上海财经大学2011年-数理统计试卷答案

诚实考试吾心不虚，公平竞争方显实力，……………………………………………………………装订线…………………………………………………考试失败尚有机会，考试舞弊前功尽弃。上海财经大学《概率论与数理统计II》课程考试卷（A）闭卷课程代码101182课程序号10052011--2012学年第一学期标准答案一、填空题(每小题3分，共计30分)得分1．为了了解某专业本科毕业生的就业情况，我们随机调查了某地区30名2009年毕业的该专业本科生实习期满后的月薪情况。那么研究总体是某专业本科毕业生的就业情况,样本是某地区30名2009年毕业的该专业本科生实习期满后的月薪情况。2．若从某总体中抽取容量为13的样本0,1.2,21.3,1.0,2.1,0.2,22.2,4,2.1,1.0,0,2.3,1.2−−−−−则样本中位数为0，极差为7.21。若再加一个构成一个容量为147.2的样本，此时样本的中位数为0.6。3.设和Y是分别来自两个独立总体nXXX,,,21LmYY,,,21L)1,(μN和)4,(μN的样本，记μ的一个无偏估计为，则和应满足条件∑∑==+=mjjniiYbXaT11ab1=+bman，当=amn+44，=bmn+41时，T最有效。4．设是正态总体的一个样本,记921,,,XXXL,/)(,)(21),(31),(61219722298726211SYYCZYXSXXXYXXXYii−=−=++=+++=∑=L则当=C2时，统计量Z服从t分布，参数为2。5．u检验和检验都是关于均值t的假设检验，当方差已知时，1用u检验，当方差未知时，用t检验。6．设是分布总体nXXX,,,21L),(2σμNX的样本，其中均为未知参数。记2,σμX与分别为样本样本均值与样本方差，则概率的极大似然估计量为2nS)2(XP)2(1nSX−Φ−。……………………………………………………………装订线…………………………………………………7．测量铝的比重16次，得样本均值205.2=x，无偏样本标准差。设测量结果服从正态分布029.0=s2(,)Naσ，参数2,aσ未知，则铝的比重的置信度为95%的置信区间为a]2277.2,1823.2[)]15([2/1=±−αtnSX。8．设总体X服从正态分布,),(2σμNμ未知,已知,为使总体均值2σμ的α−1置信区间的长度不大于L,样本容量至少应取为22/1)2(Luσα−。9．设是来自总体的一个样本,1121,,XXXL),(2σμN2111)(XXQii−=∑=为样本偏差平方和,则其方差=)(QD420σ。10.一支香烟中的尼古丁含量X服从正态分布)1,(μN，质量标准规定μ不能超过。现从某厂生产的香烟中随机抽取20支测得其中平均每支香烟的尼古丁含量为，则为检验该厂生产的香烟尼古丁含量是否符合质量标准的规定，由上述观察值可得检验的值为0.0179mg5.1mg97.1p。二、计算题（共计70分）1．设12,,,nXXXL是密度函数为的总体的样本,求未知参数θθθ≥=−−xexfx,);()(),(∞+−∞∈θ的矩估计量和极大似然估计量。(本题满分10分)得分解：由θ+=1EX可得矩估计量为1−X。2由θθθ≥−−=∑)1(,)}(exp{)(xxLii可知，要似然函数达最大需θ达最小，从而其极大似然估计量为。)1(X2．设12,,,nXXXL为总体),0(θU的一个样本，0θ未知。试比较θ的两个估计量X2和，讨论它们的无偏性、有效性和相合性。(本题满分10分))(nX解：由θ=]2[XE可知前者是无偏的，由nXVar3)2(2θ=可知其相合性。由密度函数nnxnxθ1−a，θ1][)(+=nnXEn可知其有偏性，修正为)(1'nXnn+=θ，由22)(2θ+=nnEXn可得其方差为22)()2()1()(θ++=nnnXVarn，nXVarnnVar3)2()2(1)'(22θθθ=+=可知)(1'nXnn+=θ更有效。3.设12,,,nXXXL为总体)1,(μN的样本，对假设2:,1:10==μμHH,确定拒绝域为}5.1{=XW，求（1）此时犯第一类错误的概率α和犯第二类错误的概率β，（2）若9=n的样本值为1.8,1.7,1.4,1.5,1.9,2.0,1.7,1.7,1.6，问是否成立。(本题满分12分)0H解：（1）当成立时，0H)1,0(~)1(NXn−，所以)5.0(1)5.1(0nXPΦ−==α，当成立时，1H)1,0(~)2(NXn−，所以3)5.0(1)5.0()5.1(1nnXPΦ−=−Φ=≤=β。（2）因为5.17.1=x所以拒绝。0H4．比较两种安眠药的疗效，对分别抽取10位失眠者为试验对象，设分别为使用后延长的睡眠时间（单位：h），计算两组样本数据的样本均值和样本方差分别为BA,BA,YX,BA,201.3,75.0;132.4,33.22221====sysx，假设分别为正态总体，试问疗效有无显著差异。(本题满分10分)YX,),(),,(222211σμσμNNBA,解：（1）先做方差齐一性检验。拒绝域为}25.003.4/1)9,9(/{}03.4)9,9(/{025.02221975.02221==∪=FSSFSS，而，可以认为方差相等。03.429.1/25.02221=SS（2）检验211210:,:μμμμ≠=HH，拒绝域为⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+−=8784.2)18(11||995.021tnnSYXTw而8784.2845.1=T，所以认为无显著差异。5.设12,,,nXXXL为总体θθθ≥=xxxp,),(2的一个样本，试求参数θ的α−1单侧置信下限。(本题满分10分)解：（1）由数值解法θ的极大似然估计量为；)1(X（2）由总体的分布函数可得，的密度函数为⎩⎨⎧≥−=θθθxxxxF,/1,0)()1(Xθθθ≥=−=+−yynyFynpygnnn,))(1)((),(114其分布函数为；θθθ≥−=yyyGnn,/1),(（3）因为),(θyG关于θ严减，故令αθ−=1),()1(LXG得)1(XnLαθ=。6．下表是1976至1977年间在美国佛罗里达州29个地区发生的凶杀案中被告人被判死刑的情况：……………………………………………………………装订线…………………………………………………判死刑不判死刑白人30184黑人6106是否可以认为被害人肤色不同不会影响对被告的死刑判决（0.05α=）。(本题满分8分)解：此问题为22×列联表独立性检验，相应拒绝域为，而)}1({212αχχ−≥n841.3422.511221429036)184610630(32622≈××××−×=nχ所以认为有关系。7.按Mendel遗传定律，让开淡花的豌豆随机交配，子代可开出红花、淡红花和白花三类，其比例为1:2:1。为检验这一理论，安排一次试验得到三种颜色的株数分别为26、66、28，试检验这些数据与Mendel定律是否一致（0.05α=）。(本题满分12分)解：设开三种颜色的花的概率分别为，则需检验321,,ppp4/1,2/1,4/1:3210===pppH检验统计量为∑=−=310202)(iiiinnpnpnχ，相应拒绝域为，而)}13({212−≥−αχχn991.5267.12=nχ所以认为二者一致。附：1199.2)16(975.0=t，，1315.3)15(975.0=t9756.0)97.1(=Φ，0301.2)35(975.0=t，，0281.2)36(975.0=t9821.0)10.2(=Φ，,067.14)7(,592.12)6(295.0295.0==χχ99.0)326.2(=Φ，.841.3)1(,991.5)2(295.0295.0==χχ9332.0)5.1(=Φ5