《线性代数》练习题(附答案)

1《线性代数与解析几何》练习题行列式部分一．填空题：1．若排列1274i56k9是偶排列，则3,8ki2．已知kjiaaaaa5413251是五阶行列式中的一项，且带正号，其中（)ji则3,4,2kji3．设BA,是n阶可逆阵，且5A，则522,5)(63nTAAA，51kkBAB（k为常数）4．已知410132213D用ijA表示D的元素ija的代数余子式，则3732232221DAAA，032333231AAA，行列式3722333231232221131211DAAAAAAAAA5．设有四阶矩阵),(,),(4,3,24,3,2BA，其中4,3,2,,均为4维列向量，且已知行列式1,4BA，则行列式40|)||(|8BABA6．设xxxxxf321132213321)(则160)4(f7．设20112520842111111154115212111111541132111111323232xxxxxxxxx上述方程的解3,2,1x8．设A是n阶方阵，且A的行列式0aA，而*A是A的伴随矩阵，则*1naA9．若齐次线性方程组000321321321xxxxxxxxx只有零解，则应满足1条件。二．计算题：1．已知5阶行列式270513422111542131122254321求434241AAA和4544AA，其中ijA是元素ija的代数余子式。解：0)(227)(245444342414544434241AAAAAAAAAA1894544434241AAAAA2．计算行列式9173130211221111D。解：14140019001520111112440152031401111D28091400001900152011113．设A是n阶方阵，IAAT，且0A，求IA。3解：TTTIAAAIAAAAIA)()(IAA00IAA4．设A是n阶实对称矩阵，022AA，若)0()(nkkAr，求IA3。解：AA，是实对称矩阵相似于对角阵，20022和的特征值为由AAA．而r(A)=k,所以重的特征值是k2。对于矩阵A+3I,有一个1重的特征值k，以及一个3重的特征值kn，knIA335．计算),,2,1,(321321321321niaxxaaaaxaaaaxaaaaxDiinnnn解：nnnaxxaaxxaaxxaaaaxD0000001133112211321nnnnkkkkaxaxaxaaaaxaxax000000000)(3322322111nkkknkkkkaxaxaxax22111)()(矩阵部分一．填空题：41．设三阶方阵A，B满足BAABAA61，且714131000000A，则100020003)(611IAB。2．设nnnnnnbababababababababaA212221212111，其中),,3,2,1(0,0nibaii，则矩阵A的秩=1.3．设A是34的矩阵，且A的秩为2，而301020201B，则2)(ABr（2)()(,010ArABrBB可逆，）4．已知a=[1,2,3],b=[3121,,1],设A=baT，则131213233231211nnA（babbabaaAbaTnTTTnT13)()(3，）5．设矩阵100010001,300041003IA则逆矩阵1000001)2(21211IA6．设11334221tA，B为三阶非零矩阵，且AB=O，则3t)302)(1)(;3)()(0(tAArBrBrArAB又7．设四阶方阵A的秩为2，则其伴随矩阵*A的秩为0。58．设A，B均为n阶矩阵，3,2BA，则322121*nBA9．设A是三阶方阵，*A是A的伴随矩阵，21A，则1610)31(*1AA（161)2(|53|311AAA）。10．设A，C分别为r阶和s阶的可逆矩阵，则分块矩阵BCAX0的逆矩阵011111ACBACX11．设n阶方阵A满足方程0232IAA，则A的逆矩阵)3(211IAA（IIAA2)3(）12．设101020101A，而2n为正整数，则021nnAA)22(12nnAAAA13．设A，B是n阶矩阵，且AB=A+B，则)(1IBIA（IIAIBIIBIBAIIBAAB))(()()(）二．选择题：1．设n阶矩阵A，B，C满足关系式ABC=E，其中E是n阶单位矩阵，则必有（D）（A）ACB=E（B）CBA=E（C）BAC=E（D）BCA=E2．设A是n阶方阵)3(n，*A是A的伴随矩阵，又k为常数，且1,0k，则必有*)(kA=（B）*1**1*)()()()(AkDAkCAkBkAAnn3．设A是n阶可逆矩阵，*A是A的伴随矩阵，则有（A）1***1*)()()()(AADAACAABAAAnn4．设6101010001,100001010,,21133312321131131211232221333231232221131211PPaaaaaaaaaaaaBaaaaaaaaaA则必有（C）BPAPA21)(BAPPDBAPPCBPAPB122112)()()(5．设A，B均为n阶方阵，则必有（D）（A）BABA（B）BAAB（C）111)(BABA（D）BAAB6.设n维向量)21,0,,0,21(,矩阵TTIBIA2,,其中I为n阶单位矩阵,则AB(C)(A)0(B)–I(C)I(D)TI7.设A是n阶可逆矩阵)2(n，*A是A的伴随矩阵,则(C)(A)AAAn1*)*((B)AAAn1*)*((C)AAAn2*)*((D)AAAn2*)*(8.设)3(nn阶矩阵1111aaaaaaaaaaaaA,若矩阵A的秩为1n,则a必为(B)(A)1(B)n11(C)–1(D)11n9.设11,,,BABABA均为n阶可逆矩阵,则111)(BA等于(C)(A)11BA(B)BA(C)ABAB1)((D)1)(BA三．计算题：1．已知100110011A，求nA（n是自然数）7解：由归纳法，100102)1(1nnnnAn2．已知AP=PB，其中100000001B，112012001P求：A及5A。解：1140120011P1160020011PBPAAPBPPPBPBPA115515)(3．已知n阶方阵1000110011102222A求A中所有元素的代数余子式之和。解：可逆AA2100010000110001211A1)1()1(21221,1*nnAAAnjiij3．已知矩阵BA,满足：BAAB2，其中321011324A，求矩阵B。8解：AIABABAB1)2(29122692683B5．设矩阵BA,，满足,82*IBABAA其中100420221A*A是A的伴随矩阵，求矩阵B。解：200840642)(4)(44)(4)82(1111111*AIIAABIBAIABAIBAAIBAABAAA6．已知100110111A，且IABA2，其中I为三阶单位矩阵，求矩阵B。解：0000001201001102111001101111AAB7．设n阶方阵aaaaA111111111111，求)(Ar。解：100001000010111111)1(11)1(11)1(1111aaanaanaanaananaA故1a时，1)(Ar；na1时，r(A)=n-1;当a≠1且a≠1-n时,r(A)=n四．证明题：91．设A是n阶非零方阵，*A是A的伴随矩阵，TA是A的转置矩阵，当TAA*时，证明0A。证明：02*ijijijijijTaAaAAaAA另证（反证法）：1)(0nArA若00)(1)()(****AAArArArAATT与题设矛盾。2．设A是n阶方阵，若0A，证明：0*A（其中*A是A的伴随矩阵）证明：3．设44)(ijaA，ijA为ija的代数余子式，且0,)4,3,2,1,(11ajiaAijij，求证：1A证明：10)1()()(424*AAAAIAAAAaAATTijji或1041214111AaAaAjjjjj4．用矩阵秩和向量组秩的关系证明})(),(min{)(BrArABr证明：设kmMA,，nkMB,)...(.....................)...(1121121222211121121kiinikiiikiiiknkknnkbAbAbAbbbbbbbbbAAAAB即AB的列皆由A的列线性表示，故),()(ArABr类似可证AB的行皆由B的行线行表示，所以)()(BrABr。5．设A为nm矩阵，B为kn矩阵，若0AB，证明nBrAr)()(证明：)0...00()...()...(2121kkABABABBBBAAB10所以0...0021kABABAB，即kBBB,...,,21为齐次线性方程组0Ax的解，因此可由0Ax的基础解系线性表示，所以rnBBBrk),...,,(21，即nBrAr)()(。6．设A是n阶方阵，*A是A的伴随矩阵，证明：秩01*)(nA1)(1)()(nARnARnAR证明：(1)AnAR)(可逆，而*1*,||AAAA从而可逆，nAR)(*（2）0||1)(AnAR，1)()()(0||***ARnARARIAAA又A至少有一个n-1阶子式不为零，1)(*AR，从而1)(*AR（3）AnAR1)(的所有n-1阶子式全为零。