拓扑学基础

拓扑空间学习课件拓扑是英文Topology的音译，Topology一词有时指拓扑，有时指研究有关拓扑的整个学科。拓扑学是数学中一个重要的、基础的分支学科，起初它是几何学的一个分支，研究几何图形在连续变形（拓扑变换）下保持不变的性质，后来发展为研究连续性现象的数学分支。拓扑学发展到近代形成了互相联系的几个分支，即一般拓扑学、代数拓扑学、微分拓扑学与几何拓扑学等多个分支。目前，拓扑学的概念、理论和方法已经广泛地渗透到现代数学以及临近学科的许多领域中，并且有了日益重要的应用。研究拓扑空间的自身结构与其间的连续映射的学科，称为一般拓扑学，也称为点集拓扑学，是拓扑学的基础。本部分介绍一般拓扑学的基本内容，并为进一步学习有关其它课程提供必要的基础知识。第一章拓扑空间及其相关概念拓扑空间的概念产生于对实直线,欧氏空间以及这些空间上的连续函数的研究,它是欧氏空间的一种推广.本章介绍拓扑空间的概念,给出与拓扑空间相关的一些重要的拓扑概念的定义,以及它们的性质.§１.１拓扑,拓扑空间1拓扑、拓扑空间的定义有多种等价形式.这里采用比较简洁也是目前最为流行的方式给出拓扑、拓扑空间的定义.定义设X是非空集,Τ是集合X的一个子集族,若满足(1)Ø,X∈Τ;(2)若1,2∈Τ,则1∩2∈Τ;(3)若｛λ|λ∈｝∪Τ(≠Ø),則Λ∈λ∪λ∈Τ,则称Τ为集合X上的一个拓扑或拓扑结构,(X,Τ)称为拓扑空间(当拓扑自明而无需指明时,也称X为拓扑空间),简称为空间,X称为拓扑空间(X,Τ)的基础集,Τ的元素称为(X,Τ)的开集或Τ-开集,X的元素、子集分别称为拓扑空间(X,Τ)的点,点集.根据数学归纳法,由拓扑空间的任意两个开集的交是开集可以得到,任意有限个开集的交是开集.因此,集合X上的拓扑Τ即是集合X的一个子集族Τ,这个子集族Τ包含Ø与X,并且对“有限交”(即Τ的有限个元素的交)、“任意并”(即Τ的任意个元素的并)运算封闭.例1设X是非空集,Τ=｛Ø,X｝,则Τ是集合X上的拓扑,称为集合X上的平凡拓扑,(X,Τ)称为平凡拓扑空间.例2设X＝｛0,1｝,Τ=｛Ø,｛0｝,｛0,1｝｝,则Τ是集合X上的拓扑,在集合X=｛0,1｝上赋予这一拓扑的拓扑空间,称为西尔宾斯基(SieRpinski)空间.例3设X是非空集,Τ=P(X)(即X的所有子集组成的集族),则Τ是集合X上的拓扑,称为集合X上的离散拓扑,拓扑空间(X,P(X))称为离散拓扑空间.例4设X是非空集,记2Τ=｛|GX-是GX的有限子集｝∪｛Ø｝,则Τ是集合X上的拓扑,称为集合X上的余有限拓扑,拓扑空间(X,Τ)称为余有限拓扑空间.例5设X=｛,,｝,Τ=｛Ø,｛1｝,X｝,Τ2=｛Ø,｛｝,｛,｝,｛,｝,X｝,Τ=｛Ø,｛3｝,｛｝,X｝,则Τ,Τ都是集合12X上的拓扑.所以(X,Τ)与(1X,Τ)都是拓扑空间.因为｛2,｝是Τ－开集,但不是Τ-开集,所以(21X,Τ)与(1X,Τ)是两个不同的拓扑空间,虽然它们的基础集相同.由于｛2｝,｛｝∈Τ,｛3｝∪｛｝=｛,｝Τ,因此Τ不满足定义中条件(3),所以Τ不是集合333X上的拓扑.定义设Τ,Τ是集合12X上的两个拓扑.若Τ1Τ,则称拓扑Τ小于(或粗于)拓扑Τ,并称拓扑Τ大于(或细于)拓扑Τ.21221在一个集合上的拓扑的粗细关系具有传递性,因此一个集合上的所有拓扑依粗细关系构成一个偏序集.平凡拓扑是最粗拓扑,离散拓扑是最细拓扑.§1.2拓扑的基与子基定义设(X,Τ)是拓扑空间,BΤ,若Τ的元素都可表示为B中某些元素的并,即对于G∈Τ,存在⊂GβB使得BGGBβ∈=∪,则称B是拓扑Τ的基或拓扑基,也称为拓扑空间(X,Τ)的基或拓扑基,B3中的元素称为基开集.例1设(X,Τ)是任意拓扑空间,则Τ就是它的基.例2设是非空集,记B={{}|∈X},则B是集合X上的离散拓扑的基.定理1设(X,Τ)是拓扑空间,BΤ,则B是拓扑Τ的基的充分必要条件是对于任意G∈Τ,任意∈,存在∈B,使得GxB∈xBG.定理2设B是非空集X的一个子集族,则B是集合X上的某一拓扑的基的充分必要条件是B满足下列条件(1)X=∪B;(2)对于任意∈B,是B中某些元素的并.21,BB21BB∩若B满足上述两个条件,则集合X上以B为基的拓扑是唯一的,此拓扑称为以B为基生成的集合X上的拓扑.定义设(X,Τ)是拓扑空间,ϕP(X),若ϕ中元素的一切有限交之族,即三{|是ϕ中有限个元素的交}是集合X上的拓扑Τ的基,则称ϕ是拓扑Τ的子基,ϕ中的元素称为子基开集.定理3设X为非空集,ϕP(X),并且X=SSϕ∈∪,则集合X上存在唯一拓扑以ϕ为子基.这个拓扑称为以ϕ为子基生成的集合X上的拓扑.例3设X={,,,},ϕ={{,},{,},{}}P(X),则以ϕ为子基生成的集合上的拓扑是Τ={{,},{,},{},{},Ø,4X,{,,},{,},{,,},{,,}}.§1.3度量空间1．度量空间,度量拓扑定义设是非空集,R为实数集,若映射：×→R,满足（1）对于yx,∈,(yx,)≥0;（2）对于yx,∈,(yx,)=0当且仅当yx=;（3）对于yx,∈,(yx,)=(xy,);（4）对于yx,,∈,(yx,)+(zy,)≥(,)(称为三角不等式),则称是集合上的度量,(yx,)称为与之间的距离,(y,)称为度量空间,称为度量空间(,)的基础集.在不致引起混淆时,简称为度量空间.定义设(,)是度量空间,∈,对于给定的实数ε＞0,集合),(ερaB={∈|(,)＜＝称为以为中心,ε为半径的球形邻域或开球,简称为点的球形邻域或开球.在不致混淆时,记作(,ε).定理1设(,)是度量空间,则集族B={(,)|∈,＞0}是集合上的一个拓扑的基,称这个拓扑为由集合上的度量诱5导的拓扑,记作Τ,也称为度量拓扑.设(,)是度量空间,Τ表示由度量诱导的集合上的拓扑,因此(,Τ)为拓扑空间,并约定:在称度量空间(,)为拓扑空间时,指的是拓扑空间(,Τ).设R是实数集,记R={=(,2,…n)|i∈R,=1,2,…,}.对于任意yx,∈R,记21)(),(iiniyxyxd−=∑=则是R上的度量,称为R上的通常度量或欧氏度量.(R,)是度量空间,称为维欧氏空间,R上的通常度量常常略而不提,并称R为维欧氏空间.1维欧氏空间R通常称为直线或实数空间.2维欧氏空间R通常称为欧氏平面或平面.3维欧氏空间R简称为欧氏空间.23在维欧氏空间(R,)中,以球形邻域族B={(,)|∈R,＞0}为基生成的拓扑,称为R上的通常拓扑或欧氏拓扑,因维欧氏空间是拓扑空间,其拓扑就是欧氏度量诱导的拓扑.2．可度量化空间定义设(,Τ)是拓扑空间,若存在集合上的一个度量使得Τ即是由集合X上的度量诱导的拓扑Τ,即Τ=Τ,则称(,Τ)为可度量化空间.例1设是非空集,定义映射如下：：×→R,6则易证是集合上的度量,称为集合上的离散度量,(,)称为离散度量空间.例2设={,b}.若在集合上赋予平凡拓扑,则此平凡拓扑空间是不可度量化空间.3．等价度量定义设,是集合上的两个度量,若,在集合上诱导相同的拓扑,即Τ=Τ则称与为集合上的等价度量.例3设R是实数集,对于任意),(21xxx=,),(21yyy=∈R2,记1(yx,)={2211,yxyx−−},2(yx,)=2211yxyx−+−则1,2都是R2上的度量,并且它们与集合R2上的通常度量是彼此等价的度量.即度量1,2和诱导的R上同一个拓扑.2§1.4一些重要的拓扑概念1.邻域,邻域系定义设(X,Τ)是拓扑空间,∈aM⊂X,若存在∈Τ,使得G∈Ga⊂M,则称集合M为点的邻域.对于ax∈X,点x的所有邻域构成的集族称为点x的邻域系,记作N.一点的邻域不一定是开集,但开集是它的每一点的邻域,并称开集为它的点的开邻域.x7定理1设(X,Τ)是拓扑空间,又设M⊂X,则M是开集当且仅当M是它的每一点的邻域.即G∈Τ⇔∀x∈,G∈NGx.定理2设(X,Τ)是拓扑空间,对于x∈X,N是点xx的邻域系,则(1)对于任意x∈X,N≠ø,并且对于xM∈N,有xx∈M；(2)若M1,M2∈N,则xM1∩M2∈N；x(3)若M1∈N,则xM⊂W⊂X,则W∈N；x(4)若M1∈N,则存在G∈N,Gxx⊂M使得对于任意y∈,∈NGGy.2.闭包与导集闭集定义设(X,Τ)为拓扑空间,F⊂X,若X-∈Τ,则称为(FFX,Τ)的闭集,或Τ-闭集.定理3设(X,Τ)是拓扑空间,则(X,Τ)的闭集有下列性质:(1)X,Ø都是闭集;(2)有限个闭集的并是闭集;(3)任意个闭集的交是闭集.定义设(X,Τ)是拓扑空间,A⊂X.(1)设x∈X,若对于点x的任意邻域M有M∩A≠Ø,则称点x是集合A的附着点或闭包点;(2)记A={x∈X|x是A的附着点}(或记作clA),则称A为集合A在(X,Τ)中的闭包.定理4设(X,Τ)是拓扑空间,A⊂X,则A={F|∩A⊂F,是(FX,Τ)的闭集},8即A的闭包A是包含A的最小闭集.定理5设(X,Τ)是拓扑空间,A⊂X,则A是(X,Τ)的闭集当且仅当A=A.定理6设(X,Τ)是拓扑空间,又设A,B都是X的任意子集,则(1)∅=,∅X=X;(2)A⊂A;(3)A=A;(4)ABAB=∪∪.定义设(X,Τ)是拓扑空间,A⊂X.(1)设x∈X,若对于点x的任意邻域M有M∩(A-{x})≠∅,则称点x为集合A的聚点或极限点,也称为凝聚点.(2)记={dAx∈X|x是集合A的聚点},则称为集合dAA的导集.定理7设(X,Τ)是拓扑空间,A⊂X,则A=A∪dA.定理8设(X,Τ)是拓扑空间,A⊂X,则A是(X,Τ)的闭集当且仅当dA⊂A例1设X={,,,d},又设abcΤ=｛Ø,X,｛,｝,｛,b,｝,｛b,c,d｝｝,bcac则(X,Τ)是拓扑空间.取A={,b}a⊂X,所以在(X,Τ)中,有={,c,d},dAa(={,b,},)ddAadA=dA∪A=X.9例2在实数空间R中,设A=[0,1)(={x∈R|0≤x＜1}),则A的每一点都是A的聚点.除此之外,1也是A的聚点,并且有=[0,1],dAA=[0,1],其中[0,1]={x∈R|0≤x≤1}.例3在实数空间R中,设A={1n|=1,2,…},n则A只有一点聚点0,并且A=A{0}.∪3．内部,边界定义设(X,Τ)是拓扑空间,A⊂X.（1）设x∈X,若A是点x的邻域,则称点x为集合A的内点;（2）记={0Ax∈X|x是集合A的内点}(或记作intA),则称为集合0AA的内部.定理9设(X,Τ)是拓扑空间,A⊂X,则={G|G0A∪⊂A,G∈Τ}.即A的内部是包含在0AA中的最大开集.定理10设(X,Τ)是拓扑空间,A⊂X,则A是(X,Τ)的开集当且仅当A=.0A定理11设(X,Τ)是拓扑空间,又设A,B都是X的任意子集,则(1)=Ø,0∅0X=X;(2)0A⊂A;(3)=;00()A0A(4)()=AB∩00A∩0B.例3在实数空间R中,若A=(0,1]={x∈R|0＜x≤1}，则A=(0,1）={0x∈R|0＜x＜1})；若B=[0,1](={x∈R|0≤x≤1}),则0B=(0,1)；若Q10为有理点集,则Q0=Ø；若S为无理点集,则S0=Ø.定理12设(X,Τ)是拓扑空间,A⊂X,则A0=00()A.定义设(X,Τ)是拓扑空间,A⊂X.(1)设x∈X,若对于点x的任意邻域M有M∩A≠∅,M∩≠0A∅,则称点x是集合A的边界点;(2)记∂A={x∈X|x是集合A的边界点}.则称A为集合A的边界.∂定理13设(X,Τ)是拓扑空间,A⊂X,则(1)=A∂A∩cA=∂()=cAA-;0A(2)∩=;A∂0A∅(3)A=∪=∪A∂0AA∂A;(4)=0AA-A∂=A-;A∂(5)X=0A∪A∂∪()(分离并).cA0例5在实数空间R中,(1)若A=(0,1)(={x∈R|0＜x＜1}),则A∂=(0,1);(2)若B={1n|为正整数},则n∂B=B∩cB=(B∪{0}∩R=B∪{0},并且0B=.∅例5(2)表明,一个集合可以包含在自己的边界中.4.序列,收敛