三角函数及其有关概念讲解+习题

1oAB.1图7orr.3图71弧度o(,)(,)(,)(,).2图7yx第七章三角函数及其有关概念一、角的概念1.角角是以一点为公共端点的两条射线组成的图形.公共端点叫做角的顶点,两条射线叫做角的边。2.正角、负角、零角正角与负角是由旋转的方向决定的，我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如果一条射线没有作任何旋转，它就形成一个数值为0的角，我们把这个角叫做零角。3．终边相同的角具有相同的终边的角叫做终边相同的角，如图7.1中的和就是终边相同的角。①终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同；②终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍，如：一与360()kkZ，与360()kkZ，与360()kkZ都是终边相同的角。例设176，则与终边相同的最小正角是多少？解1717777236066666所以，与176终边相同的最小正角是76。例设203，则与终边相同的绝对值最小的负角是多少？解2020444436033333所以，所求之角是43。4.象限角在平面直角坐标系中，我们将角的顶点置在坐标原点，角的始边与轴的正半轴重合，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角，如与都是第一象限的角。若角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何个象限,我们称其为界限角。例900是第几象限的角？解9002360，所以900是第二象限的角。例：-572。是（）象限的角。5、角的度量1）.角度制当射线绕端点逆时针方向旋转使终边与始边第一次重合时所形成的角叫做周角，规定1周角为360º。1周角的1360为1度，2）.弧度制等于半径长的圆弧所对的圆心角称为1弧度的角。用弧度作单位来测量角的制度叫做弧度制。1弧度也记为1rad2oyxoyxoyx.5图7sin,csctan,cotcos,sec规定正角的的弧度数为正数，负角的的弧度数为负数，零角的弧度数为零。3）.角度与弧度的换算关系2360弧度,360157.3057172弧度,10.017435180弧度弧度几个常用的特殊角的角度与弧度的换算关系如下表：例150º是多少弧度？116弧度是多少角度解51501501806（弧度），1111180()33066弧度二、任意角的三角函数1.任意角的概念锐角是大于0º而小于90º的角，在直角坐标系中，顶点在原点，始边在x轴正半轴，终边在任意象限中的角叫做任意角。2.任意角的三角函数设直角坐标系中任一点(,)Pxy是角终边上的任意一点，它与坐标原点的距离为(0)rr，则比值,,,yxyxrrxy分别叫做角的正弦、余弦、正切、余切即：sin,cos,tan,cot,yxrryxxy(1)sincsc1、(2)22sincos1、3.任意角的三角函数值的正负任意角的三角函数值的正负由角的终边所在的象限决定，见图7.54.特殊角的三角函数值030º60º90º120º150º180º210º240º270º300º330º360º0632235676863253116230º45º60º90º120º150º180º270º360ºo(,)(,)(,)(,)(,)Pxyyx图7.43例：已知角a的终边通过点p(3,4),则sina+cosa+tana=()解：根据点P知a在第一象限，第一象限四个三角函数都为正角a的终边通过点P（3，4），边始默认为x轴，那么tana=4/3;那么斜边为5;sina=4/5;cosa=3/5;所以sina+cosa+tana等于41/15例31331sincostan3333222例与330度终边相同的角的集合为（{2330,}xxkkz）。例与-15度终边相同的角的集合为（{215,}xxkkz）。例已知cot0sin试确定是第几象限的角解(1)cot0,sin0由cot0知，是第一或第三象限的角，由sin0知，是第一或第二象限的角，所以是第一象限的角(2)cot0,sin0由cot0知，是第二或第四象限的角，由sin0知，是第三或第四象限的角，所以是第四象限的角所以，是第一或第四象限的角例已知是锐角且sin0.8，求cos、tan、cot解是锐角且sin0.8可得函数关系如图7.7，因此：0.6cos0.61，0.81tan10.63，0.6cot0.750.8练习：一、选择题1.若α是第一象限角，则下列各角中一定为第四象限角的是(C)64322356322sin12223213212010cos32221201232101tan3313不存在3330不存在0cot31330333不存在0不存在0.810.6.7图74(A)90°-α(B)90°+α(C)360°-α(D)180°+α2.终边与坐标轴重合的角α的集合是(A)(A){α|α=k·360°，k∈Z}(B){α|α=k·180°+90°，k∈Z}(C){α|α=k·180°，k∈Z}(D){α|α=k·90°，k∈Z}3.已知角θ的终边上有一点P（-4a,3a)（a≠0）,则2sinθ+cosθ的值是(C)(A)25(B)-25(C)25或-25(D)不确定解：sinα=y/r，cosα=x/r，x=-4a,y=3a,r=5|a|当a0时，sinα=3/5,cosα=-4/5当a0时，sinα=-3/5,cosα=4/54.设A是第三象限角，且|sin2A|=-sin2A,则2A是(D)(A)第一象限角(B)第二象限角(C)第三象限角(D)第四象限角5.已知sinα=45，且α为第二象限角，那么tanα的值等于（B）(A)34(B)43(C)43(D)43二.填空题1.终边落在x轴负半轴的角α的集合为.解：{2,}xkkz2.-1223πrad化为角度应为.解：-232318034512123若sinθ·cosθ＞0,则θ是第一、三象限的角;解：sinθ·cosθ＞0，说明sinθ与cosθ同号，所以θ为第一或第三象限。4.已知：P(-2，y)是角θ终边上一点，且sinθ=-55,求cosθ的值.5、求下列三角函数值：（1）11sin6；（2）17sin()3．解：（1）111sinsin(2)sin()sin66662；（2）173sin()sin(6)sin3332．7．设tan=1,且cos0,则sin=()A.22B.12C.12D.2259已知51cossin，7sincos5，则tan等于（）（A）34（B）43（C）1（D）－1188sincos2sin=2sin4555,,tan===762cos63sincos2cos=555得得①①+②：②①-②：10已知2，则24sinsin=（A）sinco（B）sinco（C）sin2（D）sin224222224sincos(sincos0)sinsin=sin1sin=sincos=sincos=sincos,(sincos0),sin0,cos0,sincos0,sinsin=sincos2，时（）时∵∴∴11、设1sin=2，为第二象限角，则cos=（A）32=150cos150=（B）22（C）12（D）32