第十章无穷级数

1第十章无穷级数第一节常数项级数的概念与性质第二节数项级数的审敛法第三节幂级数第四节函数的幂级数展开第五节傅里叶级数2公元前五世纪,以诡辩著称的古希腊哲学家齐诺(Zeno)用他的无穷、连续以及部分和的知识,引发出以下著名的悖论：如果让阿基里斯(Achilles,古希腊神话中善跑的英雄)和乌龟之间举行一场赛跑,让乌龟在阿基里斯前头1000米开始,假定阿基里斯能够跑得比乌龟快10倍,也永远也追不上乌龟.齐诺的理论依据是：当比赛开始的时候,阿基里斯跑了1000米,此时乌龟仍然前于他100米；当阿基里斯跑了下一个100米时,乌龟仍然前于他10米,…,如此分析下去,显然阿基里斯离乌龟越来越近,但却是永远也追不上乌龟的.这个结论显然是错误的,但奇怪的是,这种推理在逻辑上却没有任何毛病.那么,问题究竟出在哪儿呢？齐诺悖论—阿基里斯与乌龟3第一节常数项级数的概念和性质无穷级数是高等数学的一个重要组成部分,它是表示函数、研究函数的性质以及进行数值计算的一种工具.一、级数的基本概念计算圆的面积R正六边形的面积正十二边形的面积1a21aa正形的面积n23naaa21naaaA21即41、级数的定义:nnnuuuuu3211—(常数项)无穷级数一般项部分和数列niinnuuuuS121级数的部分和,11uS,212uuS,,3213uuuS,21nnuuuS5当n时,如果级数1nnu的部分和数列}{nS有极限S,如果数列}{nS没有极限,则称无穷级数1nnu发散.2、级数的收敛与发散:即SSnnlim,则称无穷级数1nnu收敛,这时极限S叫做级数1nnu的和，并写成Sunn16解，如果1q12nnaqaqaqaS，qaqan1,1||时当q0limnnqqaSnn1lim,1||时当qnnqlimnnSlim收敛发散例1讨论等比级数(几何级数)1211nnnaqaqaqaaq)0(a的收敛性.7，如果1||q,1时当q,1时当qnaSn发散aaaa级数变为,lim不存在nnS发散综上所述,qa1发散当收敛当时时,1||,1||11qqaqnn1211nnnaqaqaqaaq)0(a8公元前五世纪,以诡辩著称的古希腊哲学家齐诺(Zeno)用他的无穷、连续以及部分和的知识,引发出以下著名的悖论：如果让阿基里斯(Achilles,古希腊神话中善跑的英雄)和乌龟之间举行一场赛跑,让乌龟在阿基里斯前头1000米开始,假定阿基里斯能够跑得比乌龟快10倍,也永远也追不上乌龟.齐诺的理论依据是：当比赛开始的时候,阿基里斯跑了1000米,此时乌龟仍然前于他100米；当阿基里斯跑了下一个100米时,乌龟仍然前于他10米,…,如此分析下去,显然阿基里斯离乌龟越来越近,但却是永远也追不上乌龟的.这个结论显然是错误的,但奇怪的是,这种推理在逻辑上却没有任何毛病.那么,问题究竟出在哪儿呢？齐诺悖论—阿基里斯与乌龟9如果我们从级数的角度来分析这个问题,齐诺的这个悖论就会不攻自破.设乌龟的速度为v,则阿基里斯的速度为10v,他跑完1000米所化的时间为vv100101000,在这段时间里,乌龟又爬了100100vv米,阿基里斯为跑完这段路又花费时间vv1010100,此时乌龟又在他前面10米处,……,依次类推,阿基里斯需要追赶的全部路程为101001000这是一个公比为1101q的几何级数,易求得它的和为，9111119100001011100010也就是说,如果赛程比这个距离短,则乌龟胜；如果赛程恰好等于这个距离,则双方平分秋色；否则,阿基里斯就要在距离起点911111处追上并超过乌龟.，9111119100001011100011解)12)(12(1nnun,)121121(21nn)12()12(1531311nnSn)121121(21)5131(21)311(21nn)1211(21n.21,且和为级数收敛,)(21n例2讨论无穷级数)12()12(1531311nn的收敛性.12讨论级数1)11ln(nn的敛散性.nnln)1ln(,所以解例3)11ln(nun)1ln(nnnSnln)1ln(2ln3ln1ln2lnn所以级数发散.13级数收敛的必要条件若级数1nnu收敛,则必有0limnnu.证明，SSnnlim,1nnnSSu)(limlim1nnnnnSSuSS.01limlimnnnnSS定理14若级数1nnu收敛,则必有0limnnu.说明：1、如果级数的一般项不趋于零,则级数发散；1)1(4332211nnn例如级数发散；,0nu所以,1||nun2cos8cos4cos2cos，再如,012coslimn级数发散。152、必要条件不充分：若0limnnu,级数却不一定收敛.再举一个重要例子：11312111nnn,01limnn,但级数是否收敛?如1)11ln(nn:,)(0)11ln(nn但级数发散。调和级数16讨论nnnSSnn2121112nn2.,S其和为假设调和级数收敛）（nnnSS2limSS,0.级数发散,210便有于是矛盾，11312111nnn,调和级数,2117二、收敛级数的基本性质如果级数1nnu收敛,则1nnku亦收敛，且有.11nnnnukku如果级数1nnu、1nnv都收敛,则1)(nnnvu.)111nnnnnnnvuvu（也收敛,且有由级数收敛的定义，以及极限的性质，不难证明。思考：可逆吗？性质1性质218说明：(1)不能由1)(nnnvu收敛推出1nnu、1nnv收敛；(2)若1nnu收敛,而1nnv发散,则1)(nnnvu必发散.证假设1)(nnnvu收敛,由nnnnuvuv)(,而已知1nnu收敛,由上述性质得1nnv收敛,矛盾.所以1)(nnnvu发散.19去掉、添加或改变级数中的有限项,不会影响它的敛散性(但收敛级数的和可能要改变).性质3性质4收敛级数任意加括号后仍收敛,且其和不变.证记级数1nnu的部分和数列为nkknuS1,加括号后的级数的部分和数列记为}{nA,)()()(987654321uuuuuuuuu,21SA,52SA,93SA因为部分和数列只相差一个常数。例如，20性质4收敛级数任意加括号后仍收敛,且其和不变.续证则}{nA实际上是}{nS的一个子数列,故由}{nS的收敛性可知}{nA的收敛性,且其极限不变.注收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.)11()11(推论如果加括弧后所成的级数发散,则原级数也发散.例如例如，若级数1nnu收敛，1212)(nnnuu、131323)(nnnnuuu均收敛，则级数且和不变.211.0)4531(nnn649.例4判断下列级数的敛散性：因为,310nn041nn都收敛，故原级数收敛，解且和为0)4531(nnn0041531nnnn41153111222.11005110321nn3.n216141211121nn例4判断下列级数的敛散性：收敛；发散。23第二节数项级数的审敛法1、定义：，中各项均有如果级数01nnnuu这种级数称为正项级数.2、正项级数收敛的充要条件：定理一、正项级数的收敛问题正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和数列}{nS有上界.这是因为0nu,所以}{nS单调不减,因此它有极限当且仅当它有上界.24且),2,1(nvunn,证明,1nkknuS设,nnvu.1收敛nnu均为正项级数，和设11nnnnvu则(1)若1nnv收敛,则1nnu收敛；(2)若1nnu发散，则1nnv发散.比较审敛法定理,1nkknvT,nnTS(1)),2,1(n因为1nnv收敛，所以}{nT有上界M，,MTSnn所以}{nS也有上界M，25(2)是(1)的等价命题.从某项起,恒有nnkvu,)0(k.注：定理的条件可放宽为：且),2,1(nvunn,证明均为正项级数，和设11nnnnvu则(1)若1nnv收敛,则1nnu收敛；(2)若1nnu发散，则1nnv发散.比较审敛法定理26判断级数121sinnn的收敛性.因为nn2121sin0,而121nn收敛,解例1所以原级数收敛.,|||sin|xxRx27讨论p-级数11npn的收敛性(0p).oyx)1(1pxyp1234当1p时,而调和级数11nn发散,故原级数发散；当1p时,用积分判别法:当nxn1时,ppxn11,于是有nnppnxn1d1nnpxx1d解例2，nnp1128故当1p时,11npn收敛.nnppnxn1d1nnpxx1d所以nkkkpnkpxxk212d11xxnpd11)11(111pnp,11p于是,11111pkSnkpn29总结:发散收敛10111ppnnp重要参考级数：几何级数,p-级数,调和级数.比较：发散收敛，，101d11ppxxp30因为nn111,而21nn发散,（但211nn如何？）因为22111nn,而121nn收敛,（但2211nn如何？）解例3211nn例41211nn解所以原级数发散。所以原级数收敛。例8-1331,设1nnu与1nnv都是正项级数如果,limlvunnn,当时;则(1)两级数有相同的敛散性l0(3)当时,若1nnv发散,则1nnu发散;l(2)当时，若收敛,则收敛;0l1nnv1nnu比较判别法的极限形式：32证明,0lim)1(lvunnn由,02l取,N,时当Nn，有2||llvunn)(232Nnvluvlnnn即由比较判别法,可知两级数有相同的敛散性.,22llvullnn33由极限定义,取1,存在自然数N,当Nn时,恒有1nnvu,即nnvu,当1nnv收敛时,1nnu也收敛。证明,0lim)2(nnnvu若由比较判别法可知,(注意：不可逆)；,lim)3(nnnvu若,0limnnnuv则由(2)即得结论.34而21nn发散,例5111nn，1111limnnn例62211nn，1111lim22nnn例71211nnn，1111lim2nnnn例812)11ln(nn，11)11ln(lim22nnn所以原级数发散。收敛发散收敛35常用等价无穷小：,0时当x,~sinxx,~)1ln(xx,~tanxxxx~1)1(,~