恒成立问题习题

第1页（共5页）2017年12月2日数学试卷一、选择题（共2小题；共10分）1.已知，若恒成立，则的取值范围为A.B.C.D.2.已知，若恒成立，则的取值范围为A.B.C.D.二、填空题（共2小题；共10分）3.若对任意正实数，不等式恒成立，则实数的最小值为．4.若对于，恒成立，则的取值范围是．三、解答题（共6小题；共78分）5.已知函数．（1）当时，恒成立，求实数的取值范围．（2）当时，恒成立，求实数的取值范围．6.（1）若不等式对于一切恒成立，求的取值范围；（2）若不等式对于一切恒成立，求的取值范围．7.已知，，且．（1）若恒成立，求的取值范围；（2）若恒成立，求的取值范围．8.设函数．（1）若不等式恒成立，求实数的取值范围；（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围．9.设函数．（1）若对于一切实数，恒成立，求的取值范围；（2）对于，恒成立，求的取值范围．10.已知．（1）求的单调区间；（2）当时，求证：对于，恒成立；（3）若存在，使得当时，恒有成立，试求的取值范围．第2页（共5页）答案第一部分1.A2.A第二部分3.【解析】因为对任意正实数，不等式恒成立，所以等价于，所以，，，所以实数的最小值为．4.【解析】由题意恒成立，，所以．第三部分5.（1），，解得：.（2），对称轴，所以：无解；或解得：；或解得：.综上，.6.（1）由已知可得对一切恒成立，第3页（共5页）设，则，当且仅当时，取到最小值，所以的取值范围是．（2）因为，则可把原式看作关于的函数，即，由题意可知，解之得，所以的取值范围是．7.（1）因为，，且，所以，当且仅当时“”成立，由恒成立，故．（2）因为，，所以，若恒成立，则，当时，不等式化为，解得，当，不等式化为，解得，当时，不等式化为，解得．综上所述的取值范围为．8.（1）当时，恒成立，当时，要保证恒成立，即的最小值，解得，故．（2）由题意可知，函数的图象恒在直线的上方，画出两个函数图象可知，当时，符合题意，当时，只需满足点不在的下方即可，所以，即．综上，实数的取值范围是．9.（1）要恒成立，若，显然；若，则．所以的取值范围为．（2）要恒成立，就要使，．第4页（共5页）令，．当时，是增函数，所以．所以，解得．所以．当时，恒成立．当时，在上是减函数．所以，解得，所以．综上所述，．10.（1）当时，所以．解得．当时，解得．所以单调增区间为，单调减区间为．（2）设当时，由题意，当时，恒成立．所以当时，恒成立，单调递减．又所以当时，恒成立，即．所以对于，恒成立．（3）因为．由⑵知，当时，恒成立，即对于，，不存在满足条件的；当时，对于，，此时．所以，即恒成立，不存在满足条件的；当时，令，可知与符号相同，第5页（共5页）为一开口向下的抛物线，且当时，.又，所以必存在，使得.当时，，，单调递增；当时，，，单调递减．当时，，即恒成立．综上，的取值范围为．