝑑𝑢𝑑𝑣𝑑𝑤常用：柱坐标变换{𝑥=𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃𝑦=𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃𝑧=𝑧,dxdydz=rdrdθdz,θ∈[0,2π]球坐标变换{𝑥=𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜑𝑦=𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃𝑠𝑖𝑛𝜑𝑧=𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃,dxdydz=r2sinθdrdθdφ,θ∈[0,π],φ∈[0,2π]椭球坐标{x=atsinθcosφy=btsinθsinφz=ctcosθ,dxdydz=abcsinθdtdθdφ第一类曲线积分：标量在曲线上不分方向的积分∫𝒇(𝒓⃗)𝒅𝒍𝐋计算方法：1.化为定积分二维下x=x(t),y=y(t),则∫𝑓(𝑟)𝑑𝑙L=∫𝑓(𝑟)√𝑥′(𝑡)2+𝑦′(𝑡)2𝑑𝑡2.注意对称性第一类曲面积分：标量在曲面上不分方向的积分计算方法：1.化为二重积分|𝑖̂𝑗̂𝑘̂𝑥𝑢′𝑦𝑢′𝑧𝑢′𝑥𝑣′𝑦𝑣′𝑧𝑣′|=𝐴𝑖̂+Bĵ+Ck̂是曲面S:{𝑥=𝑥(𝑢,𝑣)𝑦=𝑦(𝑢,𝑣)𝑧=𝑧(𝑢,𝑣)的一个法向量，在S上的面元dS=√𝐴2+𝐵2+𝐶2𝑑𝑢𝑑𝑣如果将S向xOy面上投影，n̂是S的单位法向量，则dS=dxdyn̂.ẑ即dxdy=cos𝜃𝑑𝑆，其中θ是法向量与z轴的夹角第二类曲线积分：向量在定向曲线上沿切向量的积分计算方法：1.化为定积分：∫𝐹(𝑥,𝑦,𝑧)𝑑𝑙⃗⃗⃗=∫𝑋(𝑥,𝑦,𝑧)𝑑𝑥+𝑌(𝑥,𝑦,𝑧)𝑑𝑦+𝑍(𝑥,𝑦,𝑧)𝑑𝑧𝐵𝐿(𝐴)BL(A)2.化为第一类曲线积分：∫𝐹(𝑥,𝑦,𝑧)𝑑𝑙⃗⃗⃗=∫(𝐹(𝑥,𝑦,𝑧).𝑡̂)𝑑𝑙𝐵𝐿(𝐴)BL(A),其中t̂是曲线的切线方向,t̂𝑑𝑙=(𝜕𝑥𝜕𝑡,𝜕𝑦𝜕𝑡,𝜕𝑧𝜕𝑡)𝑑𝑡3.用Stokes公式转化为第一类曲面积分∮𝐹(𝑥,𝑦,𝑧)𝑑𝑙⃗⃗⃗BL(A)=∬∇×F⃗𝑑𝑆𝐷,其中曲线的旋转方向必须使得D始终在曲线左侧。若曲线不闭合，选择计算简便的路径使之闭合3’.二维情况：Green公式∮𝑋𝑑𝑥+𝑌𝑑𝑦=∬∇×𝑉⃗𝑑𝑥𝑑𝑦=∬(𝜕𝑌𝜕𝑥−𝜕𝑋𝜕𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦𝐷,其中V⃗⃗=𝑋𝑖̂+𝑌𝑗̂𝐷∂D特别地，S=∬𝑑𝑥𝑑𝑦D=∮𝑥𝑑𝑦−𝑦𝑑𝑥𝜕𝐷4.对于与路径无关的曲线积分可以从1.式中凑积分凑积分公式：𝑑arctanyx=𝑥𝑑𝑦−𝑦𝑑𝑥𝑥2+𝑦2dk√𝑥2+𝑦2+𝑧2=−𝑘(𝑥𝑑𝑥+𝑦𝑑𝑦+𝑧𝑑𝑧)(𝑥2+𝑦2+𝑧2)32第二类曲面积分：向量在定向曲面上沿法向量的积分（向量场在曲面上的通量）计算方法：1.化为第一类曲面积分：∬𝑉⃗.𝑑𝑆⃗⃗⃗⃗=∬𝑉⃗.𝑛̂𝑑𝑆𝑠=∬𝑉⃗.(𝐴𝑖̂+𝐵𝑗̂+𝐶𝑘̂)𝑑𝑢𝑑𝑣S,其中n̂是曲面沿定向的单位法向量S+2.化为二重积分∬𝑉⃗.𝑑𝑆⃗⃗⃗⃗=S+∬𝑋(𝑥,𝑦,𝑧)𝑑𝑦∧𝑑𝑧+𝑌(𝑥,𝑦,𝑧)𝑑𝑧∧𝑑𝑥+𝑍(𝑥,𝑦,𝑧)𝑑𝑥∧𝑑𝑦S其中若S+的定向与x轴正方向成锐角则dy∧dz=dydz，成钝角则dy∧dz=−dydz计算∬𝑋(𝑥,𝑦,𝑧)𝑑𝑦∧𝑑𝑧S时，可以使用曲面方程消去x=x(y,z)，然后用平面上的积分方法来求，这样𝑑𝑦𝑑𝑧可以使用记忆的平面的公式化为参数形式带wedge的二重积分也可以转化成第二类曲面积分来做3.用Gauss公式转化为三重积分∯𝑉⃗.𝑑𝑆⃗⃗⃗⃗=S+∭∇.𝑉⃗𝑑𝑉V，其中S的定向向外，若曲面不闭合，选取面使之闭合比较：定积分换元du=u′(x)dx曲线积分换元d𝑙=√𝑥′(𝑡)2+𝑦′(𝑡)2𝑑𝑡=|𝑡|𝑑𝑡d𝑙⃗⃗⃗=𝑡̂d𝑙=𝑡d𝑡,其中𝑡=(𝑥′(𝑡),𝑦′(𝑡))二重积分换元dxdy=‖𝜕(𝑥,𝑦)𝜕(𝑢,𝑣)‖𝑑𝑢𝑑𝑣=‖𝑥𝑢′𝑦𝑢′𝑥𝑣′𝑦𝑣′‖曲面积分换元d𝑆=√𝐴2+𝐵2+𝐶2d𝑢d𝑣=|n⃗|dudvdS⃗⃗⃗⃗=𝑛̂𝑑𝑆=𝑛⃗d𝑢d𝑣,其中𝑛⃗=(𝐴,𝐵,𝐶)=|𝑖̂𝑗̂𝑘̂𝑥𝑢′𝑦𝑢′𝑧𝑢′𝑥𝑣′𝑦𝑣′𝑧𝑣′|三重积分换元dxdydz=‖∂(x,y,z)∂(u,v,w)‖𝑑𝑢𝑑𝑣𝑑𝑤附录：常用坐标系极坐标系{𝑥=𝑟cos𝜃𝑦=𝑟sin𝜃,θ∈[0,2π]面积元dS=dxdy=rdrdθ常用积分限：过原点的圆,x2+y2≤a2→r∈[0,a],θ∈[0,2π]过(0,a)且半径为a的圆𝑥2+𝑦2≤2𝑎𝑦→θ∈[0,π],r∈[0,2asinθ]r=R的弧元dl=rdθ对于圆周x2+y2=2ay上的曲线积分，可以套用极坐标换元𝑟=2𝑎sin𝜃,{𝑥=2𝑎sin𝜃cos𝜃𝑦=2𝑎𝑠𝑖𝑛𝜃sin𝜃,𝜃∈[0,𝜋]，此时需要重新计算弧元。也可以用三角换元{𝑥=𝑎cos𝜃𝑦=𝑎(sin𝜃+1),𝜃∈[0,2𝜋]，而且平移变换不会改变弧元𝑑𝑙=𝑎d𝜃柱坐标系{𝑥=𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃𝑦=𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃𝑧=𝑧,𝜃∈[0,2𝜋]体积元dV=dxdydz=rdrdθdzr=R的柱面面积元dS=Rdθdz球坐标系{𝑥=𝑟sin𝜃cos𝜑𝑦=𝑟sin𝜃sin𝜑𝑧=𝑟cos𝜃,𝜃∈[0,𝜋],𝜑∈[0,2𝜋]体积元dV=dxdydz=r2sin𝜃𝑑𝑟𝑑𝜃𝑑𝜑常用积分限：过原点的球x2+y2+z2≤a2→r∈[0,a],θ∈[0,π],φ∈[0,2π]过(0,0,a)的球x2+y2+z2≤2az→θ∈[0,π2],φ∈[0,2π],r∈[0,2acosθ]r=R的球面面积元dS=R2sinθ𝑑𝜃𝑑𝜑θ=θ0的圆锥面面积元dS=rsin𝜃0𝑑𝑟𝑑𝜑φ=φ0的垂直面面积元dS=rdrdθ向xOy面上投影，{𝑥=𝑟sin𝜃cos𝜑𝑦=𝑟sin𝜃sin𝜑,dxdy=rsinθd(rsin𝜃)dφ椭球坐标{x=atsinθcosφy=btsinθsinφz=ctcosθ体积元dV=dxdydz=abcsinθdtdθdφ对于椭球上的问题，更自然的方法是作换元{p=xa,q=yb,s=zc}，这样积分会变为单位球p2+q2+r2=1上的问题常见积分公式∫sin2𝑥cos2𝑥𝑑𝑥=𝑥8−sin4𝑥32∫𝑑𝑥𝑥2+𝑎2=1𝑎arctan𝑥𝑎+C∫𝑑𝑥𝑏2𝑥2+𝑎2=1𝑎𝑏arctan𝑏𝑎𝑥+𝐶∫𝑑𝑥√𝑎2−𝑥2=arcsin𝑥𝑎∫√𝑥2±𝑎2𝑑𝑥=12𝑥√𝑥2±𝑎2±12𝑎2ln(𝑥+√𝑥2±𝑎2)+𝐶∫tan𝑥𝑑𝑥=−lncos𝑥