上海(理科)历年高考数学试卷及答案(2011-2015)-答案

12011年上海高考数学参考答案一、空题1．12x；2．{|01}xx；3．16；4．0x或12x；5．25arccos5；6．6；7．33；8．234；9．2；10．6；11．152；12．0.985；13．[15,11]；14．3。二、择题15．D；16．A；17．B；18．D。三、答题19．解：1(2)(1)1zii12zi………………（4分）设22,zaiaR，则12(2)(2)(22)(4)zziaiaai，………………（12分）∵12zzR，∴242zi………………（12分）20．解：⑴当0,0ab时，任意1212,,xxRxx，则121212()()(22)(33)xxxxfxfxab∵121222,0(22)0xxxxaa，121233,0(33)0xxxxbb，∴12()()0fxfx，函数()fx在R上是增函数。当0,0ab时，同理，函数()fx在R上是减函数。⑵(1)()2230xxfxfxab当0,0ab时，3()22xab，则1.5log()2axb；当0,0ab时，3()22xab，则1.5log()2axb。21．解：设正四棱柱的高为h。⑴连1AO，1AA底面1111ABCD于1A，∴1AB与底面1111ABCD所成的角为11ABA，即11ABA∵11ABAD，1O为11BD中点，∴111AOBD，又1111AOBD，∴11AOA是二面角111ABDA的平面角，即11AOA∴111tanAAhAB，111tan22tanAAhAO。A1B1C1D1ABCDO12（⑵建立如图空间直角坐标系，有11(0,0,),(1,0,0),(0,1,0),(1,1,)AhBDCh11(1,0,),(0,1,),(1,1,0)ABhADhAC设平面11ABD的一个法向量为(,,)nxyz，∵111100nABnABnADnAD，取1z得(,,1)nhh∴点C到平面11ABD的距离为22||043||1nAChhdnhh，则2h。22．⑴12349,11,12,13cccc；⑵①任意*nN，设213(21)66327nkannbk，则32kn，即2132nnab②假设26627nkanbk*132knN（矛盾），∴2{}nnab∴在数列{}nc中．但不在数列{}nb中的项恰为242,,,,naaa。⑶32212(32)763kkbkka，3165kbk，266kak，367kbk∵63656667kkkk∴当1k时，依次有111222334,,,bacbcacbc，……∴*63(43)65(42),66(41)67(4)nknkknkckNknkknk。23．解：⑴设(,3)Qxx是线段:30(35)lxyx上一点，则22259||(1)(4)2()(35)22PQxxxx，当3x时，min(,)||5dPlPQ。⑵设线段l的端点分别为,AB，以直线AB为x轴，AB的中点为原点建立直角坐标系，则(1,0),(1,0)AB，点集D由如下曲线围成12:1(||1),:1(||1)lyxlyx，222212:(1)1(1),:(1)1(1)CxyxCxyx其面积为4S。zyxA1B1C1D1ABCDO11-1-11yxOBA3⑶①选择(1,3),(1,0),(1,3),(1,0)ABCD，{(,)|0}xyx②选择(1,3),(1,0),(1,3),(1,2)ABCD。2{(,)|0,0}{(,)|4,20}{(,)|10,1}xyxyxyyxyxyxyx③选择(0,1),(0,0),(0,0),(2,0)ABCD。{(,)|0,0}{(,)|,01}xyxyxyyxx2{(,)|21,12}{(,)|4230,2}xyxyxxyxyx2012年上海高考数学(理科)试卷解答一、填空题(本大题共有14题，满分56分)1.计算：ii13=1－2i(i为虚数单位).[解析]iiiiiiii212413)1)(1()1)(3(13.2.若集合}012|{xxA，}21|{xxB，则BA=)3,(21.[解析]),(21A，)3,1(B，A∩B=)3,(21.3.函数1sincos2)(xxxf的值域是],[2325.[解析]xxxxf2sin2cossin2)(21],[2325.4.若)1,2(n是直线l的一个法向量，则l的倾斜角的大小为arctan2(结果用反三角函数值表示).[解析]方向向量)2,1(d，所以2lk，倾斜角=arctan2.5.在6)2(xx的二项展开式中，常数项等于－160.ODCBA31-1yx-2xy-113ABCDODB=CA122.5yx4[解析]展开式通项rrrrrrrrrrxCxxCT2666612)1(2)1(，令6－2r=0，得r=3，故常数项为1602336C.6.有一列正方体，棱长组成以1为首项，21为公比的等比数列，体积分别记为V1,V2,…,Vn,…，则)(lim21nnVVV78.[解析]易知V1,V2,…,Vn,…是以1为首项，3为公比的等比数列，所以78121811)(limVnnVVV.7.已知函数||)(axexf(a为常数).若)(xf在区间[1,+)上是增函数，则a的取值范围是(－,1].[解析]令||)(axxg，则)()(xgexf，由于底数1e，故)(xf↑)(xg↑，由)(xg的图像知)(xf在区间[1,+)上是增函数时，a≤1.8.若一个圆锥的侧面展开图是面积为2的半圆面，则该圆锥的体积为33.[解析]如图，2221ll=2，又2r2=l=2r=1，所以h=3，故体积33231hrV.9.已知2)(xxfy是奇函数，且1)1(f.若2)()(xfxg，则)1(g－1.[解析]2)(xxfy是奇函数，则4]1)1([)1()1(22ff，所以3)1(f，1.10.如图，在极坐标系中，过点)0,2(M的直线l与极轴的夹角6.若将l的极坐标方程写成)(f的形式，则)(f)sin(16.[解析])0,2(M的直角坐标也是(2,0)，斜率31k，所以其直角坐标方程为23yx，化为极坐标方程为：2sin3cos，1)sincos(2321，1)sin(6，)sin(16，即)(f)sin(16.(或)(f)cos(13)11.三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是32(结果用最简分数表示).[解析]设概率p=nk，则27232323CCCn，求k，分三步：①选二人，让他们选择的项目相同，有23C种；②确定上述二人所选择的相同的项目，有13C种；③确定另一人所选的项目，有12C种.所以18121323CCCk，故p=322718.12.在平行四边形ABCD中，∠A=3,边AB、AD的长分别为2、1.若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足||||||||CDCNBCBM，则ANAM的取值范围是[2,5].[解析]如图建系，则A(0,0)，B(2,0)，D(21,23)，C(25,23).设tCDCNBCBM||||||||[0,1]，则tBM||，tCN2||，所以M(2+2t,23t)，N(25－2t,23)，故ANAM=(2+2t)(25－2t)+23t23=)(6)1(5222tfttt，因为t[0,1]，所以f(t)递减，(ANAM)max=f(0)=5，(ANAM)min=f(1)=2.[评注]当然从抢分的战略上，可冒用两个特殊点：M在B(N在C)和M在C(N在D)，而本案恰是在这两点处取得最值，蒙对了，又省了时间!出题大虾太给蒙派一族面子了!xOMlPOrlhPl2rxyABCDMN513.已知函数)(xfy的图像是折线段ABC，若中A(0,0)，B(21,5)，C(1,0).函数)10()(xxxfy的图像与x轴围成的图形的面积为45.[解析]如图1，1,10100,10)(2121xxxxxf，所以1,10100,10)(212212xxxxxxxfy，易知，y=xf(x)的分段解析式中的两部分抛物线形状完全相同，只是开口方向及顶点位置不同，如图2，封闭图形MND与OMP全等，面积相等，故所求面积即为矩形ODMP的面积S=452521.[评注]对于曲边图形，上海现行教材中不出微积分，能用微积分求此面积的考生恐是极少的，而对于极大部分考生，等积变换是唯一的出路。14.如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC=2.若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是12232cac.[解析]作BE⊥AD于E，连接CE，则AD⊥平面BEC，所以CE⊥AD，由题设，B与C都是在以AD为焦距的椭球上，且BE、CE都垂直于焦距AD，所以BE=CE.取BC中点F，连接EF，则EF⊥BC，EF=2，1221BEEFBCSBEC，四面体ABCD的体积123231BESADVcBEC，显然，当E在AD中点，即B是短轴端点时，BE有最大值为b=22ca，所以12232maxcaVc.[评注]本题把椭圆拓展到空间，对缺少联想思维的考生打击甚大!当然，作为填空押轴题，区分度还是要的，不过，就抢分而言，胆大、灵活的考生也容易找到突破点：AB=BD(同时AC=CD)，从而致命一击，逃出生天!二、选择题(本大题共有4题，满分20分)15.若i21是关于x的实系数方程02cbxx的一个复数根，则(B)(A)3,2cb.(B)3,2cb.(C)1,2cb.(D)1,2cb.[解析]实系数方程虚根成对，所以i21也是一根，所以－b=2，c=1+2=3，选B.16.在ABC中，若CBA222sinsinsin，则ABC的形状是(C)(A)锐角三角形.(B)直角三角形.(C)钝角三角形.(D)不能确定.[解析]由条件结合正弦定理，得222cba，再由余弦定理，得0cos2222abcbaC，所以C是钝角，选C.17.设443211010xxxx，5510x.随机变量1取值1x、2x、3x、4x、5x的概率均为0.2，随机变量2取值221xx、232xx、243xx、254xx、215xx的概率也为0.2.若记1D、2D分别为1、2的方差，则(A)(A)1D2D.(B)1D=2D.(C)1D2D.(D)1D与2D的大小关系与1x、2x、3x、4x的取值有关.[解析])(2.0543211xxxxxE=t，2221(2.0xxE+232xx+243xx+254xx+215xx)=t，xyABC15图1NxyODM15P图2ABCDEADBEC6211)[(2.0txD+22)(tx+23)(tx+24)(tx+25