压缩映射原理在各种方程的解的存在唯一性上的应用

1压缩映射原理在各种方程的解的存在唯一性上的应用林芳20101101903数学科学学院数学与应用数学专业2010级汉（1）班指导教师刘官厅摘要本文介绍了不动点原理即压缩映射原理及其在代数方程、微分方程、积分方程解的存在性和惟一性方面的重要应用.关键词不动点;压缩映射原理;方程.不动点理论是20世纪数学中的一支奇葩.半个多世纪以来,其影响可以说遍及整个数学.函数的不动点,在数学中是指被这个函数映射到其自身的一个点,即函数()fx的取值过程中,如果有0x使00(),fxx就称0x为()fx的一个不动点.对此定义,有两方面的理解:1）代数意义:若方程()fxx有实数根0x,则()yfx有不动点0x.2）几何意义:若函数()yfx与yx有交点00(,)xy,则0x为()yfx的不动点.压缩映射原理是最简单的不动点定理,它不但证明了不动点的存在性与唯一性,同时还提供了求不动点的方法迭代法.就是说,在完备度量空间中,T是一个压缩映射,从任意选取的一个初始值0x出发,逐次作点列1(1,2,),nnxTxn这个点列必然收敛到方程Txx的解.因此这种方法叫做逐次逼近法.压缩映射原理在线性代数方程组,微分方程,积分方程等方面都有广泛的应用.1相关定义及定理1.1不动点的定义[1]设X为一非空集,:TXX是一个映射,如果有*,xX使得**,Txx则称*x为映射T的一个不动点.1.2压缩映射的定义[2]设X是度量空间,:TXX是一个映射,如果存在一个数,01,使得2对所有的,,(,)(,),xyXdTxTydxy则称T是压缩映射,称为压缩常数.注压缩映射在几何上的意思是说点x和y经T映射后,它们像的距离缩短了,不超过(,)dxy的倍(1).1.3压缩映射原理[2]设X是完备度量空间,T是X上的压缩映射,那么T有且只有一个不动点(就是说,方程Txx有且只有一个解).证明设0x是X中任意一点.21021010,,,,.nnnxTxxTxTxxTxTx我们证明点列{}nx是X中柯西点列.事实上,21111212(,)(,)(,)(,)(,)mmmmmmmmmmdxxdTxTxdxxdTxTxdxx10(,).mdxx由三点不等式,当nm时,1121(,)(,)(,)(,)mnmmmmnndxxdxxdxxdxx1101011()(,)(,).1nmmmnmdxxdxx因01,所以11,nm于是得到01(,)(,)().1mmndxxdxxnm所以当,mn时,(,)0,mndxx即点列{}nx是X中柯西点列,由X完备,存在,xX使(),mxxm又由三点不等式和条件(,)(,),dTxTydxy我们有1(,)(,)(,)(,)(,).mmmmdxTxdxxdxTxdxxdxx这个不等式右端当m时趋于0,所以(,)0,dxTx即.xTx下面证唯一性.如果又有~,xX使得~~,Txx则由条件得~~~(,)(,)(,).dxxdTxTxdxx因01,所以必有~(,)0,dxx即~.xx2压缩映射原理在代数方程方面的应用2.1压缩映射原理在线性代数方程组方面的应用3例1[1]在n维实向量空间nR中,nR是一个完备度量空间,我们定义距离1(,)max,iiindxy其中1212(,,,),(,,,).nnxy我们在nR中讨论下列线性代数方程组1niijjijab1,2,,.in(1)在系数满足什么条件时,存在唯一的解.解首先将(1)式写成下列向量形式:.XAXB其中12(,,,);TnX();ijnnAa12(,,,).TnBbbb令,TXAXB则(1)式可以写成.TXX于是求方程组(1)的唯一解的问题就化为T是否有唯一的不动点的问题.显然T是nnRR的一个映射.下面来讨论当()ija满足什么条件时,T是一个压缩映射.任取12112212,,(,,,),(,,,).nTTnnXXRXX于是121212(,)(,)(,)dTXTXdAXBAXBdAXAX1111max()maxnnijjjijjjininjjaa1211111maxmax(max)(,).nnijjjijinjninjjaadXX由此可见,当11,nijja对一切i成立时,T是nR上的一个压缩映射.于是T满足压缩映射原理的条件,从而T有唯一的不动点****12(,,,),nX而*X就是方程组(1)的唯一解.2.2压缩映射原理在非线性代数方程方面的应用例2证明Kepler方程sinxxa存在唯一解,其中,a为已知常数,01.证明1R空间是完备度量空间,在其上定义距离(,).dxyxy作映射sin,Txxa则有.Txx显然T是11RR的映射,且1,,xyR有(,)sinsinsinsincos,dTxTyTxTyxyxyxyxy4在,xy之间,令.则01.有(,)(,).dTxTydxy所以T是压缩映射.由压缩映射原理可知T存在唯一不动点,即Kepler方程存在唯一的解.3压缩映射原理在积分方程方面的应用例3[1]设()fs为asb上的连续函数,(,)Kst为正方形,asbatb上的连续函数,且存在常数,M使得(,).baKstdtM则当1M时,弗雷德霍姆()Fredholm方程()()(,)()basfsKsttdt(2)存在唯一的解[,].Cab证明在完备度量空间[,]Cab上定义距离[,]((),())max()().sabdxsysxsys定义映射()()(,)().baTsfsKsttdt记.M则1.,[,],Cab有(,)max(,)()(,)()bbaaasbdTTKsttdtKsttdtmax(,)()()asbKstttdtmax()()asbMss(,)d因此:[,][,]TCabCab是一个压缩映射,根据压缩映射原理,T有唯一的不动点即方程(2)有唯一的解[,].Cab例3[3]设()fs为asb上的连续函数,(,)Kst为正方形,asbatb上的连续函数,令(,)[,][,]max(,),stababMkst则在1()Mba时,弗雷德霍姆()Fredholm方程()()(,)()basfsKsttdt(2)存在唯一的解[,].Cab证明在完备度量空间[,]Cab上定义距离[,]((),())max()().sabdxsysxsys定义映射()()(,)().baTsfsKsttdt记().Mba1.,[,],Cab有(,)max(,)()(,)()bbaaasbdTTKsttdtKsttdt5max(,)()()baasbKstttdt()max()()asbMbass(,)d因此:[,][,]TCabCab是一个压缩映射,根据压缩映射原理,T有唯一的不动点即方程(2)有唯一的解[,].Cab4压缩映射原理在微分方程方面的应用4.1压缩映射原理证明一阶线性微分方程的解的存在唯一性例4[2]设(,)ftx是矩形00{(,)|,}Dtxttaxxb上的二元函数,设(,),(,),ftxMtxD又(,)ftx在D上关于x满足利普希茨()Lipschitz条件,即存在常数L,使得对任意的(,),(,),txtyD有(,)(,)ftxftyLxy(3)那么方程(,)dxftxdt在区间00[,]Jtt上有唯一的满足初值条件00()xtx得连续函数解,其中1min{,,}.baML证明设00[,]Ctt表示区间00[,]Jtt上的连续函数全体按距离(,)max()()tJdxyxtyt所成的完备度量空间.又令C表示00[,]Ctt中满足条件0()()xtxMtJ得连续函数全体所成的子空间,且C是闭子空间.则C也是完备度量空间.令00()()(,())ttTxtxftxtdt(4)则T是C到C中的映射.因为,Mb所以若,xC那么当00[,]ttt时,(,()).txtD又因为(,)ftx是D上的二元连续函数,所以(4)式右端积分有意义.又对一切000,()()(,()),tttJTxtxftxtdtMttM所以有当,xC.TxC下面证T是压缩映射.由条件(3),对C中任意两点x和y,有0(,)max()()()()max[(,)(,)]tttJtJdTxTyTxtTytftxftydt60max()()(,).atbttLxtytLdxy令,L则01,且(,)(,).dTxTydxy所以T是C上的压缩映射.由压缩映射原理可知,存在唯一的,xC使得.Txx即00()(,()).ttxtxftxtdt且00().xtx两边对t求导,即得()(,()).dxtftxtdt这说明()xt是方程(,)dxftxdt满足初值条件00()xtx的解.4.2压缩映射原理证明n阶线性微分方程的解的存在唯一性一般的n阶线性微分方程可以写成如下形式:111()()()nnnnndydyaxaxyFxdxdx(5)方程的初值条件记为:(1)000101(),(),,()nnyxcyxcyxc(6)有如下结论:例5[4]（n阶线性微分方程初值问题解的存在性与唯一性）设()(1,2,,)iaxin和()Fx均于区间I上连续,则对任一0xI和任意n个常数011,,,,nccc方程(5)恒有且只有一个定义在整个区间I上且满足初值条件(6)的解.注有时,映射T不满足压缩映射原理的条件,但T的某次幂却满足这些条件,于是,可把压缩映射原理推广到下面的情形:推论设(,)Xd是完备度量空间,:,TXX如果存在自然数,,n使得对所有,,(,)(,).nnxyXdTxTydxy其中01,则T有唯一的不动点.下面对定理进行证明:证明对n阶线性微分方程(5)(6)作如下变化:设(),nndyxdx则0111()nxnnxdytdtcdx70002121022[()]()()nxuxxnnnnnxxxtdytdtcducdttducxxcdx0102()()()xnnxxttdtcxxc00310233[()()()]nxunnnnxxdyxttdtcxxcducdx0221020311()()()()2!2!xnnnxxttdtcxxcxxc01121020100111()()()()()(1)!(1)!(2)!xnnnnnxyxttdtcxxcxxcxxcnnn代入原方程得:121212()()nnnnndydyxFxaaaydxdx整理后得到积分方程:0()(,)()()xxxkxttdtfx(7)其中2112311(,)[()()()]2!(1)!nnkxtaaxtaxtaxtn21121023102031()()[()][()()]2!nnnnnnfxFxacacxxcacxxcxxc