用高等几何的观点看待初等几何的问题

从高等几何的视角看待初等几何的若干问题摘要：高等几何是初等几何的延伸课程，二者有着密切的关系.它为初等几何的内容提供了理论依据，开阔了初等几何的学习视野；高等几何可为初等几何构造新的命题，丰富了初等几何的内容；高等几何为初等几何的某些问题提供了解题方法，拓展了初等几何的解题途径.因此，很有必要研究高等几何在初等几何中的运用.关键词：高等几何；初等几何；命题；理论依据；思想方法1问题的提出一.问题的提出1.1高等几何与初等几何的关系《高等几何》是高等师范院校数学专业的一门重要的课程.是为学生加深对中学几何的理论和方法的理解，获得较高观点上处理中学几何问题的能力的专业选修课程.而《初等几何研究》也是高师数学系数学教育专业的一门重要课程，是为培养中学数学师资所特有的课程，是培养未来中学数学教师从事初等几何教学和研究的能力，是提高他们数学素质和几何教学水平的重要课程。初等几何是高等几何的基础.而高等几何是初等几何的深化。初等几何研究的问题一般比较直观、单纯，但形成的概念和积累的技巧对高等几何往往影响深远；高等几何虽然抽象、复杂，但内容和方法却常常可以在初等几何中找到其根源，所以高等几何由于引入了无穷元素，因而处理问题的手段比初等几何高明，作为数学工具也就更具有一般性.从内容上讲，高等几何点变换的观点把初等几何中的正交变换扩大到仿射变换，再扩大到射影变换，从而把几何空间的概念也由欧氏空间扩大到仿射空间，再扩大到射影空间；坐标系也由笛卡尔坐标系扩大到仿射坐标系和射影坐标系.几何学的基本元素方面，也由以点为基本元素的点几何学化为以直线为基本元素的线几何学，并且由有限元素扩大到无穷远元素，由实元素扩大到复元素.1.2高等几何的观点研究出等几何的意义法国教学家Klein曾经说过]9[：“只有在完全不是初等数学的理论体系中，才能深刻理解初等数学.”按照Klein的观点，几何学是研究在相应变换群下图形保持不变的性质和量的科学，即每一个变换群都对应着一个几何学，图形在此变换下保持不变的那些性质和量，就是相应的几何学所研究的对象.由射影变换群，仿射变换群，正交变换群所对应的几何学分别为：射影几何学，仿射几何学，欧氏几何学.又由于射影变换群仿射变换群正交变换群.故又有射影几何学仿射几何学欧氏几何学.但又由于群越大，它所保持不变的东西就越少，故从研究的内容上看有：射影几何学＜仿射几何学＜欧氏几何学.射影几何学的内容比较贫泛，而欧氏几何学的内容就十分丰厚了.了解了这种几何学之间的联系，也就扩大了学生关于几何的眼界，站得高也才能看得远，了解了欧氏几何在整个几何学中所处的地位，这就有助于我们从几何学的全局与整体上来理解和把握初等几何教材.掌握公理法，了解欧氏几何与非欧几何的关系，加深对初等几何教材的理解.几何学的思维其源于非欧几何.因为唯有从非欧几何的观点来看才得以阐明在中学研究的欧氏几何学的逻辑结构，只懂得一种欧几里德几何，就不能充分了解几何学的结构；几何学之所以能够提高到现代的观点，不过是在研究了非欧几何以后的事情.我们把罗巴切夫斯基几何和黎曼几何统称为非欧几何.这三种几何表面上看似乎是相互矛盾，相互排斥的，但它们在射影几何中得到了统一，都是射影几何的子几何学.了解了它们之间的联系，对初等几何教材的理解和把握就会加深一步.2高等几何在初等几何中的应用欧氏几何作为仿射几何、射影几何的子几何，使我们有可能把初等几何、解析几何放到更为广阔的背景中去考虑，有助于弄清欧氏几何与其它几何的联系与区别，以便从高观点下把握和处理中学教材，将高等几何的思想应用在初等几何中，这无疑对初等几何的教学有很大的指导作用.2.1高等几何为初等几何内容提供理论依据中学几何考虑了学生的认识规律，内容不可能面面俱到，现行中学几何教材部分仅从直观的现象中发现图形之间的内在联系，探索几何性质，问题的结论依赖于默认，而在高等几何中，这些内容和问题都可以在严密的数学系统内给出严格的论述.例如立体几何中的直观图及截面图的画法；三点定一圆问题；一点在二次曲线的内部还是外部的问题；二次曲线的切线的尺规作图问题；以及著名的“九树十行”问题等，都能在高等几何中得到彻底解决；另外，现行中学几何教材对希尔伯特公理系统中的公理或某些定理作了如下处理，但高等几何中几何基础部分对希尔伯特公理系统的论述，可以帮助我们分析、理解中学几何中的这些公理.（1）中学教材扩大了公理体系]1[。把希尔伯特公理系统中的一些定理作为公理提出.这是因为a.有些定理证明较繁，甚至于在中学几何的系统下不能证明，但这些定理的几何事实非常明显，又需要把它们作为推论的根据，就把它作为教学上的公理.例如，把两三角形全等的“角边角定理”作为“角边角公理”；b.将西尔伯特公理系统中的某些公理结构略为加强，以便于学生接受运用.例如，将公理7加强为公理“如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线；”c.将希尔伯特公理系统中的某些公理合并，以便运用.例如，将公理1和2合并为公理“经过两点有一条直线，并且只有一条直线”；将公理4和5合并为公理“经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面”.（2）默认的办法：希尔伯特公理系统里的许多公理所反映的几何事实极为明显，例如公理8：“至少存在着四个点，不在同一平面上”，中学几何就凭直观加以默认.再如在推理中事实上已经用到顺序、连续等概念，这些也全部被直观的承认了，既未作为公理提出，更未作为定理加以证明.而以上这些在初等几何中无法解释的公理在高等几何（包括几何基础）中都作了精辟的阐述和概括的分析，因此，学习高等几何有助于认识并讨论欧氏几何体系，认识它是怎样在公理系统上纯逻辑地建立起来的，同时，有助于了解中学几何教材中的公理系统，能够用公理化思想分析、评述和处理中学几何教材，促进教学质量与教学效果的提高.因此，通过高等几何的学习可以更加深入的理解初等几何中的一些问题，对它做出合理的解释.例1平面上不在同一直线上的三个实的有穷点确定一个圆.这是初等几何中的一个定理，可用二阶曲线的性质给予严格的证明.证明：因为每三点不共线的五点可以确定一条二阶曲线，而每两个有穷点与圆点不共线，所以已知的三点和两个圆点决定一条二阶曲线，又这条二阶曲线经过二圆点所以是圆.2.2高等几何在初等几何命题方面的应用从高等几何与初等几何的关系出发，可以构造许多初等几何新命题，主要方法有：（1）将初等几何命题推广.如在高等几何中，在仿射变换下，任意一个三角形（平行四边形、梯形、椭圆）与正三角形（正方形、等腰梯形、圆）是仿射等价的，因此如果已知一个只涉及仿射性质的几何命题对于后一类简单图形成立，则就有理由断定该命题对前一类复杂图形也成立。同样在射影变换下，椭圆、双曲线、抛物线与圆射影等价.因此，如果只涉及射影性质的几何命题对圆成立，则对椭圆、双曲线、抛物线也成立.例2]5[已知ABC与平行BC的直线DE相交，且BDE的面积等于给定值2k，那么当2k与ABC的面积S之间满足什么关系时问题有解？有多少解？（1987年上海数学竞赛试题）解：设ABC经仿射变换T变为正CBA，其边长为a，设xEA，且2::kSEDBSCBAS，ED∥CB如图1：因为243aCBAS)(43xaxEDBS所以2:Sk234a:3()4xax化简得：2220SxSaxak所以222244222SaaSSkaaSSkxSS当224SSk0时即24Sk时问题有解当24Sk时，有两解，其中2422aaSSkxS如图中EDB和11EDB当24Sk时，有一解，其中2ax，此时D、E分别AB、CA中点.（图1）例3]7[命题：“PBPA,为圆的切线，AC为经过切点A的直径，求证：BC∥PO.”该命题涉及结合性、直径、平行性等仿射性质，因而可移置到椭圆中去，构成新的命题.新命题：“PBPA,为椭圆的切线，O为椭圆的中心，AO与椭圆交于另一点C，求证：BC∥PO.”（初级中学课本，几何第二册，115页13题）（2）将高等几何命题特殊化例4]4[高等几何命题：在平面上给定二直线,ab及不在,ab上的一点P，不先定出,ab的交点，可用直尺作出通过此点和P点的直线.将其特殊化可得到初等几何命题：在平面上给定二平行直线,ab及不在,ab上的一点P，只用直尺可作出通过P点且与,ab平行的直线.作法：1）过P作二直线11,ABAB分别与,ab相交与11,,,ABAB，连接11,ABAB得交点S.2）过S任作一直线与,ab分别交于2A，2B.3）连接21AB，12AB得交点Q，则直线PQ为所求直线.综上我们可以看出，熟知高等几何与初等几何知识间的联系，就能构造出形式多样，内容丰富的初等几何问题.一些中学几何问题运用初等几何方法解决时，有时会非常复杂和困难，但应用高等几何方法解决此类问题却非常简捷，如利用迪沙格（Desargues）定理证明三角形的三条中线交于一点；利用交比证明有关圆的问题；利用完全四点形的调和性，可以比较简捷地解决一些初等几何的共点和共线问题.例5]2[四边形两组对边延长后分别相交，且交点的连线与四边形的一条对角线平行，求证另一条对角线的延长线平分对边交点连线的线段.（1978年全国数学连决赛试题）证法一（用初等几何的方法）设四边形ABCD中AB与CD交于M，AD与BC交于N且BD∥MN.（如图2），求证AC平分MN.过B作DB∥MN，连接DD，下证四边形DBCD是平行四边形.因为DB∥MD，故ACDAAMAB（1）又因BD∥MN，所以ABADAMAN（2）由（1）与（2）得ANADACDA于是DD∥BN，所以四边形DBCD是平行四边形.利用平行四边形的性质知AC平分BD，则BD∥MN，故AC的延长线交MN于L平分线段MN.证法二（利用完全四点形的调和性质）如图3所示四边形ABCD中AB与CD交于M，AD与BC交于N，若AC与MN交于L，则由完全四点形ABCD的调和性质知（MN，LP）1，即（MN，LP）（MNL）MLNL1.故L为线段MN的中点，从而对角线AC平分线段MN.（图2）（图3）方法2直接用完全四点形的调和性质，即可证出，易于理解，而方法1需作辅助线，证明过程较繁琐.例6]2[（蝴蝶定理）如图4所示，设AB是圆O的弦，M是AB的中点，过M任作二弦CD，EF，记PQ，为AB依次与CF，ED的交点，求证PMMQ.证法一：（用初等几何的方法）圆是以直径所在直线为对称轴的对称图形，那么可作MF关于OM的对称线段FM，则有MF=FM，连接QF，DF，则FFOM，ABOM，由此可知AB∥FF，所以'''AMFMFFMFFBMF.又'EDHMFF且FBMAMFFMF.故FBMEDH，则四点D，F，M和Q共圆，所以EDCMFQ，因CFECDE，则MFQCFE。又FMMF，FBMAMF，则MFQPFM，故PMMQ.证法二（利用交比来证明）如图6所示，连接CA，CB，EA，EB，以C为顶点的线束被直线AB所截，有（CACD，CFCB）=（AM，PB）同样，以E为顶点的线束被直线AB所截，有（EAED，EFEB）=（AQ，MB），由同弧所对的圆周角相等，从而有ACFAEF，FCDFED，DCBDEB而),(CBCFCDCAsinsinsinsinsinsinsin()sinACFBCDACFDCBACBDCFACFFCDDCBFCDsinsinsin()sinAEFDEBAEFFEDDEBFED（EAED，EFEB）故（AM，PB）（AQ，MB）即APMBAMQBABMPABQM又M为AB的中点，从而AMMB.把APAMMP，QBQMMB代入上式得AMMPQMMBMPQM即1AMQM