线性代数期末复习题详解

1线性代数B复习资料（2014）(一)单项选择题1．设A，B为n阶方阵，且EAB2，则下列各式中可能不成立的是（A）(A)1BA(B)1BABA(C)1ABAB(D)EBA2)(2．若由AB=AC必能推出B=C（A，B，C均为n阶矩阵）则A必须满足（C）(A)A≠O(B)A=O(C)0A(D)0AB3．A为n阶方阵，若存在n阶方阵B，使AB=BA=A，则（D）(A)B为单位矩阵(B)B为零方阵(C)AB1(D)不一定4．设A为n×n阶矩阵，如果r(A)n,则C(A)A的任意一个行（列）向量都是其余行（列）向量的线性组合(B)A的各行向量中至少有一个为零向量(C)A的行（列）向量组中必有一个行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合(D)A的行（列）向量组中必有两个行（列）向量对应元素成比例5．71．已知向量组4321,,,线性无关则向量组(C)(A)14433221,,,线性无关(B)14433221,,,线性无关(C)14433221,,,线性无关(D)14433221,,,线性无关6．下列说法不正确的是(A)(A)如果r个向量r,,2,1线性无关，则加入k个向量k,,2,1后，仍然线性无关(B)如果r个向量r,,2,1线性无关，则在每个向量中增加k个分量后所得向量组仍然线性无关(C)如果r个向量r,,2,1线性相关，则加入k个向量后，仍然线性相关(D)如果r个向量r,,2,1线性相关，则在每个向量中去掉k个分量后所得向量组仍然线性相关7．设n阶方阵A的秩rn，则在A的n个行向量中A(A)必有r个行向量线性无关2(B)任意r个行向量均可构成极大无关组(C)任意r个行向量均线性无关(D)任一行向量均可由其他r个行向量线性表示8．设方阵A的行列式0A，则A中C(A)必有一行（列）元素为零(B)必有两行（列）成比例(C)必有一行向量是其余行（列）向量的线性组合(D)任一行向量是其余行（列）向量的线性组合9．设A是m×n矩阵，齐次线性方程组AX=0仅有零解的充分必要条件是(A)(A)A的列向量线性无关(B)A的列向量线性相关(C)A的行向量线性无关(D)A的行向量线性相关11．n元线性方程组AX=b，r（A，b）n，那么方程AX=bD(A)无穷多组解(B)有唯一解(C)无解(D)不确定10．设A，B均为n阶非零矩阵，且AB＝0，则A和B的秩（D）(A)必有一个等于零(B)一个等于n，一个小于n(C)都等于n(D)都小于n12．设向量组s,,,21(s1，01)线性相关，则（C）由121,,,i线性表出。(A)每个)1(ii都能(B)每个)1(ii都不能(C)有一个)1(ii能(D)某一个)1(ii不能13.设BBAA，再将到的第二行加到第一行得阶矩阵，将为3的第一列的)1(倍加到第2列得到，记CB100010011P则：11()BACPAPCPAP（）TTPAPCDAPPCC)(）（14.若向量组,,线性无关;,,线性相关,则(C)(A)必可由,,线性表示.(B)必不可由,,线性表示(C)必可由,,线性表示.(D)必不可由,,线性表示.315．下列命题正确的是(D)(A)若向量组线性相关,则其任意一部分向量也线性相关(B)线性相关的向量组中必有零向量(C)向量组中部分向量线性无关,则整个向量组必线性无关(D)向量组中部分向量线性相关,则整个向量组必线性相关16．设向量组s,,,21的秩为r，则D(A)必定rs(B)向量组中任意小于r个向量部分组无关(C)向量组中任意r个向量线性无关(D)向量组任意r+1个向量线性相关17．A是m×n矩阵,r(A)=r则A中必(B)(A)没有等于零的r-1阶子式至少有一个r阶子式不为零(B)有不等于零的r阶子式所有r+1阶子式全为零(C)有等于零的r阶子式没有不等于零的r+1阶子式(D)任何r阶子式都不等于零任何r+1阶子式都等于零18．能表成向量1,0,0,01,1,1,1,02,1,1,1,13的线性组合的向量是（B）(A)1,1,0,0(B)0,1,1,2(C)1,0,1,3,2(D)0,0,0,0,019．已知3,2,11,2,1,32,x,3,23则x=（D）时321,,线性相关。(A)1(B)2(C)4(D)520．向量组4,2,1,11,2,1,3,02,14,7,0330,2,1,14的秩为C（A）1（B）2（C）3（D）421．设A为n阶方阵,且0A，则C(A)A中任一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合(B)A必有两行（列）对应元素乘比例(C)A中必存在一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合(D)A中至少有一行（列）向量为零向量22．向量组s,,,21线性相关的充要条件是(C)4(A)s,,,21中有一零向量(B)s,,,21中任意两个向量的分量成比例(C)s,,,21中有一向量是其余向量的线性组合(D)s,,,21中任意一个向量均是其余向量的线性组合23．若向量可由向量组s,,,21线性表出,则(C)(A)存在一组不全为零的数skkk,,,21,使等式sskkk2211成立(B)存在一组全为零的数skkk,,,21,使等式sskkk2211成立(C)向量s,,,,21线性相关(D)对的线性表示不唯一24．对于n元方程组，正确的命题是（D）(A)如AX=0只有零解,则AX=b有唯一解(B)AX=0有非零解,则AX=b有无穷解(C)AX=B有唯一解的充要条件是0A(D)如AX=b有两个不同的解,则AX=b有无穷多解25．设矩阵nmA的秩为r(A)=mn,mI为m阶单位矩阵,下述结论正确的是C(A)A的任意m个列向量必线性无关(B)A的任意个m阶子式不等于零(C)A通过初等变换,必可化为(mI,0)的形式(D)若矩阵B满足0BA,则0B.26．非齐次线性方程组AX=b中未知数的个数为n，方程个数为m，系数矩阵A的秩为r，则（A）(A)r=m时,方程组AX=b有解(B)r=n时,方程组AX=b有唯一解(C)m=n时,方程组AX=b有唯一解(D)rn时,方程组AX=b有无穷多解27．已知321,,是齐次线性方程组AX=0的基础解系，那么基础解系还可以是（B）(A)332211kkk(B)133221,,(C),,32215(D),,,23321128．向量组r,,,21线性无关，且可由向量组s,,,21线性表示，则Dr(r,,,21)必()r(s,,,21)(A)大于等于(B)大于(C)小于(D)小于等于29．设n元齐次线性方程组AX=0的通解为k（1，2，…，n）T，那么矩阵A的秩为（B）(A)r(A)=1(B)r(A)=n-1(C)r(A)=n(D)以上都不是30．设矩阵A=111121233的秩为2，则=（D）A.2B.1C.0D.-131．设n维向量组r,,,21(Ⅰ)中每一个向量都可由向量组s,,,21(Ⅱ)线性表出,且有rs,则(D)(A)(Ⅱ)线性无关(B)(Ⅱ)线性相关(C)(Ⅰ)线性无关(D)(Ⅰ)线性相关32．设n,,,21是n个m维向量，且nm,则此向量组n,,,21必定(A)(A)线性相关(B)线性无关(C)含有零向量(D)有两个向量相等33．矩阵A适合条件（D）时，它的秩为r(A)A中任何r+1列线性相关(B)A中任何r列线性相关(C)A中有r列线性无关(D)A中线性无关的列向量最多有r个34．若m×n阶矩阵A中的n个列线性无关则A的秩（C）(A)大于m(B)大于n(C)等于n(D)等于m35．若矩阵A中有一个r阶子式D≠0，且A中有一个含D的r+1阶子式等于零，则一定有R（A）（A）(A)≥r(B)＜r(C)=r(D)=r+136．要断言矩阵A的秩为r，只须条件（D）满足即可(A)A中有r阶子式不等于零(B)A中任何r+1阶子式等于零(C)A中不等于零的子式的阶数小于等于r(D)A中不等于零的子式的最高阶数等于r37.设m×n阶矩阵A，B的秩分别为21,rr，则分块矩阵（A，B）的秩适合关系式（A）(A)21rrr(B)21rrr(C)21rrr(D)21rrr38．R(A)=n是n元线性方程组AX=b有唯一解(C)(A)充分必要条件(B)充分条件(C)必要条件(D)无关的条件39．矩阵A=1111的特征值为0,2,则3A的特征值为(B)6(A)2,2;(B)0,6;(C)0,0;(D)2,6;40．A=1111，则222AAI的特征值为（B）(A)2,2;(B)–2,-2;(C)0,0;(D)–4,-4;41．APPB1,0是A,B的一个特征值,是A的关于0的特征向量,则B的关于0的特征向量是(C)(A)(B)P(C)1P(D)P42．A满足关系式OEAA22，则A的特征值是C(A)=2(B)=－1(C)=1(D)=－2是43．已知－2是A=bx2222220的特征值，其中b≠0的任意常数，则x=（D）(A)2(B)4(C)－2(D)－444．已知矩阵A=x44174147有特征值12,3321，则x=（D）(A)2(B)－4(C)－2(D)4（提示：用特征值的和等于迹的结论来做较简单，迹的向定义见计算题与填空题17）45．设A为三阶矩阵，已知0EA，02EA，03EA，则EA4A(A)6(B)－4(C)－2(D)446.设A为三阶矩阵，有特征值为1，-1，2，则下列矩阵中可逆矩阵是（D）(A)E-A(B)E+A(C)2E-A(D)2E+A（二）计算题与填空题1．0653IAA，则1A（）（IA5612）2．设A是43矩阵,,2AR111211120B,则BAR_____2___3.设A为3阶矩阵，且||2A,则行列式1|3|AA____（-1/2）4.12313,05,10,TTTttt当0,2t时,向量组321,,线性无关.75．设,112,231,5121TTTkk（）时可被向量组21,线性表出。（-8）6.3100111100011312011001011001答案：1103490127.设.111,111,111,221321TTTT则是否为向量组321,,的线性组合？（是）8．确定ba,为何值时，使下列非齐次线性方程组有解，并求其所有解.bxxxxxaxxxxxxxxxxx43214321432143217107141253032.答：当4,1ba时，解为2017023100212121cc，其中21,cc为任意非零常数;当4,1ba时，解为201700