向量法证明几何命题

论文题目向量法证明初等几何命题学院数学与统计学院专业数学与应用数学年级2011级学号201124081124学生姓名陈平指导教师张峰完成时间2015年4月肇庆学院教务处制毕业论文1向量法证明初等几何命题陈平摘要本文使用向量的数量积，向量积，混合积证明一些初等几何的命题．例如，勾股定理，余弦定理，海伦公式．关键词初等几何；数量积；向量积；混合积1引言向量这个名词对于大家来说并不陌生，在高中的教材中已经接触了不少向量的内容．在力学、物理学已及日常生活中，咱们常常遇到很多的量，譬如像温度、时间、质量、密度、功、长度、面积与体积等，这些量在规定的单位下，都可以由一个数来完全确定，这种只有大小的量叫做数量．其余又有一些比较复杂的量，比方像位移、力、速度、加速度等，他们不仅有大小，而且还有方向，这类量便是向量．向量最初被应用于物理学．不少物理量如力，速度，位移一集电场强度，磁感应强度等都是向量．大约公元前350年前，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量，两个了的组合作用可用著名的平行四边形则来得到．“向量”一词来自力学、解析几何中的有想线段．最早使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿．从数学发展历史来看，历史上很长一段时间内，空间的向量结构并未被数学家们所了解，直到19世纪未20世纪初，人们才把空间的性质与向量运算关联起来，使向量成为具备一套优良运算通性的数学体制．向量可以进入数学并得到发展，最初使用于复数的几何表示谈起．18世纪末期，挪威测量学家威塞尔初次使用坐标平面上的点来表示复数abi（a、b为有理数，且不同时等于0），把坐标平面上的点用向量表示出来，并使用拥有几何意义的复数运算来定义向量的运算．把坐标平面上的点用向量表示出来，并用向量的几何表示用于研究几何问题与三角问题．人们逐渐接受了复数，也学会了利用复数来表述和研究平面中的向量，向量就这样平静地投入了数学中．因为向量法证明许多几何命题都是比较简化，所以许多命题都有向量法去证明，许多学生因为学习了向量，从而激发他们的兴趣，在许多熟悉的问题上都想向量法去证明，但他们不清楚不了解向量法的基本思路和证明技巧，不仅仅学生，甚至老师也有时候还是用比较繁琐的方法去证明初等几何命题．本论文主要介绍向量的基本运算法则，还有对几个经典的问题进行证明，分别用一般的方法和向量法对一些初等的几何命题进行证明，然后作对比，比较一下向量法和一般的方法有什么不一样，看看哪一种方法更加简捷和实用．2结果与讨论2．1向量的基本运算[1]2如图1．图1向量的基本运算图向量的加法运算：ABBCAC，abba，0aa，()0aa，()()abcabc．向量的减法运算：ABACBC．向量的乘法运算：1aa，()()aa，()aaa，()abab．向量的数量积：cos(,)ababab．当两个向量垂直有：sin(,)ababab．向量的混合积：(,,)()abcabc．2．2用向量法证明几何定理例1[1]勾股定理的证明：三角形ABC中，已知90B，证222ABBCAC．ABC图2例1图2证明由ABBCAC，两边平方得22ABBCAC，去掉括号，得2222ABBCABBCAC，即222cosABBCABBCBAC，因为coscos900B，故222ABBCAC，3得证．例2[2]余弦定理的证明：三角形任意一边的平方等于其余两边的平方和减去这两边与他们夹角的余弦的积的两倍．即2222cos,abcbcA2222cos,bacacB2222cos,cababC图3例2图3证明在ABC中，令，222222,||()2||2||||cos||,aBCBAACbcabcbbccbbcAc即2222cosabcbcA，同理可证2222coscababC，2222cosbcaacB，用其他方法证明余弦定理:图4直角三角形图5锐角三角形图6钝角三角形证明按照三角形的分类，分三种情形证明之．(1)在RtABC中，如图4根据勾股定理：222cab，因为cos0C，所以2222coscababC，因为cosaBc，所以2222cosbacabB，因为cosbAc，所以2222cosabcabA．(2)在锐角ABC，如图5作CDAB于点D，有sin,cos,cosCDaBBDaBADABBDCcaB，同理可证：2222coscababC，2222cosabcbcA．(3)在钝角ABC中，如图6CDAB，交AB延长线与点D，则sinsin,coscosCDCBDaBBDaCBDaB，c,b,aABACBC4222222cos2cosbCDADcaBacacB．按照(2)的方法可以证明：2222cos.cababC通过两种方法对余弦定理的证明，用向量法证明余弦定理很明显步骤少了很多，只需要用到向量的加法，再用到向量的数量积，就把定理证明出来了，对比第二种方法，要三角形分成三类再加以证明，还需要作辅助线，相对于向量法来说，复杂很多．2．3用向量法解决平行四边形问题例3[2]证明对角线互相平分的四边形是平行四边形．图7例3图7证明设四边形ABCD的对角线AC，BD交于M点，且相互平分，从上图可以看出：,ABAMMBDMMCDC故//,ABDC且//ABDC即四边形ABCD为平行四边形．错误!未找到引用源。其他方法的证明：证明：因为对角线互相平分，所以,,AMMCDMMB因为AC与BD相交，所以AMDBMC，所以在AMD与BMC中，,,,AMMCAMDBMCDMMD即AMD与BMC全等，故,ADBCDACACB，因为//ADBC（内错角相等，两直线平行），从而ABCD是平行四边形．得证．在证明过程中，用向量法证明的话只需用到一个向量的简单加法，就可以直接证明命题，但在普通的方法中，先要证明两个三角形全等，证明三角形全等需要用到几个步骤，才可得到两直线平行，而且垂直，虽然步骤不算太多，但显然比用向量法证明费时费力，但因为很多学生对向量的运算不熟练，所以选择用三角形全等的方法去证明，所以我还是建议大家去熟悉一下向量的性质，对一些简单和复杂的几何命题证明还是很有帮助的，可以大大节省证明步骤，而且思路比较简单，一下子把整个题目证明出来．例4[3]试用向量法证明：平行四边形对角线的平方和等于它个边的平方和．图8例4图85分析平行四边形ABCD中，设,,ABaADb利用向量的加法和减法及向量数量积便可证得结论．证明在平行四边形ABCD中，设,,ABaADb则,,ACABADabDBab故222222()()22,ACDBababab又222222,,ACACACDBDBDB从而2222222222,ACDBABADABBCCDAD即平行四边形对角线的平方和等于它个边的平方和．2．4向量法处理垂直问题时的应用例5[4]证明：假如一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么它就和平面内任何直线都垂直．图9例5图9证明设直线n与平面a内两相交直线a与b都垂直，下面证明n与a内任意直线c垂直．在直线,,,,nabc上分别任意取非零向量错误!未找到引用源。依条件有,,,nanbnc，所以0,0,0,nanbnc错误!未找到引用源。设错误!未找到引用源。，且错误!未找到引用源。，这表明两个向量n与c互相垂直，也就是它们所在直线n与c互相垂直，从而直线n垂直于平面．其他方法的证明：证明依题意得直线n直线a．直线n直线b，所以直线n直线a，b所在的平面，设任意直线c在a，b的平面内，所以直线n直线c．在这个垂直的证明中，也许很多人用第二种方法去证明，事实上第二种方法比较简单，但用向量法证明这个方法比较新颖，用到一个向量的乘法，而这样可以培样一种创新的思维．例6[2]在正三棱柱111ABCABC中，底边长是2，高是1，M是AB中点，求证1BA面1MCA．6图10例6图10证明：如图，建立空间直角坐标系Mxyz，知112262(0,0,0),(,0,0),(,0,1),(0,,0),(,0,1),2222MAACB则1126(2,0,1),(,0,1),(0,,0).22BAMAMC又1111010,0000BAMABAMC，则111,BAMABAMC．而1MAMCM，所以1BA面1MCA．2．5向量法证明在数学竞赛题中的应用例7[5]如图，ABC错误!未找到引用源。中，O为外心，三条高AD，BE，CF交于点H，直线ED和AB交于点M，FC和AC交于点N，求证：(1);OBDF;OCDE(2);OHMN图11例7图11分析⑴第一小题比较简单，可用直接法证明如下：由题意知,,,ACDF四点共圆，所以BDFBAC因为O为外心，从而2,,BOCBACOBCOCB即001(180)90,2OBCBOCBAC7即090,OBCBDFOBCBAC错误!未找到引用源。从而,OBDF同理可证错误!未找到引用源。⑵又0,0,0,0,0,0,0.MFCHFNOBMDOCANBHDFOBFACHDCBC错误!未找到引用源。即()()()MNOHMFFNOHMFOHFNOHMFOCCHFNOBBH()()0,MFOCFNBHOCMDDFBHFAANDFBCFABCDABC错误!未找到引用源。从而MNOH．例8[3]ABC中，111,,ABC，分别在边,,BCCAAB上，且111,,AABBCC相交于点P．证明P是ABC的重心当且仅当P是111ABC的重心．图12例8图12若P是111ABC错误!未找到引用源。的重心，则1110,PAPBPC错误!未找到引用源。设111,,,PAaPAPBbPBPCcPC错误!未找到引用源。显然有,,0,abc则有错误!未找到引用源。1111,ABPBPAaPAPB1111111()().ACPCPAcPCaPAcPAPBaPAacPAcPB由1//ABAC知，存在非零实数使得1,ABAC即1111()aPAPBacPAcPB，错误!未找到引用源。而11,PAPB错误!未找到引用源。不共线，故有()1aacc，错误!未找到引用源。消去错误!未找到引用源。，得1(),aacc即1110.ac错误!未找到引用源。同理，由11//CACB错误!未找到引用源。，可得1110bc由1//BCBA，可得1110ba错误!未找到引用源。．解这个三元方程组易得2,abc所以1112()0,PAPBPCPAPBPC错误!未找到引用源。即P是ABC的重心．错误!未找到引用源。8若P是ABC的重心，类似于上述证明过程不难证得P是111ABC的重心．2．6用向量法处理点线问题例9[3]如图，平行四边形ABCD中，点M是AB的的中点，点N在BD上，13BNBD利用向量证明：,,MNC三点共线．图13例9图13思路分析选择点B，只须证明BNBMBC，且1．证明由已知BDBABC，又点N在BD上，且13BNBD，得1111()3333BNBDBABCBABC．又M点是AB的中点，又12BMBA，即2BABM则1133BNBMBC，又21133，从而,,MNC三点共线．例10[1]证明：若向量OAOBOC、、的终点,,ABC共线，则存在实数、，且+